Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

18
x>0
x 0
Στην περίπτωση αυτή έχουµε
sin x 1 sin x sin x
sin x< x< tan x⇔ < 1< ⇔ cos x< < 1.
x> 0 x cos x x cosx>
0 x
Περίπτωση 2: x < 0
Στην περίπτωση αυτή έχουµε
ΑΜ = sin x , µήκος τόξου Ο΄Μ = x και Ο΄Ν = tan x . Άρα
ΑΜ = − sin x , µήκος τόξου Ο΄Μ = − x και Ο΄Ν =− tan x .
sin x 1 sin x sin x
Άρα − sin x
0 x
sin x
Σε κάθε περίπτωση έχουµε cos x < < 1 . Αλλά limcos x = cos0 = 1. Από το κριτήριο
x
x→0
sin x
παρεµβολής παίρνουµε lim = 1.
x→0
x
sin x
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = , x≠ 0 είναι η ακόλουθη:
x
y=
sinx
x
1
-2π -π
Ο
π
2π
Είναι µια συνεχής καµπύλη, χωρίς το σηµείο (0, 1).
cos x − 1
(ii) Για την απόδειξη του τύπου lim = 0 χρησιµοποιούµε την τριγωνοµετρική
x→0
x