Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

14
x 0 0
∆ηλαδή, | x x x
a − a | = a − a < ε . Σύµφωνα µε τον ορισµό του πλευρικού ορίου,
lim a
x→x
−
0
x x0
= a .
y
Με παρόµοιο τρόπο (θεωρώντας την
1
ακολουθία cn
= x0
+ , n = 1, 2, … )
n
2ε
προκύπτει ότι υπάρχει δείκτης n
1
µε
cn 1 x 0
a < a + ε , για κάθε n≥
n1
. Έστω
1
δ ′ = x0
− c n
= . Αν x
1
0
< x< x0
+ δ ′
n1
x0
x c n 1
τότε, x0 < x< cn 1
⇒ a < a < a και
y = a x
a x 0
O
x 0
2δ΄
c n1
x
c
n1 x0
λόγω της σχέσης a < a + ε , παίρνουµε
x0 x x0
x x0
a < a < a + ε ⇒| a − a | < ε .
x x0
Εποµένως lim a = a . Εφόσον lim
x
x x0
0
a = lim a = a , έπεται ότι lim a x x
= a . Η
x→x
+
0
x→x
−
0 x→x
+
x→x 0
0
x 1 1 x0
περίπτωση 0< a < 1 ανάγεται στην προηγούµενη, αφού lim a = = = a . ■
x→x
−1 x −1
x0
0 lim( a ) ( a )
x→x0
Αρκετές φορές δεν είµαστε σε θέση να υπολογίσουµε άµεσα το όριο µιας συνάρτησης. Σε
τέτοιες περιπτώσεις «εγκλωβίζουµε» τη συνάρτησή µας ανάµεσα σε δύο ισοσυγκλίνουσες
συναρτήσεις.
5.1.12 Πρόταση (Κριτήριο παρεµβολής )
Έστω ότι f ( x) ≤h( x) ≤ g( x)
για κάθε x∈(( x0 −δ
, x0) ∪ ( x0, x0
+ δ )) ∩ A, όπου δ > 0 .
Υποθέτουµε επίσης ότι lim f ( x)
= lim gx ( ) = a.
x→
0
x→x0
x→x0
Τότε το lim hx ( ) υπάρχει και είναι ίσο µε a.
x
Απόδειξη:
y
y = g(x)
Έστω ε > 0.
Επειδή lim f ( x)
= lim gx ( ) = a,
x→x0
x→x0
υπάρχει δ ΄ > 0, τέτοιο ώστε δ΄
< δ και
lim x→x0 h(x)
y = h(x)
| f( x) − a|
< ε και | gx ( ) − a|
< ε , για
y = f(x)
κάθε x∈ A , µε 0 < | x− x0
| < δ΄
.
Από τη σχέση | f( x) − a|
< ε προκύπτει
O
x -d x 0 -δ
0
x 0
+d +δ
x
ότι − ε < f ( x)
− a και από τη σχέση