Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

24
y
+∞
O
x
-∞
2
2
2
+ 3 x − x−
6 | x −x−2|
2. Να υπολογιστούν τα όρια: i) lim , ii) lim , iii) lim
x →0
−
xx | |
2
x x→2
| x − 4|
+ 3
x→−1
− x + 3x+ 2
.
2
Λύση: i) Παρατηρούµε ότι lim ( x + 3) = 3 > 0 , lim (| x| x) = 0 και για κάθε x < 0 έχουµε
x→0
−
| x| x< 0. Συνδυάζοντας το (v) και το (ix) της προηγούµενης πρότασης, συµπεραίνουµε ότι
2
+ 3 =−∞.
x
xx x
lim
→0
− | |
ii) Παρατηρούµε ότι
− − =− < ,
2
lim( x x 6) 4 0
x→2
x→0
−
2
lim | x 4 | 0
x→2
−
2
| x − 4| > 0. (Μπορούµε να υποθέσουµε ότι x ≠ − 2 , γιατί x → 2 ).
2
x −x−6
Εποµένως, lim =−∞.
x→2
|
2
x − 4|
− = και για κάθε x ≠± 2 έχουµε
2
3 2
iii) Παρατηρούµε ότι x −x− 2 = ( x+ 1)( x− 2) και − x + 3x+ 2 =− ( x+ 1) ( x− 2) .
2
| x −x− 2| | x+ 1|| x−2| | x−2|
Εποµένως,
=− =−
. Εφόσον x →− 1< 2, x − 2<
0
3 2
− x + 3x+ 2 ( x+ 1) ( x− 2) | x+ 1|( x−2)
και άρα | x− 2| =−( x− 2) .
2
| x −x−2| 1
Συνεπώς,
=
3
x −3x− 2 | x+ 1|
για κάθε x ≠− 1. Εποµένως,
, για κάθε 1 x 2
− < < . Ακόµη, lim | x + 1| = 0 και | x + 1| > 0
x 1
+
2
| x x 2| 1
lim
lim
3
x→−1 + x→−1
+
→−
− −
= =+∞.
− x + 3x+ 2 | x+
1|
2. Να δειχθεί ότι lim
και lim
π
+
⎛ ⎞
x→ ⎜kπ
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
x→( π /2)
−
tan x =−∞.
tan x =+∞ και
lim
x→−
( π /2)
+
tan x = −∞ . Γενικότερα,
lim
π
−
⎛ ⎞
x→ ⎜kπ
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
tan x =+∞