Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

22
5.1.20 Πρόταση
Έστω f, g:
A→ R συναρτήσεις και x0
∈R σηµείο συσσώρευσης του κοινού πεδίου ορισµού
Α. Ισχύουν τα εξής:
i) Αν f ( x) ≤ g( x)
για κάθε x∈ A και lim f( x)
= +∞ , τότε lim ( ) = +∞ .
x→x0
x→x0
gx
x→x0
ii) Αν f ( x) ≤ g( x)
για κάθε x∈ A και lim gx ( ) = −∞ , τότε lim f( x)
= −∞ .
iii)
iv)
Αν lim f( x)
= a∈R ή lim f( x)
= +∞ και lim ( ) = +∞ ,
τότε
x→x0
x→x0
x→x0
lim[ f( x) + g( x)]
=+∞.
x→x0
x→x0
gx
x→x0
Αν lim f( x)
= a∈R ή lim f( x)
= −∞ και lim gx ( ) = −∞ ,
τότε
lim[ f( x) + g( x)]
=−∞.
x→x0
x→x0
gx
x→x0
x→x0
x→x0
v) Αν lim f( x)
= a∈R µε a > 0 και lim ( ) = +∞ , τότε lim[ f( x) g( x)]
=+∞.
vi)
vii)
x→x0
x→x0
x→x0
Αν lim f( x)
= a∈R µε a > 0 και lim gx ( ) = −∞ , τότε lim[ f( x) g( x)]
=−∞.
x→x0
gx
x→x0
gx
x→x0
x→x0
Αν lim f( x)
= a∈R µε a < 0 και lim ( ) = +∞ , τότε lim[ f( x) g( x)]
=−∞.
x→x0
x→x0
Αν lim f( x)
= a∈R µε a < 0 και lim ( ) = −∞ , τότε lim[ f( x) g( x)]
=+∞.
Αν lim f( x) = lim g( x)
=+∞ ή lim f( x) = lim g( x)
=−∞, τότε lim[ f( x) g( x)]
=+∞.
x→x0 x→x0
x→x0
x→x0
x→x0 x→x0
viii) Αν lim f( x)
=+∞ ή lim f( x)
= −∞ , τότε
ix)
1
lim = 0 .
( )
x→x0
f x
x→x0
1
Αν lim f( x) = 0 και f( x ) > 0 για κάθε x∈ A , τότε
x→x0
x x f x
Αν
lim f( x) = 0 και f( x ) < 0 για κάθε x∈ A , τότε
x→x0
lim
→ 0 ( )
1
lim
x→x0
f ( x )
x→x0
= +∞ .
= −∞ .
x) Αν f( x) ≥ 0 για κάθε x∈ A και
lim f( x)
= +∞ τότε
x→x0
lim
k
f( x)
= +∞ ,
x→x0
όπου k θετικός ακέραιος.
*Απόδειξη: Οι (i) και (ii) προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό.
Για το (iii) θεωρούµε ένα ε > 0 . Αν lim f ( x)
= a τότε υπάρχει δ
1
> 0 µε την ιδιότητα:
( x A και 0 | x x | δ )
0 1
x→x0
∈ < − < ⇒ | f( x) − a| < | a| + 1.
Η σχέση | f( x) − a| < | a| + 1 συνεπάγεται τη σχέση f( x) > a−| a| − 1. Παρατηρούµε ότι
a≤ | a| < | a| + 1 και συνεπώς a− | a| − 1< 0 (άρα − a+ | a| + 1> 0). Ακόµη, επειδή
lim gx ( ) =+∞, υπάρχει
2
0
x→x0
δ > µε την ιδιότητα: ( x A και 0 | x x | δ )
∈ < − < ⇒
0 2
gx ( ) > ε − a+ | a| + 1> 0. Αν δ = min{ δ1, δ2}
, τότε για κάθε x∈ A µε 0 < | x− x0
| < δ , θα
συναληθεύουν οι σχέσεις f( x) > a−| a| − 1 και gx ( ) > ε − a+ | a| + 1> 0. Με πρόσθεση κατά
µέλη προκύπτει η επιθυµητή ανισότητα. Αν lim f( x) = lim g( x)
=+∞, τότε επιλέγουµε τα
x→x0 x→x0
δ1, δ
2
> 0 ώστε να ισχύουν οι ανισότητες f( x) > ε /2 και gx ( ) > ε /2.
Η (iv) προκύπτει µε ανάλογο τρόπο.