Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

44
3. Να προσδιορίσετε τα ab∈ , R , ώστε η συνάρτηση f µε τύπο
2 2
⎧ ax + bx− 12, αν x<
1
⎪
f( x) = ⎨5, αν x = 1
⎪
⎩ax + b, αν x > 1
να είναι συνεχής.
Εκµεταλλευόµενοι τις ιδιότητες των ορίων (θεώρηµα 5.1.6) µπορούµε εύκολα να
αποδείξουµε την επόµενη πρόταση:
5.3.4 Πρόταση
Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο σηµείο x
0
του κοινού πεδίου ορισµού
τους Α. Τότε και οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο σηµείο x
0
:
i) λ f , όπου λ ∈R , ii) | f | , iii) f ± g , iv) fg, v) f g , αν gx≠ ( ) 0 για κάθε x ∈ A ,
vi) k f , αν f( x) ≥ 0 για κάθε x∈ A , όπου k θετικός ακέραιος. ■
Αν χρησιµοποιήσουµε την πρόταση 5.1.14, µπορούµε εξίσου εύκολα να αποδείξουµε την
ακόλουθη πρόταση:
5.3.5 Πρόταση
Θεωρούµε τις συναρτήσεις f : A→B⊆R και g:
B→ R . Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής σ’
ένα σηµείο x0
∈ A και ότι η g είναι συνεχής στο σηµείο f ( x0
) ∈ B.
Τότε η g f είναι συνεχής στο x
0
.
■
Συνδυάζοντας κανείς τις δύο προηγούµενες προτάσεις µε το παράδειγµα 5.3.3.1, µπορεί να
κατασκευάσει συναρτήσεις µε ένα σωρό πολύπλοκους τύπους. (Αρκεί να περιοριστεί στα
πεδία ορισµού για τα οποία έχουν νόηµα οι τύποι αυτοί).
2 3x
− x x − e
Έτσι, η συνάρτηση µε τύπο f( x) = cos(2 + x+ 1) −
3
x + sin(2 x)
είναι συνεχής.
Γνωρίζουµε όµως (βλ. Παράδειγµα 5.3.3.2)) ότι, µε την ίδια περίπου ευκολία, µπορεί να
κατασκευάσει κανείς συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς. Ίσως ένα από τα πιο παθολογικά
παραδείγµατα είναι η συνάρτηση Dirichlet, η οποία ορίζεται ως εξής:
⎧1 αν o x είναι ρητός,
f( x)
= ⎨
⎩ 0 αν ο x είναι άρρητος