Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

34
5.2.11 Πρόταση (κριτήριο παρεµβολής)
i) Έστω f ( x) ≤h( x) ≤ g( x)
για κάθε x∈ ( δ , +∞)
∩ A, όπου δ > 0 .
Αν lim f( x) = lim g( x)
= a∈R , τότε και lim hx ( ) = a.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
ii) Έστω f ( x) ≤h( x) ≤ g( x)
για κάθε A ∩ ( −∞, − δ ), όπου δ > 0 .
Αν lim f( x) = lim g( x)
= a∈R , τότε και lim hx ( ) = a. ■
x→+∞
x→+∞
x→+∞
5.2.12 Παράδειγµα
sin x
2x
+ sinx
Να βρεθούν τα όρια: i) lim και ii) lim .
x→±∞
2
x
x→+∞
x + 3
sin x 1 1 sin x 1
⎛ 1 ⎞ 1
Λύση: i) ≤ ⇔− ≤ ≤ για κάθε x ≠ 0. Ακόµη, lim ⎜− ⎟= lim =
x | x| | x| x | x|
x→±∞
| x | x→±∞
⎝ ⎠ | x |
sin x
= 0 . Άρα lim = 0 .
x→±∞
x
2x+ sin x 2x + sin x 2x
+ 1
ii) 0 ≤ ≤ ≤
2 2 2
x + 3 x + 3 x + 3
, εφόσον x > 0 και 2x
+ 1
lim 0
x
2 = .
→+∞ x + 3
2x+
sinx
Άρα lim = 0 .
x→+∞
2
x + 3
Άλυτες ασκήσεις
1. ∆ίνεται η συνάρτηση f :(0, +∞)
→R , για την οποία ισχύει η σχέση:
κάθε x > 0 . Να υπολογιστεί το lim f( x)
.
x→+∞
2 2
|(2 1) ( ) |
x + f x −x ≤ x , για
Τέλος, θα ασχοληθούµε µε τα απειριζόµενα όρια, για x →±∞. ∆εν έχουµε παρά να
τροποποιήσουµε τον ορισµό 5.1.19.
5.2.13 Ορισµός
Έστω f :
A→ R µια συνάρτηση.
i) Υποθέτουµε ότι, για κάθε δ > 0 , το Α περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του διαστήµατος
( δ , +∞ ).
Θα λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει, για x →+∞, στο +∞ αν, για κάθε ε > 0
(οσοδήποτε µεγάλο) υπάρχει δ > 0 µε την ιδιότητα:
Αν x∈A∩ ( δ , +∞ ) τότε f( x)
> ε .