Analiza 2

1.6. DIFERENCIABILNOSTPRESLIKAVZ(ODPRTIHMNO ˇ ZIC) R N V R M 33
dobimo torej
⎡
∂f1
⎢
(a)
∂x1 ⎢ ∂f2
⎢ (a)
f(a+h) = f(a)+ ⎢ ∂x1
⎢ .
⎢ .
⎣ ∂fm
(a)
∂x1
∂f1
(a) ···
∂x2
∂f2
(a) ···
∂x2
. ..
∂fm
(a) ···
∂x2
⎤
∂f1 ⎡
(a)
∂xn ⎥ ⎢
∂f2
⎥ ⎢
(a) ⎥ ⎢
⎥ ⎢
∂xn ⎥·
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣
∂fm
⎦
(a)
∂xn
h1
h2
.
hn
⎤
⎥
⎥+o(h).
⎥
⎦
Posledica 1 Naj bo D ⊂ R n , f : D → R m preslikava in a ∈ D notranja točka.
Če v okolici točke a vsi parcialni odvodi vseh koordinatnih funkcij preslikave f
obstajajo in so v a zvezni, tedaj je vsaka koordinatna funkcija diferenciabilna.
Torej je po prejˇsnjem izreku f diferenciabilna v a.
1.6.1 Diferenciabilnost kompozicije preslikav
Izrek 12 (o diferenciabilnosti kompozicije) Naj bo D ⊂ R n , D ′ ⊂ R m ,
f : D → R m diferenciabilna v notranji točki a ∈ D in f(a) = b ∈ D ′ naj bo
notranja točka iz D ′ . Naj bo g : D ′ → R p preslikava, ki je diferenciabilna v točki
b. Tedaj je kompozicija F = g ◦f diferenciabilna v točki a in velja
(DF)(a) = (Dg) f(a) ◦(Df)(a).
Opomba: Torej je diferencial kompozicije enak kompoziciji diferencialov. Če
imamovprostorih R n , R m invR p kot ponavadi kanoničnebazefiksirane,potem
se (Df)(a) izraˇza z Jacobijevo matriko reda m × n, ki jo običajno označimo
kar z istim simbolom in (Dg) f(a) z Jacobijevo matriko reda p × m, ki jo
običajno označimo kar z istim simbolom. Tedaj lahko znak ◦ razumemo kot
operacijomatričnegaprodukta. Vtemprimeruje, čekoordinatevR m označimo
z y1,...,ym,
(Dg) f(a) ⎡
∂g1
∂g1
f(a) f(a)
⎢ ∂y1 ∂y2 ⎢ ∂g2 ⎢
∂g2
⎢ f(a) f(a)
= ⎢ ∂y1 ∂y2
⎢ .
⎣ ∂gp
∂gp
f(a) f(a)
∂y1
∂y2
···
···
. ..
···
∂g1 ⎤
f(a)
∂ym ⎥
∂g2 ⎥
f(a) ⎥
∂ym ⎥,
⎥
∂gp ⎦
f(a)
∂ym