15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

Zobrazení ϕ : G → R 3 dané předpisem
⎛ ⎞
x(r, β, γ)
ϕ(r, β, γ) := ⎝y(r, β, γ) ⎠ ,
z(r, β, γ)
se nazývá zobrazení sférických souřadnic.
x(r, β, γ) := r cos γ cos β,
y(r, β, γ) := r cos γ sin β,
z(r, β, γ) := r sin γ
19.7. Věta o sférických souřadnicích. Nechť ϕ : G → R 3 je zobrazení sférických souřadnic. Potom ϕ
je prosté regulární zobrazení a Jϕ(r, β, γ) = r 2 cos γ. Je-li M ⊂ R 3 a u funkce na M, potom
∫
u(x, y, z) dx dy dz
M
(19.2)
∫
= u(r cos γ cos β, r cos γ sin β, r sin γ) r 2 cos γ dr dβ dγ,
G∩ϕ −1 (M)
pokud alespoň jedna strana má smysl.
Důkaz. Soustava rovnic
⎛ ⎞
r
s podmínkou ⎝β⎠ ∈ G má právě jedno řešení
γ
r cos γ cos β = x,
r cos γ sin β = y,
r sin γ = z
r = √ x 2 + y 2 + z 2 ,
y
β = 2 arctg
x + √ x 2 + y , 2
z
γ = arcsin √
x2 + y 2 + z 2
⎛ ⎞
x
pokud ⎝y⎠ /∈ N := (−∞, 0] × {0} × R. Ověření hladkosti a výpočet jakobiánu je rutinní záležitost.
z
Vzorec (19.2) dostaneme z věty o substituci 19.3, uvážíme-li, že λ(N) = 0.
□
V dalším se budeme zabývat důkazem věty o substituci.
19.8. Lemma o míře lineárního obrazu. Nechť L : R n → R n je lineární zobrazení. Potom pro každou
měřitelnou množinu E ⊂ R n je L(E) měřitelná a platí
λ(L(E)) = |JL|λ(E).
Důkaz. Jestliže L je singulární, pak L(R n ) je lineární podprostor R n dimenze < n a tudíž λ(L(E)) = 0 =
|JL|λ(E) pro každou množinu E ⊂ R n . Můžeme tedy předpokládat, že zobrazená L je regulární. Potom
inverzní zobrazení je spojité a obraz L(E) každé borelovské množiny je borelovská množina. Nejprve
dokážeme, že existuje konstanta α > 0 tak, že pro každou borelovskou množinu E ⊂ R n je
(19.3) λ(L(E)) = αλ(E).
Položme
α = λ(L([0, 1) n )) > 0.
Definujme množinovou funkci µ na B(R n ) předpisem
µ(E) = λ(L(E))/α.
Především, jelikož L a L −1 jsou měřitelné, množinová funkce µ je míra. Předpokládejme, že q je přirozené
číslo a Q je krychle [0, 1/q) n . Potom každá posunutá kopie Q má stejnou míru µ a [0, 1) n lze disjunktně
rozložit na q n takových kopií. Proto
µ(Q) = q −n = λ(Q).
9