Analiza 2

1.5. PARCIALNIODVODI,DIFERENCIABILNOSTFUNKCIJVE ČSPREMENLJIVK23
Slika 1.7: Funkcija f je v točki (0,0) zvezna in parcialno odvedljiva
Funkcija f je zvezna povsod, parcialna odvoda v točki (0,0) obstajata in
sta oba enaka 0. Enačba ravnine, ki bi morala aproksimirati f, če bi bila f
diferenciabilna, bi bila:
torej
kjer je
f(x,y) = 0+0(x−0)+0(y−0) ≡ 0,
f(x,y) = f(0,0)+ ∂f ∂f
(0,0)(x−0)+ (0,0)(y −0)+o(x−0,y−0),
∂x ∂y
o(x−0,y −0)
lim = 0.
(x,y)→0 |(x−0,y−0)|
Dobimo torej f(x,y) = o(x,y), kar seveda pomeni, da f ni diferenciabilna. ♦
Opomba:
Če bi bila funkcija f oblike, kot kaˇze spodnja slika, bi bila tudi
diferenciabilna v točki (0,0).
Slika 1.8: Funkcija f je v točki (0,0) diferenciabilna
Izrek 9 Naj bo funkcija f v okolici točke a ∈ R n parcialno odvedljiva po vseh
spremenljivkah in parcialni odvodi naj bodo v točki a zvezne funkcije. Tedaj je
f v a diferenciabilna.