15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

absolutní konvergenci (tj. též (N) ∫ |f(x)| dx konverguje) a neabsolutní konvergenci (tj. (N) ∫ |f(x)| dx
diverguje).
Konvergence integrálu |f| sama o sobě ještě nezaručuje absolutní funkcegenci integrálu f. Např. funkce
{
1, x ≥ 0,
f(x) =
−1, x < 0
nemá primitivní funkci, ale (N) ∫ 1
|f(x)| dx konverguje.
−1
15.4. Věta (vztah mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem). Nechť f je nezáporná spojitá funkce
na intervalu (a, b). Potom (N) ∫ b
f(x) dx konverguje, právě když konverguje Lebesgueův integrál funkce
a
f. V tom případě mají oba integrály společnou hodnotu.
Důkaz. (a) Zvolme c ∈ (a, b) a najděme intervaly [a j , b j ] tak, že a < a j < c < b j < b, a j ↘ a, b j ↗ b.
Nechť F je neurčitý Lebesgueův integrál funkce f, což je podle věty 15.2 primitivní funkce k f. Potom
F je neklesající a tudíž má limity F (b−), F (a+). Jelikož (z monotonie) F (b+) nemůže být −∞ a F (a+)
nemůže být +∞, rozdíl F (b+) − F (a+) má smysl a platí
(15.1) F (b+) − F (a+) = lim
k
(F (b k ) − F (a k )).
Označme
f k = fχ
ak ,b k
.
Funkce f má Lebesgueův integrál přes (a, b) (je totiž nezáporná a měřitelná). Podle Leviho věty a (15.1)
je
∫ b
a
f(x) dx = lim
k
∫ b
a
f k (x) dx = lim
k
∫ bk
a k
f(x) dx = lim
k
(F (b k ) − F (a k )) = F (b+) − F (a+),
takže ∫ b
f(x) dx konverguje, právě když F (b+) − F (a+) < ∞, ale to je přesně podmínka pro konergenci
a
Newtonova integrálu.
□
15.5. Důsledek (Diskuse vztahu mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem). Nechť f je spojitá
funkce na intervalu (a, b).
(a) Jestliže konverguje Lebesgueův integrál z f od a do b, konverguje i Newtonův a to absolutně.
(b) Jestliže Newtonův integrál z f od a do b konverguje absolutně, pak konverguje i Lebesgueův.
(c) Pokud konverguje jak Lebesgueův, tak Newtonův integrál z funkce f, pak oba mají stejnou hodnotu.
(d) Jestliže Newtonův integrál z f od a do b konverguje neabsolutně, pak Lebesgueův integrál nemá
smysl.
Tvrzení (b) a (c) platí i bez předpokladu spojitosti, ale důkaz je složitější. Tvrzení (a) naopak spojitost
vyžaduje. Jinak neplatí žádná inkluze mezi třídou všech lebesgueovsky integrovatelných funkcí a třídou
všech newtonovsky integrovatelných funkcí.
Důkaz je snadné cvičení, založené na rozkladu f = f + − f − . Pokud Newtonův integrál f konverguje
absolutně, konvergují i Newtonovy integrály funkcí f + a f − , protože f + = 1 2 (|f| + f) a f − = 1 2
(|f| + f).
15.6. Vztah mezi Riemannovým a Lebesguoevým integrálem. Nechť f je Riemannovsky integrovatelná
funkce na [a, b]. Potom Lebesgueův integrál funkce f od a do b konverguje a je roven integrálu
Riemannovu.
Důkaz. Nechť R je Riemannův integrál funkce f od a do b. Z definice Riemannova integrálu plyne, že
existují po částech konstatní funkce g j , h j tak, že
g j ≤ f ≤ h j ,
∫ b
a
g j (x) dx ↗ R,
Funkce g = sup j g j a h = inf j h j jsou měřitelné podle věty 6.11. Máme
R ≤ sup
j
∫ b
a
g j ≤
∫ b
a
g ≤
∫ b
a
∫ b
a
h ≤ inf
j
h j (x) dx ↘ R.
∫ b
a
h j ≤ R.
Tedy funkce h − g je nezáporná měřitelná a ∫ (h − g) = ∫ h − ∫ g = 0. Podle věty 7.5 je h = g s.v., tedy
i h = f s.v. Tím je dokázána měřitelnost funkce f. Protože f je omezená na [a, b], je Lebesgueovsky
integrovatelná a
∫ b
a
f =
∫ b
a
2
h = R.