Analiza 2

1.1. O PROSTORU R N 3
kjer je a = (a1,a2,...,an) in r = (b1 −a1) 2 +···+(bn −an) 2 .
Daljica s krajiˇsčema v točkah a in b je mnoˇzica
oziroma
{a+t(b−a) : 0 ≤ t ≤ 1}
{(1−t)a+tb : 0 ≤ t ≤ 1},
kjer je a = (a1,a2,...,an) in b = (b1,b2,...,bn).
1.1.1 Zaporedja v R n
Naj bo {a (k) } ∞ k=1 zaporedje v Rn , torej {a (k) } ∞ k=1 ⊂ Rn . Pri tem je
a (k) =
a (k)
1 ,a(k) 2 ,...,a(k)
n , k ∈ N.
Vsako zaporedje {a (k) } ∞ k=1 ⊂ Rn torej določa n-zaporedij komponent oz. koor-
dinat
to so običajna zaporedja realnih ˇstevil.
{a (k)
1 }∞ k=1 ,{a(k)
2 }∞ k=1 ,...,{a(k)
n }∞ k=1 ;
Iz poglavja o zaporedjih v metričnih prostorih se spomnimo definicije kon-
vergence zaporedja. Zaporedje {a (k) } ∞ k=1 ⊂ Rn konvergira proti a ∈ R n , če za
vsak ε > 0 obstaja k0 ∈ N, da je a (k) −a < ε, za vse k ≥ k0.
Izrek 1 Zaporedje {a (k) } ∞ k=1 ⊂ Rn konvergira natanko tedaj, ko za vsak i,
i ∈ {1,2,...,n}, konvergira zaporedje koordinat {a (k)
i }∞k=1 . Limita zaporedja
je točka, ki ima za koordinate limite zaporedij koordinat, t.j.
lim
k→∞ a(k)
= lim
, lim
k→∞ a(k) 1
k→∞ a(k) 2
Dokaz: (⇒) Naj bo a ∈ R n in naj {a (k) } ∞ k=1
ε > 0 obstaja k0 ∈ N, da je
,..., lim
a (k) −a < ε za vse k ≥ k0.
k→∞ a(k) n
.
konvergira proti a. Torej za vsak