Analiza 2

1.6. DIFERENCIABILNOSTPRESLIKAVZ(ODPRTIHMNO ˇ ZIC) R N V R M 29
Definicija 12 Naj bo D ⊂ R n odprta mnoˇzica. Z oznako C k (D) označimo
prostor vseh funkcij na D, ki imajo zvezne vse parcialne odvode, do vključno
reda k.
Opomba: C k (D) je linearen prostor, operatorji odvajanja do reda k so lin-
earni in pri meˇsanih odvodih ni pomemben vrstni red odvajanja.
1.6 Diferenciabilnost preslikav z(odprtih mnoˇzic)
R n v R m
Naj bo D ⊂ R n odprta mnoˇzica in f : D → R m preslikava. Naj bo a ∈ D
notranja točka.
Če se da f v okolici točke a dobro aproksimirati z linearno
preslikavo pravimo, da je f v točki a diferenciabilna:
Definicija 13 Naj bo D ⊂ R n odprta mnoˇzica. Preslikava f : D → R m je v
točki a ∈ D diferenciabilna, če obstaja linearna preslikava A : R n → R m , da je
kjer je limh→0o(h)/h = 0.
f(a+h) = f(a)+A(h)+o(h),
Opomba: V posebnem primeru, ko je preslikava f : R n → R m linearna, je
f(a+h) = f(a)+f(h);
ker je f linearna je torej (Df)(a) = f za vsako točko a. (Linearna preslikava,
ki dano linearno preslikavo najbolje aproksimira, je kar preslikava sama)
Opomba: Podobno kot pri funkcijah (m = 1) dokaˇzemo, da je v tem primeru
linearna preslikava A enolično določena. Imenujemo jo diferencial preslikave f
v točki a in jo označimo z (Df)(a). Torej je
f(a+h) = f(a)+(Df)(a)(h)+o(h).
Opomba: Linearne preslikave bomo obravnavali vedno v kanoničnih bazah na
R n in R m . Linearna preslikava A : R n → R m je tedaj enolično določena z