15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

V druhém integrálu pravé strany rovnosti (20.5) využijeme lichost integrandu. Pokud cos kα > 0, dostaneme
∫ R−cos kα
∣ ∫ y cos kβ ∣∣∣
∣
−R−cos kα y 2 + sin 2 kα dy −R+cos kα
∫
=
y cos kβ
R−cos kα
∣
∣
−R−cos kα y 2 + sin 2 kα dy + y cos kβ ∣∣∣
−R+cos kα y 2 + sin 2 kα dy ∫ −R+cos kα
∣ ∫
=
y cos kβ ∣∣∣ −R+1
∣
y 2 + sin 2 kα dy R + 1
≤
(R − 1) 2 dy
−R−cos kα
= 2R + 2
(R − 1) 2 → 0.
Ke stejnému závěru dojdeme analogicky i v případě cos kα < 0. Tedy
lim I k(R) = lim
R→∞ R→∞
∫ R−cos kα
−R−cos kα
∫
sin kβ sin kα
∞
y 2 + sin 2 kα dy =
−∞
−R−1
sin kβ sin kα
y 2 + sin 2 dy = π sin kβ,
kα
neboť integrál přes R konverguje. Jelikož integrál I konverguje, máme
∫ R
x 2p
∑
q I = q lim
R→∞ −R x 2q dx = lim I k (R) = ∑
lim
+ 1 I k(R) = π ∑
sin kβ
R→∞
R→∞
k∈A + k∈A +
k∈A +
Počítejme
q I
π = Im ∑
= Im
∑q−1
e ikβ = Im
k∈A + j=0
2i 2
e iβ = Im
i
− e−iβ sin β = 1
sin β .
e i(2j+1)β = Im eiβ (1 − e 2iqβ )
1 − e 2iβ = Im 2 eiβ
1 − e 2iβ = Im 2
e −iβ − e iβ
Zde jsme využili, že 2qβ je lichý násobek π, takže e 2iqβ = −1. Tedy
π
I =
q sin ( π 2p+1 ).
2q
20.7. Výpočet dalších určitých integrálů. Nyní budeme počítat
∫ ∞
t s−1
J(s) = dt, s ∈ (0, 1).
0 1 + t
Nejprve uvažujme
s = 2p + 1 ,
2q
kde p, q jsou jako v 20.6. Substituce t = x 2q vede na
J(s) = 2q
∫ ∞
0
x 2p ∫ ∞
1 + x 2q dx = q
−∞
x 2p
dx.
1 + x2q Podle předchozího výpočtu 20.6 je
(20.6) J(s) = π
sin πs .
Vzorec (20.6) platí pro s z husté podmnožiny intervalu (0, 1). Ze spojitosti obou stran (ověřte samostatně
předpoklady věty o spojitosti integrálu závislého na parametru) dostáváme (20.6) pro všechna s ∈ (0, 1).
Nyní budeme počítat hodnotu Beta funkce B(1−s, s), s ∈ (0, 1). Máme
∫ 1
∫ 1 ( 1 − x
) s−1 dx
B(1−s, s) = x −s (1 − x) s−1 dx =
x x .
Substituce t = (1 − x)/x dává
0
B(1−s, s) =
∫ ∞
Konečně aplikací na Gamma funkci dostáváme
0
Γ(s) Γ(1 − s) =
t s−1
1 + t dt = π , s ∈ (0, 1).
sin πs
π , s ∈ (0, 1).
sin πs
0
17