Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

40
5.3 Συνεχείς συναρτήσεις
Στα επόµενα σχήµατα παριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις τεσσάρων συναρτήσεων.
y
y
g(x 0 )
f(x 0 )
lim x→ x0
g(x 0 )
a
O
x 0
b
x
a
O
x 0
b
x
y
y
h(x 0 )
r(x 0 )
a O x 0
b x
a O x 0
b x
Παρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις g, h και r παρουσιάζουν ιδιοµορφία στο σηµείο x
0
. Η
γραφική τους παράσταση φαίνεται να «διακόπτεται» στο σηµείο αυτό. Η g παρουσιάζει µια
οπή στη γραφική της παράσταση. Υπάρχει το
lim g ( x )
x x
→ 0
αλλά αυτό δεν είναι ίσο µε το gx (
0)
.
Στις περιπτώσεις των h και r, παρατηρούµε ουσιωδέστερη διαταραχή στη γραφική
παράσταση. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις δεν υπάρχει ούτε το όριο της συνάρτησης στο x
0
. ( Η h
έχει δύο διαφορετικά πεπερασµένα πλευρικά όρια ενώ η r έχει ένα πεπερασµένο αριστερό και
ένα απειριζόµενο δεξιό πλευρικό όριο). Λέµε ότι οι συναρτήσεις g, h και r είναι ασυνεχείς
στο x
0
ενώ, η f είναι συνεχής στο σηµείο αυτό.
5.3.1 Ορισµός
Θεωρούµε µια συνάρτηση f : A→ R και x
0
ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της Α.
i) Αν το x
0
είναι σηµείο συσσωρεύσεως του Α τότε, λέµε ότι η f είναι συνεχής στο x
0
αν
υπάρχει το lim f ( x)
και ισούται µε την τιµή f ( x
0)
της f στο x
0
.
x→x0