Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
46<br />
5.3.8 Πόρισµα<br />
Από το θεώρηµα του Bolzano προκύπτει ότι αν µια συνεχής συνάρτηση, ορισµένη σ’ ένα<br />
διάστηµα (πεπερασµένο ή άπειρο) δεν έχει ρίζες, τότε διατηρεί σταθερό πρόσηµο. ■<br />
5.3.9 Παραδείγµατα<br />
1. ∆ίνεται η συνάρτηση f : R→<br />
R µε<br />
4 3 2<br />
f ( x) = x − x + x − 5x+ 1. Να δειχθεί ότι η f έχει µια<br />
τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα ( − 1,1) .<br />
Λύση: Παρατηρούµε ότι<br />
4 3 2<br />
f ( − 1) = ( −1) −( − 1) + ( −1) −5( − 1) + 1= 9> 0 και<br />
4 3 2<br />
f (1) = 1 − 1 + 1 −5 ⋅ 1 + 1 =− 3 < 0 . Η f παίρνει λοιπόν ετερόσηµες τιµές στα άκρα του<br />
διαστήµατος. Σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolzano, υπάρχει ξ ∈( − 1,1) µε f ( ξ ) = 0.<br />
⎛ π ⎞<br />
2. Να δειχθεί ότι η εξίσωση cos x + 1 = x έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα ⎜0, ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ .<br />
Λύση: Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση f :<br />
⎛π<br />
⎞ π<br />
ότι f (0) = 2 > 0 και f ⎜ ⎟ = 1 − < 0<br />
⎝ 2⎠<br />
2<br />
συµπέρασµα.<br />
R→<br />
R µε f ( x) = cosx+ 1− x. Παρατηρούµε<br />
(γιατί π > 2 ). Από το θεώρηµα Bolzano προκύπτει το<br />
5.3.10 Πρόταση (ύπαρξη n-στής ρίζας µη αρνητικού αριθµού)<br />
Έστω a ≥ 0 και n θετικός ακέραιος. Τότε υπάρχει (ακριβώς ένας) µη αρνητικός αριθµός ξ µε<br />
n<br />
την ιδιότητα ξ = a .<br />
Απόδειξη: Μπορούµε να υποθέσουµε ότι a > 0. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R→<br />
R µε<br />
n<br />
f ( x)<br />
= x − a, για κάθε x∈R .<br />
n<br />
Έχουµε f(0) =− a< 0 . Επειδή lim f( x) = lim ( x − a)<br />
=+∞, υπάρχει δ > 0 µε την ιδιότητα<br />
x→+∞<br />
x→+∞<br />
f( x ) > 1> 0, για κάθε x ≥ δ . Ο περιορισµός της f στο διάστηµα [0, δ ] παίρνει ετερόσηµες<br />
τιµές στα άκρα του διαστήµατος αυτού. Σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolzano, η f έχει µια ρίζα<br />
n<br />
στο διάστηµα αυτό, δηλαδή, υπάρχει ξ ∈ [0, δ ] µε ξ = a . ■<br />
Από το θεώρηµα Bolzano προκύπτει ένα ενδιαφέρον πόρισµα:
Change language