15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

kde každá krychle Q j má průměr menší než δ. Označme z j vrchol krychle Q j , ρ j délku její hrany a
L j = ϕ ′ (z j ). Nechť t ∈ Q j . Potom
∫ 1
d
(
)
|ϕ(t) − ϕ(z j ) − L(t − z j )| ≤ ∣ ϕ(z j + ξ(t − z j )) − ϕ(z j ) − L j (ξ(t − z j )) dξ∣
0 dξ
∫ 1
)
= ∣ ϕ ′ (z j + ξ(t − z j ))(t − z j ) − L j (t − z j )) dξ∣
Tedy
≤
0
∫ 1
0
≤ ερ j .
‖ϕ ′ (z j + ξ(t − z j )) − L j ‖ |t − z j | dξ
ϕ(Q j ) ⊂ ϕ(z j ) − L(z j ) + L j (Q j ) + B ( 0, ερ j
)
.
Z posunuté verze lemmatu 19.10, z lemmatu 19.8 a odhadu (19.5) dostaneme
l ∗ (ϕ(Q j )) ≤ λ(L j (Q j )) + 2nC n (Mρ j ) n−1 ερ j
∫
(
= JLj + 2nC n M n−1 ε ) dt
Q
∫
j
(
≤ Jϕ(t) + (1 + 2nCn M n−1 )ε) dt.
Q j
Sečtením přes j a použitím (19.4) dostaneme
l ∗ (ϕ(E)) ≤ ∑ ∫
∫
l ∗ (
(ϕ(Q j )) ≤ Jϕ(t)+(1+2nCn M n−1 )ε) dt ≤
j
U
Limitní přechod ε → 0 dává požadovanou nerovnost.
E
Jϕ(t) dt+ε+(1+2nC n M n−1 ) ε λ(U).
19.13. Sardova věta. Nechť G ⊂ R n je otevřená množina a ϕ : G → R n je spojitě diferencovatelné
zobrazení. Nechť
Z = {t ∈ G : Jϕ(t) = 0}.
Potom λϕ(Z)) = 0.
Důkaz. Tvrzení je zřejmým důsledkem předchozí věty 19.12.
Důkaz věty o substituci. Můžeme předpokládat, že M = ϕ(G), tedy uvažujeme měřitelnou funkci u na
ϕ(G). Také můžeme předpokládat, že funkce u je nezáporná. Jestliže zobrazení ϕ je regulární a prosté,
podle věty o inverzním zobrazení je inverzní zobrazení též regulární a prosté. Nechť E ⊂ G je borelovská
množina. Potom ϕ(E) je také borelovská množina, neboť zobrazení ϕ −1 je spojité. Podle věty 19.12
máme
∫
λ(ϕ(E)) ≤ |Jϕ(t)| dt.
Odtud také dostaneme, že obraz λ-nulové množiny je λ-nulová množina. Máme-li tedy nezápornou měřitelnou
funkci f : G → R, pak postupně dostaneme měřitelnost funkce f ◦ ϕ −1 a vzorec
∫
∫
(19.6)
f(ϕ −1 (x)) dx ≤ f(t) |Jϕ(t)| dt.
ϕ(G)
Tvrzení už jsme dokázali pro charakteristickou funkci měřitelné množiny a odtud obvyklým postupem
přes jednoduché funkce plyne pro každou nezápornou měřitelnou funkci. Vyměníme-li role ϕ a ϕ −1 a
uvažujeme-li nezápornou měřitelnou funkci v na ϕ(G), dostaneme měřitelnost funkce v ◦ ϕ a vzorec
∫
∫
(19.7)
v(ϕ(t)) dt ≤ v(x) |J(ϕ −1 )(x)| dx
G
Uvážíme-li, že
1
J(ϕ −1 )(ϕ(t)) = Jϕ(t),
položíme-li f(t) = u(ϕ(t)) v (19.6) a v(x) = u(x)/ |J(ϕ −1 )(x)| v (19.7), dostaneme
∫
∫
u(x)) dx = u(ϕ(t)) |Jϕ(t)| dt,
ϕ(G)
ϕ(G)
E
G
12
G
□
□