15. LebesgueÅ¯v integrÃ¡l na pÅÃmce IntegrÃ¡l podle Lebesgueovy mÃry ...

More documents

Recommendations

Info

absolutní konvergenci (tj. též (N) ∫ |f(x)| dx konverguje) a neabsolutní konvergenci (tj. (N) ∫ |f(x)| dx diverguje). Konvergence integrálu |f| sama o sobě ještě nezaručuje absolutní funkcegenci integrálu f. Např. funkce { 1, x ≥ 0, f(x) = −1, x < 0 nemá primitivní funkci, ale (N) ∫ 1 |f(x)| dx konverguje. −1 15.4. Věta (vztah mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem). Nechť f je nezáporná spojitá funkce na intervalu (a, b). Potom (N) ∫ b f(x) dx konverguje, právě když konverguje Lebesgueův integrál funkce a f. V tom případě mají oba integrály společnou hodnotu. Důkaz. (a) Zvolme c ∈ (a, b) a najděme intervaly [a j , b j ] tak, že a < a j < c podle věty 15.2 primitivní funkce k f. Potom F je neklesající a tudíž má limity F (b−), F (a+). Jelikož (z monotonie) F (b+) nemůže být −∞ a F (a+) nemůže být +∞, rozdíl F (b+) − F (a+) má smysl a platí (15.1) F (b+) − F (a+) = lim k (F (b k ) − F (a k )). Označme f k = fχ ak ,b k . Funkce f má Lebesgueův integrál přes (a, b) (je totiž nezáporná a měřitelná). Podle Leviho věty a (15.1) je ∫ b a f(x) dx = lim k ∫ b a f k (x) dx = lim k ∫ bk a k f(x) dx = lim k (F (b k ) − F (a k )) = F (b+) − F (a+), takže ∫ b f(x) dx konverguje, právě když F (b+) − F (a+) < ∞, ale to je přesně podmínka pro konergenci a Newtonova integrálu. □ 15.5. Důsledek (Diskuse vztahu mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem). Nechť f je spojitá funkce na intervalu (a, b). (a) Jestliže konverguje Lebesgueův integrál z f od a do b, konverguje i Newtonův a to absolutně. (b) Jestliže Newtonův integrál z f od a do b konverguje absolutně, pak konverguje i Lebesgueův. (c) Pokud konverguje jak Lebesgueův, tak Newtonův integrál z funkce f, pak oba mají stejnou hodnotu. (d) Jestliže Newtonův integrál z f od a do b konverguje neabsolutně, pak Lebesgueův integrál nemá smysl. Tvrzení (b) a (c) platí i bez předpokladu spojitosti, ale důkaz je složitější. Tvrzení (a) naopak spojitost vyžaduje. Jinak neplatí žádná inkluze mezi třídou všech lebesgueovsky integrovatelných funkcí a třídou všech newtonovsky integrovatelných funkcí. Důkaz je snadné cvičení, založené na rozkladu f = f + − f − . Pokud Newtonův integrál f konverguje absolutně, konvergují i Newtonovy integrály funkcí f + a f − , protože f + = 1 2 (|f| + f) a f − = 1 2 (|f| + f). 15.6. Vztah mezi Riemannovým a Lebesguoevým integrálem. Nechť f je Riemannovsky integrovatelná funkce na [a, b]. Potom Lebesgueův integrál funkce f od a do b konverguje a je roven integrálu Riemannovu. Důkaz. Nechť R je Riemannův integrál funkce f od a do b. Z definice Riemannova integrálu plyne, že existují po částech konstatní funkce g j , h j tak, že g j ≤ f ≤ h j , ∫ b a g j (x) dx ↗ R, Funkce g = sup j g j a h = inf j h j jsou měřitelné podle věty 6.11. Máme R ≤ sup j ∫ b a g j ≤ ∫ b a g ≤ ∫ b a ∫ b a h ≤ inf j h j (x) dx ↘ R. ∫ b a h j ≤ R. Tedy funkce h − g je nezáporná měřitelná a ∫ (h − g) = ∫ h − ∫ g = 0. Podle věty 7.5 je h = g s.v., tedy i h = f s.v. Tím je dokázána měřitelnost funkce f. Protože f je omezená na [a, b], je Lebesgueovsky integrovatelná a ∫ b a f = ∫ b a 2 h = R.
16. Záměna řady a integrálu 16.1. Lebesgueova věta pro řady. Nechť D ∈ S a g j , j = 1, 2, . . . , jsou měřitelné funkce na D. Nechť řada ∑ j g j konverguje skoro všude. Nechť existuje integrovatelná funkce g (takzvaná majoranta) tak, že (16.1) Potom (16.2) ∣ k∑ g j (x) ∣ ≤ g(x), k = 1, 2, . . . , x ∈ D. j=1 ∫ D ∑ g j dµ = ∑ j j ∫ D g j dµ. Důkaz. Stačí použít additivitu integrálu a Lebesgueovu větu na částečné součty. Předpoklad (16.1) se těžko ověřuje, protože málokdy umíme spočítat částečné součty řady. Výjimku tvoří geometrické řady, ale i tam jsou jednodušší cesty k cíli. Následující věty obsahují praktická kritéria pro záměnu řady a integrálu. 16.2. Leviho věta pro řady. Nechť D ∈ S a g j , j = 1, 2, . . . , jsou nezáporné měřitelné funkce na D. Potom ∫ ∑ (16.3) g j dµ = ∑ ∫ g j dµ. D j j D Důkaz. Stačí použít Leviho větu 7.9 na částečné součty. 16.3. Záměna řady a integrálu. Nechť D ∈ S a g j , j = 1, 2, . . . jsou měřitelné funkce na D. Předpokládejme, že je splněna aspoň jedna z následujících podmínek: (a) g j = aq j , kde a, q jsou měřitelné funkce, |q| < 1, a ∫ a D 1−q dµ konverguje (geometrická řada), (b) ∑ ∫ j D |g j| dµ < ∞, (c) ∫ ∑ D j |g j| dµ < ∞, (d) g j = (−1) j h j , h 1 ≥ h 2 ≥ h 3 ≥ · · · ≥ 0, h j → 0, h 1 je integrovatelná (alternující řada). Potom řada ∑ j g j konverguje skoro všude a platí vzorec ∫ ∑ g j dµ = ∑ ∫ D j j D g j dµ, Důkaz. (a) odvodíme z formule pro částečné součty geometrické řady. Záměnu lze provést podle Lebesgueovy věty 16.1, majoranta 2a 1−q . Použijeme-li Leviho větu 16.2 na |g j|, zjistíme, že podmínky (b) a (c) jsou ekvivalentní. Předpokládejme tedy (b) nebo (c). Funkce g := ∑ j |g j| je integrovatelná, a tudíž podle věty 7.5 konečná skoro všude. V bodech x, kde je g(x) konečná, konverguje řada ∑ j g j(x), neboť ∑ konverguje absolutně. Můžeme tedy použít Lebesgueovu větu 16.1 s majorantou g. V případě (d) řada j g j konverguje podle Leibnitzova kritéria a částečné součty mají majorantu h 1 , tudíž můžeme provést záměnu podle Lebesgueovy věty 16.1. □ 16.4. Varování. Všimněte si dobře pořadí operátorů ∑ , ∫ , | . . . | v podmínkách 16.3 (b), (c) ! Jen velmi slabý student se může radovat, když ověří třeba ∫ ∑ ∣ g j dµ ∣ < ∞. D j 17. Integrál závislý na parametru V této kapitole uvažujeme prostor s mírou (X, S, µ) a D ∈ S. Cílem je studovat chování funkce ∫ F (t) := f(t, x) dµ(x), D 3 □ □ □
Page 1: 15. Lebesgueův integrál na přím
Page 5 and 6: (De-2) pro všechna t ∈ I je funk
Page 7 and 8: 18. Fubiniova věta v R n 18.1. Leb
Page 9 and 10: Zobrazení ϕ : G → R 3 dané př
Page 11 and 12: Důkaz. Můžeme předpoklýádat,
Page 13 and 14: což jsme měli dokázat. □ 20. F
Page 15 and 16: 20.5. Stirlingova formule. Dokáže
Page 17: V druhém integrálu pravé strany

15. LebesgueÅ¯v integrÃ¡l na pÅÃ­mce IntegrÃ¡l podle Lebesgueovy mÃ­ry ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

15. LebesgueÅ¯v integrÃ¡l na pÅÃmce IntegrÃ¡l podle Lebesgueovy mÃry ...