Analiza 2

1.7. IZREK O INVERZNI PRESLIKAVI 37
1.7 Izrek o inverzni preslikavi
Glavni motiv je reˇsevanje sistemov nelinearnih enačb. Iz linearne algebre npr.
vemo, da za vsak par a,b obstaja natanko en par x,y, ki reˇsi linearen sistem
enačb
saj je
3x+2y = a
2x−y = b,
⎛⎡
⎤⎞
3
det⎝⎣
2
⎦⎠
= −7 = 0.
2 −1
Vpraˇsanje pa je, kako bi reˇsili naslednji sistem enačb?
3x+2y +x 2 = a
2x−y +3y 2 = b.
Iz izrekov spodaj bomo videli, da je za a,b, ki sta blizu 0, sistem enačb enolično
reˇsljiv.
Vzmemimo npr. nelinearno zvezno odvedljivo funkcijo. Naj bo x0 takˇsna
točka, da je f ′ (x0) = 0. Piˇsimo f(x0) = y0.
Slika 1.9: Izrek o inverzni preslikavi
Vpraˇsanje je, ali je enačba y = f(x) za x blizu x0 (x ∈ U) in y blizu y0
(y ∈ V) mogoče razreˇsiti na y, t.j. ali lokalno obstaja inverzna funkcija? Če
obstaja, ali je odvedljiva? To nam pove naslednji izrek.