Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

2
∆ίνοντας στο x διαδοχικές τιµές x1, x
2,
…, ολοένα πιο κοντά στο 1, παρατηρούµε ότι η
τέµνουσα ευθεία πλησιάζει όλο και περισσότερο τη θέση της εφαπτοµένης και η τιµή του
κλάσµατος πλησιάζει στην τιµή 1+ 1= 2. Εποµένως η κλίση της εφαπτοµένης ευθείας πρέπει
να είναι ίση µε 2. Γράφουµε
2
x −1
tan φ = lim = 2 .
x→1
x −1
Τώρα είµαστε σε θέση να προσδιορίσουµε την εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας (εφόσον
γνωρίζουµε ότι περνά από το σηµείο (1, 1) και ότι η κλίση της είναι 2). Η εξίσωση είναι:
y− 1= 2 ⋅( x−1) ⇔ y = 2x−1
Προβλήµατα όπως το προηγούµενο µας οδηγούν στην έννοια του ορίου µιας συνάρτησης.
Αλλά, ας ξεκαθαρίσουµε πρώτα ένα λεπτό σηµείο: Το σηµείο στο οποίο τείνει η µεταβλητή x
πρέπει να «γειτονεύει», όσο κοντά θέλουµε, µε σηµεία του πεδίου ορισµού της συνάρτησης.
Έτσι, αποκτά έννοια ο συµβολισµός x → x0
.
Συνήθως το πεδίο ορισµού της συνάρτησης περιέχει ένα σύνολο της µορφής ( x0 − δ , x0)
ή
( x0, x0
+ δ ) ή ( x0 − δ , x0) ∪ ( x0, x0
+ δ ), όπου δ > 0 , οπότε το x
0
βρίσκεται όσο κοντά
θέλουµε σε σηµεία του πεδίου ορισµού.
Απαιτούµε δηλαδή, για οποιαδήποτε δ > 0 , να υπάρχει κάποιο σηµείο του πεδίου ορισµού Α
που ανήκει στο σύνολο ( x0 −δ
, x0) ∪ ( x0, x0
+ δ ), δηλαδή «κοντά» στο x
0
(και που δεν είναι
το x
0
).
5.1.1 Ορισµός
Έστω A ⊆ R . Ένας αριθµός x
0
λέγεται σηµείο συσσωρεύσεως του Α αν, για κάθε δ > 0 , το
σύνολο (( x0 −δ
, x0) ∪ ( x0, x0
+ δ )) ∩ A είναι µη κενό.
δ 1
x 4
δ 2
x 0
δ 3
δ 4
x 1
x 3 x 2
*[Η ιδιότητα αυτή του σηµείου συσσωρεύσεως έχει ως αποτέλεσµα να συσσωρεύονται σε
κάθε περιοχή ( x0 − δ , x0
+ δ ) του σηµείου x
0
άπειρα σηµεία του Α.