Analiza 2

1.8. IZREK O IMPLICITNI FUNKCIJI 45
(ii) Oglejmo si sistem n2 linearnih enačb z n1 +n2 neznankami (∗).
⎧
⎪⎨
(∗)
⎪⎩
α11x1 +...+α1n1xn1 +β11y1 +...+β1n2yn2 = 0
α21x1 +...+α2n1xn1 +β21y1 +...+β2n2yn2 = 0
...
αn21x1 +...+αn2n1xn1 +βn21y1 +...+βn2n2yn2 = 0
Kdaj lahko ta sistem enolično razreˇsimo na y1,y2,...,yn2, t.j. kdaj za vsak
x1,x2,...,xn1 obstajanatankoenan2-terica(y1,y2,...,yn2), kiizpolnjujezgornji
sistem enačb. Odgovor: Natanko tedaj, ko je matrika
⎡
⎤
β11 ⎢ β21
[β] = ⎢
.
⎣
β12
β22
··· β1n2 ⎥
β2n2
⎥
.
⎥
.. ⎥
⎦
βn21 βn22
βn2n2
nesingularna, t.j. det([β]) = 0. V matričnem zapisu lahko tedaj zapiˇsemo
[α]X +[β]Y = 0
[β]Y = −[α]X
Y = −[β] −1 [α]X.
Zgornji sistem enačb lahko dopolnimo do ekvivalentnega sistema n1+n2 enačb
(∗∗),
⎧
⎪⎩
α11x1 +...+α1n1xn1 +β11y1 +...+β1n2yn2 = 0
α21x1 +...+α2n1xn1 +β21y1 +...+β2n2yn2 = 0
...
⎪⎨ αn21x1 +...+αn2n1xn1 +βn21y1 +...+βn2n2yn2 = 0
(∗∗)
Matrika sistema enačb (∗∗)
x1 = x1
x2 = x2
...
xn1 = xn1
⎡ ⎤
α β
A = ⎣ ⎦,
I 0