15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

kde t je další proměnná (“parametr”). Je-li f funkce dvou proměnných t a x, zavedeme funkce f(·, x)
proměnné t a f(t, ·) proměnné x předpisem
f(t, ·) : x ↦→ f(t, x),
f(·, x) : t ↦→ f(t, x).
17.1. Limita integrálu závislého na parametru I. Nechť P je metrický prostor a A ⊂ P . Buď
a ∈ A \ A. Nechť funkce f : A × D → R má následující vlastnosti:
(Li-1) Pro skoro všechna x ∈ D existuje lim f(t, x).
t→a, t∈A
(Li-2) pro všechna t ∈ A je funkce f(t, ·) měřitelná,
(Li-3) existuje integrovatelná funkce g na D tak, že pro všechna t ∈ A a x ∈ D je |f(t, x)| ≤ g(x).
Potom
(17.1)
∫
lim
D t→a, t∈A
f(t, x) dµ(x) = lim
speciálně výrazy vyskytující se v (17.1) mají smysl.
∫
f(t, x) dµ(x).
t→a, t∈A D
Důkaz. Připomeňme, že v metrických prostorech lze použít ekvivalentní tzv. Heineovu definici limity:
K důkazu tvrzení
∫
∫
f(t, ·) dµ = lim f(t, ·) dµ
lim
t→a
D
D
t→a
stačí ověřit, že pro každou posloupnost t j → a bodů množiny A platí
∫
∫
lim f(t j , ·) dµ = lim f(t j , ·) dµ .
j
j
D
To je však zřejmé z Lebesgueovy věty 8.2. Poznamenejme, že aspoň jedna taková posloupnost {t j }
existuje, a tudíž funkce
lim f(t, ·) = lim f(t j , ·)
t→a j
je měřitelná.
□
17.2. Limita integrálu závislého na parametru II. Nechť P je metrický prostor a A ⊂ P . Buď
a ∈ A \ A. Nechť funkce f : A × D → R splňuje (Li-1) a (Li-2) z věty 17.1. Nechť funkce f je nezáporná
a
∫
lim f(t, x) dµ(x) = ∞.
Potom
D t→a, t∈A
lim
t→a, t∈A
∫
D
D
f(t, x) dµ(x) = ∞.
Důkaz. Důkaz probíhá jako u věty 17.1, pouze místo Lebesgueovy věty použijeme Fatouovo lemma.
17.3. Poznámka. Tvrzení 17.1 a 17.2 o záměně limity a integrálu platí též v situaci, kdy např. A =
(0, +∞) a a = +∞. Substituce t ↦→ 1/t převádí problém na limutu v nule zprava, která už zřejmě spadá
do kontextu metrických prostorů.
17.4. Spojitost integrálu závislého na parametru. Nechť P je metrický prostor. Buď a ∈ P a U
okolí bodu a v P . Nechť funkce f : U × D → R má následující vlastnosti:
(Sp-1) Pro skoro všechna x ∈ D je funkce f(·, x) spojitá v a,
(Sp-2) pro všechna t ∈ U je funkce f(t, ·) měřitelná,
(Sp-3) existuje integrovatelná funkce g na D tak, že pro všechna t ∈ U a x ∈ D je |f(t, x)| ≤ g(x).
Potom pro všechna t ∈ U je f(t, ·) integrovatelná a funkce
∫
F : t ↦→ f(t, x) dµ(x)
je spojitá v bodě a.
Důkaz. Věta je zřejmým důsledkem věty 17.1, kterou aplikujeme na A = U \ {a}
D
17.5. Derivace integrálu závislého na parametru. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou a I ⊂ R je
otevřený interval. Nechť funkce f : I × D → R má následující vlastnosti:
(De-1) Pro skoro všechna x ∈ D je funkce f(·, x) diferencovatelná na I,
4
□
□