Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

38
Άλυτες ασκήσεις
3
5 1
1. Να υπολογιστούν τα όρια: (i) lim x −
, (ii) lim
x→−∞
| x + 1| x→+∞
2
− 3x
+ 7x+
2
(iv) lim
, (v) lim
x→−∞
2
x→+∞
x + 2x+
4
2
−x
− x+
3 1
.
2
x − 2x−
4
2
| x − 3 x| + 5
x − 3
, (iii)
2. Να υπολογιστούν τα όρια lim ( x )
2 + x+ 1 − ax και lim ( x )
2 x 1 ax
του a ∈ R .
x→−∞
x→+∞
lim
2
3x
2x
1
x→−∞
− − ,
+ + − για τις διάφορες τιµές
Κλείνουµε την παράγραφο αυτή µε ένα αποτέλεσµα, το οποίο είναι γενίκευση της πρότασης
5.1.14. Για να το διατυπώσουµε χρειαζόµαστε κάποιους συµβολισµούς.
5.2.16 Συµβολισµοί*
Έστω x ∈R . Αν ε > 0, τότε θέτουµε sx ( , ε ) = ( x− ε, x+ ε)
.
Ακόµη, θέτουµε s( +∞ , ε) = ( ε,
+∞ ) και s( , ε ) ( , ε )
−∞ = −∞ − .
Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι, όλοι οι ορισµοί που δώσαµε για τα όρια συναρτήσεων µπορούν
να διατυπωθούν κατά ενιαίο τρόπο ως εξής:
Έστω f : A→ R µια συνάρτηση και ab∈ , R ∪{ −∞ , +∞}
. Υποθέτουµε ότι για κάθε δ > 0
το σύνολο A
( a )
{} ∩ s(, a δ ) δεν είναι κενό.
Τότε lim f ( x ) = b αν και µόνον αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε,
x→a f ( x) ∈ s( b, ε ), για κάθε x A
∈( a )
{} ∩ s(, a δ ).
Πράγµατι, αν ab∈R , , η σχέση x∈( A {} a ) ∩ s(, a δ ) είναι ισοδύναµη µε τη συνθήκη:
x∈ A και 0 < | x− a|
< δ . Επίσης, η σχέση f ( x) ∈ s( b, ε ) είναι ισοδύναµη µε την
| f( x) − b|
< ε .
Αν a ∈R και b =+∞, η σχέση f ( x) ∈ s( b, ε ) είναι ισοδύναµη µε την f( x)
> ε .
Για x →−∞, η σχέση x A {} a ∩ s(, a δ ) είναι ισοδύναµη µε τη συνθήκη: x∈ A και
∈( )
x 0 .
x→a