Όρια και Î£Ï Î½Î­Ï‡ÎµÎ¹Î±

16
Τότε
lim f ( gx ( )) = b.
x→x0
*Απόδειξη: Έστω ε > 0 . Εφόσον lim f ( u ) = b , υπάρχει δ ΄ > 0 µε την ιδιότητα
u→a ( u∈ B και 0 < | u− a| < δ΄) ⇒| f( u) − b|
< ε . (1)
Εφόσον
lim gx ( ) = a , υπάρχει δ ΄΄ > 0 µε την ιδιότητα
x x
→ 0
( x∈ A και 0 < | x− x0
| < δ΄΄) ⇒| gx ( ) − a|
< δ΄
. (2)
Μπορούµε να υποθέσουµε ότι δ΄΄
< δ , οπότε ισχύουν ταυτόχρονα η (2) και η σχέση
g( x)
≠ a. Εποµένως 0 < | gx ( ) − a|
< δ΄
, για κάθε x∈(( x0 −δ ′′, x0) ∪( x0,
x0 + δ ′′))
∩ A .
g
f
x 0 -δ΄΄
x 0
x 0 +δ΄΄
b-ε
b
b+ε
a-δ΄ a a+δ΄
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2), παίρνουµε
( x∈ A και 0 < | x− x | < δ ′′)
⇒| f( g( x)) − b|
< ε . ■
0
5.1.15 Παράδειγµα
2
Να υπολογιστεί το όριο lime
x x
Λύση: Παρατηρούµε ότι
x→1
2 − + 1
.
2
lim(2x
x 1) 2
x→1
− + = . Ακόµη, η παράσταση
u x x
2
= 2 − + 1 είναι
διάφορη του 2, για κάθε x∈( −1/2,1) ∪ (1, +∞. ) (Μελέτη τριωνύµου).
Εδώ έχουµε τις συναρτήσεις f : R → (0, +∞)
µε f ( u)
2
g : R→
R µε g( x ) = 2x
− x + 1.
2
2 1 2
Ακόµη, lim gx ( ) = 2 . Άρα lim
x − x +
e = lime u = e .
x→1
x→1 u→2
u
= e και
Άλυτες ασκήσεις
[1/ x]
x( −1)
1. Να υπολογιστεί το όριο: lim , όπου [ x ] είναι το ακέραιο µέρος του x.
x→0
2
x + 1
x
x
2
−
e − e
2 x−
e 1
− e 2
2. Να υπολογιστoύν τα όρια: (i) lim και (ii) lim
x→1
2
x −1
x→3
x − 2x−
3
5.1.16 Πρόταση (Όρια τριγωνοµετρικών συναρτήσεων)
Ισχύουν τα εξής:
i) lim sin x = sin x , ii) lim cos x = cos x και
x→x0
0
x→x0
0
π
iii) lim tan x = tan x0
, όπου x0
≠ kπ
+ .
x→x0
2
Απόδειξη: Το (iii) προκύπτει από τα (i) και (ii) του θεωρήµατος 5.1.6. Θα αποδείξουµε
λοιπόν τα (i) και (ii).