15. Lebesgueův integrál na přímce Integrál podle Lebesgueovy míry ...

(De-2) pro všechna t ∈ I je funkce f(t, ·) měřitelná,
(De-3) existuje integrovatelná funkce g na D tak, že pro všechna t ∈ I a x ∈ D je
∣ ∂f
∂t (t, x)∣ ∣ ≤ g(x),
(De-4) existuje t 0 ∈ I tak, že f(t 0 , ·) je integrovatelná na D.
Potom pro všechna t ∈ I je f(t, ·) integrovatelná na D, funkce
∫
F : t ↦→ f(t, x) dµ(x)
je diferencovatelná na I a platí vzorec
∫
F ′ (t) =
D
D
∂f
(t, x) dµ(x) .
∂t
Důkaz. Nechť a, b ∈ I, b ≠ a. Podle věty o střední hodnotě pro skoro každé x ∈ D existuje ξ mezi a a b
tak, že
f(b, x) − f(a, x)
∣ ∣ = ∣ ∂f ∣ ∣∣
b − a ∂t (ξ, x) ≤ g(x).
Odtud plyne, že funkce
f(b, x) − f(a, x)
x ↦→
b − a
je integrovatelná, tudíž, volíme-li a = t 0 , i funkce f(b, ·) je integrovatelná. Zvolme znovu a ∈ I. Uvažujme
funkci
⎧
⎨f(t, x) − f(a, x)
, t ≠ a,
h(t, x) = t − a
⎩ ∂f
(a, x), t = a.
∂t
Z předpokladů a výše dokázaného je jasné, že funkce h(t, x) splňuje předpoklady věty 17.4 pro spojitost
v bodě a (s majorantou g), tedy
∫
F ′ D
(a) = lim
f(t, x) dµ(x) − ∫ f(a, x) dµ(x)
D
t→a
Tím je věta dokázána.
17.6. Příklad. Uvažujme funkci
= lim
t→a
∫D
t − a
f(t, x) − f(a, x)
t − a
F (t) =
∫ ∞
0
1 − cos x
x 2
∫
dµ(x) =
D
e −tx dx.
∂f
(a, x) dµ(x) .
∂t
Potom F je spojitá na [0, ∞) (majoranta x −2 (1 − cos x)) a pro t ∈ (0, ∞) je
F ′ (t) = −
F ′′ (t) =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
1 − cos x
x
e −tx dx,
(1 − cos x) e −tx dx.
Zde již nemůžeme najít majorantu najednou pro t ∈ (0, ∞), poslouží
x ↦→ 1 − cos x e −ax ,
x
x ↦→ (1 − cos x) e −ax
pro t ∈ (a, ∞). Jelikož pro p > 0, q ∈ R je
∫ ∞
∫ ∞
[ e
e −px cos qx dx = Re e −px−iqx −px−iqx
dx = − Re
0
0
p + iq
p
=
p 2 + q 2 ,
máme
F ′′ (t) = t
t 2 − t
t 2 + 1 = 1
t(t 2 + 1) .
5
] ∞
x=0
= Re
1
p + iq
□