15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

kde p < q jsou přirozená čísla. Vytvořme indexové množiny
A + = {1, 3, . . . , 2q − 1}, A − = {−1, −3, . . . , −2q + 1},
A = A + ∪ A − .
Potom v komplexním oboru máme rozklad
z 2q + 1 =
k∈A(z ∏ − z k ),
kde
z k = e ikα , α = π 2q .
Označme
Potom zderivováním rovnosti
dostaneme
Dosazením z = z k odvodíme
P k (z) =
∏
j∈A\{k}
(z − z j )
z 2q + 1 = (z − z k ) P k (z)
2q z 2q−1 = P k (z) + (z − z k )P ′ k(z)
(20.4) 2q z 2q−1
k
= P k (z k ).
Uvažujme rozklad racionální funkce na částečné zlomky
z 2p
z 2q + 1 = ∑ j∈A
a j
z − z j
,
kde a j jsou komplexní čísla, která zatím neznáme. Obě strany vynásobíme výrazem z − z k a dostaneme
Limitní přechod pro z → z k dává
a dosazením z (20.4) máme
neboť z k řeší rovnici z 2q
k
Označme
z 2p
P k (z) = ∑ j∈A
a j (z − z k )
z − z j
z 2p
k
P k (z k ) = a k
a k = 1 2q z2p−2q+1 k
= − 1 2q z2p+1 k
,
= −1. Nyní se budeme zabývat integrálem
I k (R) = q
∫ R
−R
( ak
+
a )
−k
dx, k ∈ A + .
x − z k x − z −k
β = (2p + 1) α, takže q a k = − 1 2 eikβ .
Máme
( ak
q +
a )
−k
= − 1 ( e
ikβ
)
x − z k x − z −k 2 x − e ikα +
e−ikβ
x − e −ikα
cos(kβ − kα) − x cos kβ
=
x 2 .
− 2x cos kα + 1
Substituce x = y + cos α dává
(20.5)
I k (R) =
=
∫ R
cos(kβ − kα) − x cos kβ
x 2 dx =
− 2x cos kα + 1
−R
∫ R−cos kα
−R−cos kα
∫ R−cos kα
∫
sin kβ sin kα
R−cos kα
y 2 + sin 2 kα dy −
−R−cos kα
16
−R−cos kα
sin kβ sin kα − y cos kβ
y 2 + sin 2 kα
y cos kβ
y 2 + sin 2 kα dy.
dy