Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

36
vi) Αν lim f( x)
= a∈R µε a < 0 και lim gx ( ) = +∞ , τότε lim[ f( x) g( x)]
=−∞.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Αν lim f( x)
= a∈R µε a < 0 και lim gx ( ) = −∞ , τότε lim[ f( x) g( x)]
=+∞.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
vii) Αν lim f( x) = lim g( x)
=+∞ ή lim f( x) = lim g( x)
=−∞,
x→+∞
x→+∞
τότε lim[ f( x) g( x)]
=+∞.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Αν lim f( x)
= +∞ και lim gx ( ) = −∞ , τότε lim[ f( x) g( x)]
= −∞ .
x→+∞
x→+∞
viii) Αν lim f( x)
= +∞ ή lim f( x)
= −∞ , τότε
x→+∞
x→−∞
x→+∞
1
lim = 0 .
x→+∞
f( x)
ix) Αν lim f( x) = 0 και f( x ) > 0 για κάθε x∈ A , τότε
x→+∞
1
lim = +∞ .
x→+∞
f ( x )
Αν lim f( x) = 0 και f( x ) < 0 για κάθε x∈ A , τότε lim 1
= −∞ .
x→+∞
x→+∞
f ( x )
x) Αν f( x) ≥ 0 για κάθε x∈ A και lim f( x)
= +∞ τότε lim
k
f( x)
= +∞ ,
όπου k θετικός ακέραιος.
x→+∞
x→+∞
Όλα τα παραπάνω ισχύουν και για x →−∞, αντί x →+∞, µε την προϋπόθεση ότι, για κάθε
δ > 0 , το Α περιέχει ένα τουλάχιστον σηµείο του διαστήµατος ( −∞, − δ ). ■
5.2.15 Παραδείγµατα
1. Έστω k θετικός ακέραιος. Εφόσον lim x = +∞ , τότε, µε επαγωγή επί του k και
x →+∞
εφαρµόζοντας το (vii) της προηγούµενης πρότασης, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι
lim x
k =+∞.
x→+∞
Για x →−∞, ακολουθούµε την ίδια µέθοδο και συµπεραίνουµε ότι:
i) k άρτιος: Τότε lim x
k = +∞ .
x→−∞
ii) k περιττός: Τότε lim x
k = −∞ .
2. Έστω f ( x ) =
x→−∞
m
m−1
amx + am−
1x + + a1x+
a0
n
n−1
bx
n
+ bn−
1x + + bx
1
+ b0
ρητή συνάρτηση µε m> n και a , b ≠ 0.
m
n
Τότε
Αλλά,
⎛ 1 1 1 ⎞
x a + a + + a + a
a x + a x + + a x+ a
⎟
x x x
lim
⎝ ⎠
.
x→+∞
m−n
m m−1 m m−1 1 m−1
0 m
m m−1
⎜
1 0
= lim
n
n−1
bx x
1 1 1
n
+ bn
1x bx
1
b →+∞
−
+ + +
0
bn + bn−
1
+ + b1 + b
n−1
0 n
1 1 1
a + a + + a + a
lim x x x
x→+∞
1 1 1
bn + bn−
1
+ + b1 + b
n−1
0 n
x x x
m m−1 1 m−1
0 m
a
=
b
m
n
και lim
x m−n
x→+∞
x x x
= +∞ .
Με βάση τα (v) και (vi) της πρότασης 5.2.14,
m
m−1
a , αν τα και είναι οµόσηµοι
mx + a a
1 1 0
m
b
m−
x + + a x+
a ⎧+∞
n
lim
=
x
n
n−1
⎨
→+∞ bx
n + bn−
1x + + bx
1 + b0
⎩ −∞ , αν τα am
και bn
είναι ετερόσηµοι