15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

Důkaz. Můžeme předpoklýádat, že pro nějaký index i ∈ {1, . . . , n} je S = {x ∈ Q: x i = 0}. Kdyby byla
S = {x ∈ Q: x i = ρ}, měřená množina by byla jen posunutá o vektor ρL⃗e i . Najděme lineární podprostor
V prostoru R n tak, aby V obsahoval L(S) a jeho dimenze byla n−1. Dále najděme lineární isometrii P
prostoru R n na sebe tak, aby bylo P (V) = {x ∈ R n : x n = 0}. Pro každý bod x ∈ S je |x| ≤ √ n−1 ρ,
tedy
Potom
|Lx| ≤ ‖L‖ √ n−1 ρ ≤ M √ n−1 ρ
P (L(S)) ⊂ B n−1 (0, M √ n−1 ρ) × {0},
kde B n−1 (0, δ) značí n−1-rozměrnou kouli v R n−1 o poloměru δ. Odtud
tedy
P (L(S) + B(0, r)) = P (L(S)) + B(0, r) ⊂ B n−1 (0, M √ n−1 ρ + r) × (−r, r)
⊂ B n−1 (0, 2M √ n−1 ρ) × (−r, r)
λ(L(S) + B(0, r)) = λ(P (L(S) + B(0, r))) ≤ 2rα n−1 (2M √ n−1 ρ) n−1 .
□
19.11. Klíčový odhad. Nechť M ≥ 1 a L : R n → R n je lineární zobrazení s normou ‖L‖ ≤ M. Nechť
0 < r < ρ a Q = [0, ρ] n . Potom
kde C n je konstanta z lemmatu 19.10.
λ((L(Q) + B(0, r)) \ L(Q)) ≤ 2nC n M n−1 ρ n−1 r,
Důkaz. Nechť x ∈ (L(Q)+B(0, r))\L(Q). Potom existuje z ∈ Q tak, že |x−Lz| < r. Na úsečce spojující
L −1 x a z najdeme bod z ′ , který leží na hranici Q. Můžeme předpokládat z = z ′ . Tedy
(L(Q) + B(0, r)) \ L(Q) ⊂ ⋃ S
kde S probíhá všechny stěny krychle Q, kterých je 2n. Tedy
(L(S) + B(z, r)),
λ((L(Q) + B(0, r)) \ L(Q)) ≤ 2nC n M n−1 ρ n−1 r.
19.12. Věta o substituci-nerovnost. Nechť G ⊂ R n je otevřená množina a ϕ : G → R n je spojitě
diferencovatelné zobrazení. Nechť E ⊂ G je měřitelná množina. Potom
∫
l ∗ (ϕ(E)) ≤ |Jϕ(t)| dt.
Důkaz. Můžeme předpokládat, že E je omezená a E ⊂ G, jinak bychom E rozložili na spočetný systém
disjunktních množin, pro které by dodatečný předpoklad platil. Zvolme ε > 0. Najdeme omezenou
otevřenou množinu U ⊂ G tak, že E ⊂ U ⊂ U ⊂ G a
∫
∫
(19.4)
|Jϕ(t)| dt ≤ |Jϕ(t)| dt + ε.
U
Funkce Jϕ a ϕ ′ jsou stejnoměrně spojité na U. Najdeme tedy konstantu M a poloměr δ > 0 tak, aby
pro všechna s, t ∈ U platilo
(19.5)
|s − t| < δ =⇒ |Jϕ(s) − Jϕ(t)| < ε,
|s − t| < δ =⇒ ‖ϕ ′ (s) − ϕ ′ (t)‖ < ε √ n
,
E
E
‖ϕ ′ (t)‖ ≤ M.
Rozdělíme U na po dvou disjunktní sjednocení krychlí
□
U = ⋃ j
Q j ,
11