Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

30
8x−5 8x−5
Εποµένως, lim
= lim
=
x→−∞
2
x→−∞
x + 2x+ 4 − x+
3
2 4
| x| 1+ + − x+
3
2
x x
⎛ 5 ⎞
x 8 −
5
8 −
8x − 5
⎜ ⎟
x
lim = lim
⎝ ⎠
= lim x =
x→−∞ 2 4
x→−∞ ⎛
x
2 4 3⎞
→−∞
2 4 3
− x 1+ + − x+ 3 1 1
2
x⎜− 1+ + − 1+
2 ⎟ − + + − +
2
x x
⎝ x x x⎠
x x x
5
8−
lim
x→−∞
x
8−
0
= = =−4
.
2 4 3 − 1+ 0+ 0 − 1+
0
− 1+ lim + lim − 1+
lim
x→−∞ x
2
x →−∞ x x→−∞
x
⎛ 1 ⎞ 1
x −1 1
−1 lim −1
x −x ⎜ ⎟
x x
0 1
iii) lim lim lim
x →+∞ x −
=
⎝ ⎠
= = = =−1
.
x→+∞ x −2 x→+∞ ⎛ 2 ⎞ x→+∞
2 2
1 1 lim
1−0
x⎜1−
⎟ − −
x
x
x→+∞
⎝ ⎠
x
3 3
2 | x | 1+ 1+
2 2
x + 3 1 0
iv) lim lim
x
lim
x +
= =− =− =−1
.
x→−∞ x −4 x→−∞ ⎛ 4 ⎞ x< 0 x→−∞
4
1
1−0
x⎜1−
⎟
−
⎝ x ⎠
x
2 2
2 | x | 1+ −x − x 1+ −x
2 2
x + 2 −x v) lim = lim
x
= lim
x
=
x→−∞ 2 x→−∞ 1
x< 0 x→−∞
9x
+ 1+
x
1
| x | 9+ + x − x 9+ + x
2 2
x
x
2
− 1+ −1
2
1 0 1
lim
x − + −
= = = 1 .
x→−∞
1 − 9+ 0 + 1
− 9+ + 1
2
x
2
⎛ x − 3x+ 1 ⎞
3. Να βρεθούν τα ab∈R , , ώστε lim ⎜ − ax − b⎟
= 0 .
x→+∞
⎝ 2x
−1
⎠
2
⎛ x 3 1
Λύση: Εφόσον lim − x + 2
⎞
⎜ − ax − b⎟
= 0 και
x→+∞
⎝ 2x
−1
lim ⎛ x − 3x+ 1 b⎞
⎜
a
x→+∞
2 − − ⎟ =
⎠
⎝ 2 x − x x⎠
2
⎛1⎛
x − 3x+
1 ⎞⎞
= lim ax b 0
x→+∞⎜
⎜ − − ⎟
=
x 2x−1
⎟
.
⎝ ⎝
⎠⎠
2 2
⎛ x − 3x+ 1 b⎞
x − 3x+
1 b 1
Άρα 0 = lim ⎜ −a− lim a lim a
x
2 ⎟= − − = −
→+∞
2
2x x x x→+∞ 2x x x→+∞
⎝ − ⎠
−
x 2
1
a = .
2
2 2
⎛ x − 3x+ 1 1 ⎞ ⎛ x − 3x+
1 1 ⎞
Τώρα, lim ⎜ − x − b⎟= 0 ⇔ b= lim ⎜ − x⎟=
x→+∞
2x
1 2 x→+∞
⎝ −
⎠ ⎝ 2x−1 2 ⎠
2
2x − 6x+ 2 −x(2x−1) − 5x+
2 5
= lim
= lim =− .
x→+∞
2(2x−1) x→+∞
4x−2 4
Η γεωµετρική ερµηνεία του παραπάνω γεγονότος είναι η ακόλουθη:
και εποµένως,