15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

Pomocí aditivity měr nahlédneme, že
µ(I) = λ(I)
pro každý interval o racionálních mezích. Protože systém takových intervalů je uzavřený na konečné
průniky a generuje Dynkinův systém B(R n ), podle věty o jednoznačnosti 3.4 je µ = λ na borelovských
množinách. Zúplněním dostaneme (19.3) pro každou λ-měřitelnou množinu. Zbývá dokázat, že α = JL.
Nejprve dokážeme tvrzení pro zobrazení
Lx = (d 1 x 1 , . . . , d n x n ), x ∈ R n ,
kde d 1 , . . . , d n jsou nezáporná reálná čísla. Potom matice L je diagonální matice, která má diagonální
prvky d 1 , . . . , d n . Pro každý n-rozměrný interval Q je L(Q) také n-rozměrný interval a
l(L(Q)) = d 1 . . . d n l(Q) = JL l(Q).
Ve stejném poměru dopadají také horní součty k libovolné množině, tedy pro měřitelné množiny máme
λ(L(E)) = |JL| λ(E).
Je-li L izometrické lineární zobrazení, potom zobrazuje jednotkovou kouli {x : |x| ≤ 1} na sebe a tudíž
α = 1. Konečně, je-li L libovolné lineární zobrazení, pak lineární algebra tvrdí, že existují izometrická
lineární zobrazení P , Q (reprezentovaná ortogonálními maticemi) a “diagonální” lineární zobrazení D tak,
že L = QDP . (Označme (⃗e 1 , . . . , ⃗e n ) kanonickou bázi prostoru R n . Matice zobrazení L ∗ L je symetrická
pozitivně definitní a tudíž existuje ortonormální báze ( ⃗ f 1 , . . . , ⃗ f n ) prostoru R n složená z vlastních vektorů
matice L ∗ L. Existují tedy λ i > 0 tak, že
L ∗ L ⃗ f i = λ 2 i ⃗ f i , i = 1, . . . , n.
Potom Q, D and P se konstruují jako lineární zobrazení transformující báze na báze: P ( ⃗ f i ) = ⃗e i ,
D(⃗e i ) = λ i ⃗e i , Q(λ i ⃗e i ) = L( ⃗ f i ). Máme
(Q⃗e i ) · (Q⃗e j ) = L f ⃗ i
· Lu j
= L∗ Lf ⃗ i
·
λ i λ j λ i λ ⃗f j
j
{ ⃗fi · ⃗f j = 1, i = j,
= λ 2 i
λ fi ⃗
iλ j
· ⃗f j = 0, i ≠ j.
tedy Q je ortogonální.) S využitím věty o součinu determinantů dostáváme pro každou měřitelnou množinu
E ⊂ R n , že L(E) je měřitelná a
λ(L(E)) = λ(D(P (E))) = det D λ(P (E)) = det D λ(E)
= | det Q det D det P | λ(E) = | det(QDP )| λ(E)
= | det L| λ(E).
19.9. Značení. V dalším budeme značit
B(z, r) = {x ∈ R n : |x − z| < r}
(tedy B(z, r) je koule o středu z a poloměru r), a pro dané množiny X, Y ⊂ R n bude
Norma lineárního zobrazení L je
X + Y = {x + y : x ∈ X, y ∈ Y }.
‖L‖ := sup{Lx : x ∈ R n , |x| ≤ 1}.
19.10. Odhad stěny. Nechť M ≥ 1 a L : R n → R n je lineární zobrazení s normou ‖L‖ ≤ M. Nechť
0 < r < ρ a Q = [0, ρ] n . Potom pro každou stěnu S krychle Q je
kde
λ((L(S) + B(0, r))) ≤ C n M n−1 ρ n−1 r,
C n = 2 n α n−1 (n − 1) n−1
2
a α n−1 je symbol pro míru (n − 1)-rozměrné jednotkové koule.
10
□