8. přednáška

Převod mechanismu
analytické řešení mechanismu s pravoúhlou kulisou
Dynamika II, 8. přednáška
ω, ε
φ
v r , a
r
r
y
y = r ⋅ sinφ
y&
= r ⋅ φ&
⋅ cos φ
&& y = r ⋅&&
φ ⋅ cos φ − r ⋅ φ&
φ & = ω
&& φ = ε
v = ω⋅r
⋅cos
φ
a
y&
=
&& y =
= ε⋅r
⋅cos
φ − ω
v
p = = f
ω
mechanismus s proměnným převodem ( φ)
2
v
a
převod
2
⋅ sinφ
⋅r
⋅ sinφ
derivace převodu

analytické řešení řetězového převodu
φ
ω t ,ε t
talíř
φ & = ω
&& φ = ε
t
R
s = φ ⋅ R
t
Převod mechanismu
v = ω t·R = ω k·r
kolečko
mechanismus s konstantním převodem
ψ
r
ω k , ε k
s = ψ ⋅r
s
ψ =
r
R
ψ = φ ⋅
r
ψ & = ω
ψ && = ε
k
k
Dynamika II, 8. přednáška
R
ψ = φ ⋅
r
R
ψ & = φ⋅ &
r
R
ωk
= ωt
⋅
r
dψ
p = =
dφ
ω &
ε
k
k
= ω&
= ε
t
R
⋅
r
R
⋅
r
t
převod
= ω
R
r
= ε
t
⋅p
= konst
t
⋅p

Převod mechanismu
Dynamika II, 8. přednáška
analytické řešení řetězového převodu
φ
ω t ,ε t
talíř
R
s = φ ⋅ R
v = ω t·R = ω k·r
Převod je konstantní,
nemění se podle okamžité
polohy mechanismu
(např. podle sklonu pedálů).
ψ
kolečko
r
ω k , ε k
Zrychlení hnaného a hnacího členu
jsou ve stejném poměru (převod)
jako rychlosti
(toto neplatí pro mechanismy
s proměnným převodem).
dp
q = =
dφ
0
R
ψ = φ ⋅
r
R
ψ & = φ⋅ &
r
R
ωk
= ωt
⋅
r
dψ
p = =
dφ
ω &
ε
ε
k
k
k
= ω&
= ε
= ε
t
t
R
⋅
r
R
⋅
r
t
= ω
R
r
= ε
⋅ p + ω
t
⋅p
= konst
t
2
t
⋅p
⋅q

Mechanismy s konstantním převodem
Dynamika II, 8. přednáška
v = ω 1·r = ω 2·R
R 2
1
r ω 2 , ε 2
ω 1 , ε 1
ω
ε
p =
2
2
= ε
r
R
= ω
1
1
⋅p
⋅p
hnací kolo malé
hnané kolo velké
převod do pomala p < 1
i
R
r
ω
ω
1
= = i > 1
2
1
r
ω 1 , ε 1
R
γ
s
δ
2
ω
ε
p
2
2
=
r
R
= ω
= ε
1
1
=
⋅p
⋅p
s
s
⋅
⋅
sin
sin
γ
δ
=
sin γ
sinδ
ω 2 , ε 2

Mechanismy s konstantním převodem
řazení převodů za sebou
= ω
ω 2 ω 3
r 1
2 1
r 2 R
2
R 3
r
1 2 3
1
ω3
= ω1
⋅
ω 1
R
2
R 2
ω
p =
12
r
R
1
2
⋅
r
1
Dynamika II, 8. přednáška
r2
⋅
R
3
ω
3
p =
23
= ω
r
2
R
2
3
⋅
r
R
2
3
p =
ω
ε
3
3
p
12
= ω
= ε
1
⋅p
1
⋅p
⋅p
23
=
r
R
1
2
r2
⋅
R
3
dílčí převody se násobí

Mechanismy s konstantním převodem
Dynamika II, 8. přednáška
v = ω 1·r = ω 2·R
roztečné kružnice
R 2
1
r ω 2 , ε 2
ω 1 , ε 1
1 2
ω 1 ω 2
1 2
valení bez prokluzu s třecím převodem
ozubení - mechanická zábrana prokluzu
roztečné kružnice
1 2
r
R
ω 1 ω 2
ω 1 ω 2

Mechanismy s konstantním převodem
Dynamika II, 8. přednáška
ozubené soukolí
mechanismus s proměnným převodem
1 2
p=ω 2 /ω 1
φ 1
p=ω 2 /ω 1
φ 1
ω 1 ω 2
tlačený bok
tlačný bok
Má-li kinematická dvojice
tlačný - tlačený zub
tvořit mechanismus
s konstantním převodem,
musí mít boky zubů tvar
evolventy nebo epicykloidy.
ω 1 ω 2

Mechanismy s konstantním převodem
předlohové soukolí
planetové soukolí
Dynamika II, 8. přednáška
ω 2
r 1
R 3
3 1 2
ω 1
ω 3
1
R 2
r 2
předloha
2
r 2
ω 1
r 3
3
1
r 1
ω 3
R
2
korunové kolo
satelit
unašeč
3
ω 1 ω 3
1 pastorek
2
p
ω
ε
=
3
3
p
3
12
= ω
= ε
1
p
⋅p
1
⋅p
⋅p
=
23
1
2
⋅
=
r
r
R
1
2
r2
⋅
R
3
r
3
= r1
+ r2
R = r + 2⋅
1
r1
+ r
2
1
r 2
=
r1
R + r
1
S
A
π
v r
S
v r
A
p
=
ω
v
3
A
ω
ω
ω
3
1
1
vS
=
r3
= 2 ⋅ v
vA
=
r
=
v
r
3
1
S
S
r
⋅
v
1
A
=
r1
2⋅r
3

Mechanismy s konstantním převodem
planetové soukolí
Dynamika II, 8. přednáška
2
r 2
3
ω 3
2
korunové kolo
satelit
unašeč
3
ω 1
r 3
1
r 1
R
ω 1 ω 3
1 pastorek
S
A
π
v r
S
v r
A
p
=
ω
v
3
A
ω
ω
ω
3
1
1
vS
=
r3
= 2 ⋅ v
vA
=
r
=
v
r
3
1
S
S
r
⋅
v
1
A
=
r1
2⋅r
3

Mechanismy s konstantním převodem
kladkostroje
Dynamika II, 8. přednáška
v l =2·v
v l =2·v
v l =4·v
π
v
2·v 2·v
v,a
v
a
l
l
=
=
2 ⋅ v
2⋅a
2·v
π
v
4·v
v,a
v
a
l
l
=
=
4⋅
v
4⋅a
r/3
r

Mechanismy s konstantním převodem
variátory
Dynamika II, 8. přednáška
p =
ω
ε
ε
ω
ω
výstupní
výstupní
výstupní
výstupní
vstupní
= ω
= ε
dp
q = = 0
dφ
= ε
vstupní
= konst
vstupní
vstupní
⋅ p
⋅p
+ ω
⋅ p
2
vstupní
⋅q

Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
s u 1
mechanismus
mechanismus jako
„geometrický převodník“
u 2
u 3
mechanismus s 1 stupněm volnosti
1. úloha polohy
u = f ( s)
Dynamika II, 8. přednáška
zdvihová závislost
2. řešení rychlosti
zobecnělá souřadnice
délková nebo úhlová
s - souřadnice hnacího členu
- vstupní souřadnice
- „souřadnice mechanismu“
souřadnic mechanismu
je tolik, kolik stupňů
volnosti mechanismus má
u - souřadnice hnaného členu
- výstupní souřadnice
výstupních souřadnic
může být libovolný počet
v
výst
du
ds
v
ds
dt
( s)
( t )
výst
=
=
=
du
=
v
p
du
ds
( s( t )) ( s) ( t )
dt
p
( s)
vst
⋅ v
=
( s) vst
ds
zobecnělá rychlost
⋅
převod
dt

Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
s u 1
mechanismus
mechanismus jako
„geometrický převodník“
u 2
u 3
mechanismus s 1 stupněm volnosti
1. úloha polohy
u =
f ( s)
Dynamika II, 8. přednáška
zdvihová závislost
2. řešení rychlosti
3. řešení zrychlení
a
výst
=
dv
výst
dt
=
d
( p ) ( s)
⋅ vvst
dp( s)
dt
=
dt
⋅ v
vst
+
p
( s)
⋅
dv
dt
vst
a
výst
=
dp
ds
( s)
⋅
ds
dt
⋅ v
vst
+
p
( s)
⋅
dv
dt
vst
dp
ds
( s)
=
q
( s)
derivace převodu
a
výst
=
p
⋅a
+ q
( s) vst ( s)
zobecnělé zrychlení
⋅ v
2
vst
ds =
dt
v vst
dv
dt
vst
=
a
vst

Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
s u 1
mechanismus
mechanismus jako
„geometrický převodník“
3. řešení zrychlení
u 2
u 3
mechanismus s 1 stupněm volnosti
1. úloha polohy
u =
f ( s)
zdvihová závislost
2. řešení rychlosti
v
výst
=
Dynamika II, 8. přednáška
p
⋅ v
( s) vst
a
výst
=
p
⋅a
+ q
( s) vst ( s)
⋅ v
2
vst
převodové funkce
u =
f ( s)
zdvihová závislost
du
ds
( s)
= p převod
( s)
dp
ds
( s)
= q ( s)
derivace převodu

Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
r u 1
mechanismus
s
mechanismus jako
„geometrický převodník“
3. řešení zrychlení
a
q11
q12
výst
=
+
a
v
vst1
2
vst1
+ 2⋅
v
⋅p1
+ a
⋅q11
+
vst1
⋅ v
vst2
vst2
v
⋅q12
u 2
u 3
⋅p2
+
2
vst2
( r , s)
( r , s)
= q22( r,
s)
( r,
s)
=
∂p1
∂r
∂p1
∂s
( r , s) ( r , s)
=
∂p2
∂r
⋅q22
+
=
∂p2
∂s
( r , s)
mechanismus se 2 stupni volnosti
1. úloha polohy
du
v výst
u = f
,
=
=
∂u
( r s)
∂u
( r,
s) ( r , s)
∂r
du
dt
⋅ dr +
∂u
= ⋅
∂r
dr
dt
∂s
⋅ ds
∂u
+ ⋅
∂s
ds
dt
v
výst
= vvst1
⋅ p1
,
+ v ⋅ p2
,
p1
∂u
( r,
s)
( r , s)
= p2( r,
s)
∂r
zdvihová závislost
2. řešení rychlosti
totální diferenciál
Dynamika II, 8. přednáška
( r s) vst2 ( r s)
=
∂u
( r,
s)
∂s

Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
trigonometrická metoda
Trigonometrická metoda
spočívá v intuitivním použití
rozličných geometrických zákonitostí,
aplikovaných na geometrii mechanismu.
mechanismus s 1 stupněm volnosti
1. úloha polohy
u = f ( s)
Dynamika II, 8. přednáška
ω 32 , ε 32
zdvihová závislost
r
φ
b
2
3
4
x
1
v,
a
r
r φ
x
2
2 2
= r + b − 2 ⋅ r ⋅ b ⋅ cos
x
2 2
( φ) = r + b − 2 ⋅ r ⋅ b ⋅ cos φ

Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
vektorová metoda
Vektorová metoda
spočívá v nahrazení kinematického schématu
řetězcem vektorů, tvořících uzavřený vektorový obrazec.
Rovnice, vyjadřující uzavřenost vektorového obrazce,
pak slouží k sestavení rovnic řešení úlohy polohy.
mechanismus s 1 stupněm volnosti
1. úloha polohy
u = f ( s)
Dynamika II, 8. přednáška
r
i
φ i
zdvihová závislost
φ n r
n
r 1
φ 1
r
2
φ2
Kinematické schéma - řetězec členů
r
1
n
r r r r
+ 2
+ K+
i
+ K+
n
= ∑
i
i=
1
=
r
0
Uzavřený vektorový obrazec
n
∑
i=
1
r
i
⋅ cos φ
i
= 0
n
∑
i=
1
r
i
⋅
sin φ
i
=
0

H
Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
vektorová metoda
1
A
C
2 r
ω 2 ,ε 2
ψ
4
φ
r
v
ω 4 , ε 4
r
3
ω 3 , ε 3
r
,
34
a 34
r
+ z
r ⋅ sinφ −
r ⋅ cos φ −
B
r
+ H
z
r
= 0
z ⋅ sinψ =
z ⋅ cos ψ +
0
H
H r
=
ψ
0
φ
r
z r
mechanismus s 1 stupněm volnosti
1. úloha polohy
tan ψ =
ψ =
u = f ( s)
arctan
ω
ε
4
4
Dynamika II, 8. přednáška
r ⋅ sin φ
H + r ⋅ cos φ
= p⋅ε
zdvihová závislost
r ⋅ sin φ
H + r ⋅ cos φ
= p⋅ω
p
q
2
2
+ q ⋅ω
( φ)
( φ)
=
=
dp
2
2
dψ
dφ
( φ)
dφ
d
2
ψ
( φ) ( φ)
=
dφ
2

H
Mechanismy s proměnným převodem
analytické řešení
vektorová metoda
1
A
C
2 r
ω 2 ,ε 2
ψ
4
φ
r
v
ω 4 , ε 4
r
3
ω 3 , ε 3
r
,
34
a 34
r
+ z
r ⋅ sinφ −
r ⋅ cos φ −
B
r
+ H
z
r
= 0
z ⋅ sinψ =
z ⋅ cos ψ +
0
H
H r
=
ψ
0
φ
r
z r
mechanismus s 1 stupněm volnosti
1. úloha polohy
u = f ( s)
zdvihová závislost
r ⋅ φ&
⋅ cos φ − z&
⋅ sin ψ − z ⋅ ψ&
⋅ cos ψ = 0
− r ⋅ φ&
⋅ sin φ − z&
⋅ cos ψ + z ⋅ ψ&
⋅ sin ψ = 0
φ & = ω 2
= ω4
r ⋅φ⋅ && cosφ − r ⋅φ&
2
z & =
v
ψ&
34
⋅ sin φ −&&
z ⋅ sin ψ −
2
− 2⋅z&
⋅ψ&
⋅cos
ψ − z ⋅ψ&&
⋅cos
ψ + z ⋅ψ&
⋅ sin ψ = 0
2
− r ⋅φ⋅ && sin φ − r ⋅φ&
⋅cos
φ −&&
z ⋅cos
ψ +
+ 2⋅z&
⋅ψ&
⋅ sin ψ + z ⋅ψ&&
⋅ sin ψ + z ⋅ψ&
& φ = ε 2
ψ& = ε
4
Dynamika II, 8. přednáška
2
⋅cos
ψ = 0
& && z = a
34

Mechanismy s proměnným převodem
řešení rychlostí pólovou konstrukcí
dáno : ω 2
vypočtěte : ω 4
π
ω 3
Dynamika II, 8. přednáška
π
n B n C
ω 4 =?
A
ω 2
v r
B
2
B
3
v r
C
C
4
v r
B
B
3
v r
C
C
1
vB
= ω2
ω
4
vC
=
CD
⋅ AB
= ω
2
⋅
AB
⋅
Bπ
Cπ
CD
D
1
ω
v
C
3
=
= ω
v B
Bπ
3
⋅Cπ =
v
B
⋅
Cπ
Bπ

Mechanismy s proměnným převodem
řešení rychlostí pólovou konstrukcí
AB⋅
cos φ +
AB⋅
sin φ −
A
1
φ
2
B
BC ⋅ cos γ
BC ⋅ sin γ
γ
3
AD S
AD V
+ CD ⋅ cos ψ = AD
− CD ⋅ sinψ = −AD
C
4
ψ
D
sin
=
v
s
BC
180
B
φ+γ
π
180º-(φ+ψ)
ψ-γ
C
[ ° − ( φ + ψ)
] sin( φ + ψ)
Bπ
sin
=
=
Cπ
( ψ − γ) sin( φ + γ)
sin
Bπ = BC ⋅
sin
Dynamika II, 8. přednáška
( ψ − γ)
( φ + ψ)
BC
sin
Cπ = BC ⋅
sin
=
( φ + γ)
( φ + ψ)

Mechanismy s proměnným převodem
řešení rychlostí pólovou konstrukcí
Dynamika II, 8. přednáška
B
A
2
ω 2
v r B
A
n A
3
1
π
n C
π
4
n
•
D
C
n B
D
v r D
B
v r B
v r
A
n B

Mechanismy s proměnným převodem
řešení rozkladem pohybu
dáno : vypočti : r r
ω 2 ,ε 2
B
v
3 C
1
A
2
C
, a
C
4
r
a
Ct
+
r
v
r
a
r
a
základní konstrukce
C
C
Cn
r
= v
r
= a
r
= a
Dynamika II, 8. přednáška
B
B
Bt
r
+ v
r
+ a
r
+ a
CB
CB
Bn
r
+ a
CBt
r
+ a
CBn
výsledný pohyb
obecný rovinný
=
unášivý pohyb
posuvný
+
relativní pohyb
rotační
A
B
C
=
A
B
C
+
B
C
v r
CB
┴BC
┴AB
v r B
v r
C
a
a
Bn
=
CBn
=
2
vB
AB
v
2
CB
BC
║BC
║AB a r Bn
a r ┴BC
CBn
a r
CBt
a r
C
┴AB
a r
Bt

Mechanismy s proměnným převodem
řešení rozkladem pohybu
dáno : vypočti : r r
ω 2 ,ε 2
B
v
3 C
1
A
2
B
ψ
φ
A
C
, a
a
C
C
C
= a
0 = a
Bt
Bt
4
⋅ sin φ + a
⋅ cos φ − a
r
a
Bn
Bn
Ct
r
v
r
a
r
+ a
v
C
0 =
základní konstrukce
C
C
Cn
=
v
v
B
⋅ sinφ − a
r
= v
r
= a
r
= a
B
⋅ cos φ − a
B
B
Bt
r
+ v
r
+ a
r
+ a
CB
CB
Bn
⋅ sin φ − v
⋅ cos φ − v
CBt
Dynamika II, 8. přednáška
CBt
r
+ a
CB
CB
⋅ sinψ + a
⋅ cos ψ − a
CBt
r
+ a
⋅ sinψ
⋅ cos ψ
CBn
CBn
CBn
⋅ cos ψ
⋅ sin ψ
φ
ψ
v r
CB
v
2
v r B
φ
a
a r a r Bn
=
Bn
B
Bt
AB 2
φ
v
ψ a r a r
CB
CBt
φ
v r a
CBn
CBn
=
BC
ψ
C
a r
C

Mechanismy s proměnným převodem
řešení rozkladem pohybu
2
A
A
B
3
4
r
v
r
B,
a r
v
Bt
ω 2 ,ε 2 C
D
dáno : vypočti :
C
r
, a
Ct
A
Coriolisova konstrukce
vB
= ω2
B
Dynamika II, 8. přednáška
⋅ AB
C
D
1
4 : 1
=
a Bn
B
φ ω 2 ,ε 2
A
r
v
v
v
B
B
B
r
= v
41
ψ v34,
a34
r
v ,
r
B
a Bt
r
+ v
34
⋅ sinφ = −v
⋅cos
φ = v
41
41
δ
r
r
ω 41 ,ε 41
C
D
⋅ sin δ + v
⋅cos
δ + v
┴BD
v r φ
41
δ
34
34
B
⋅cos
ψ
⋅ sinψ
v r
┴AB
v r
34
B
ψ
║BC
3 : 4
B
B
+
D
D
ω 41 =
C
v 41
BD
C

Mechanismy s proměnným převodem
Dynamika II, 8. přednáška
A
řešení rozkladem pohybu
B
3
4
2
v
r
B,
a r
Bt
ω 2 ,ε 2
A
D
r r
v , a
C
C
Ct
A
Coriolisova konstrukce
= ⋅ AB
= ε ⋅AB
vB
ω2
B
a
Bt 2
a
Bn
= ω
2
2
⋅AB
C
D
a
A
= a
a
Bt
Bn
= a
r
a
φ
Bn
a Bn
r
a
r
+ a
B
ω 2 ,ε 2
B
Bt
⋅ sin φ − a
41n
⋅ sin φ + a
41n
v ,
r
B
a Bt
r
= a
r
= a
Bn
⋅cos
δ − a
41
1
ψ v34,
a34
r
Bt
⋅ sin δ + a
41n
r
+ a
r
+ a
34
⋅cos
φ =
41t
⋅cos
φ =
41t
δ
r
+ a
r
+ a
41t
⋅ sin δ + a
⋅cos
δ + a
r
Cor
34
34
r
ω 41 ,ε 41
34
r
+ a
Cor
D
⋅cos
ψ + a
⋅ sin ψ + a
║AB
Cor
Cor
C
φ
B
φ
a r
Bn
a r Bt
┴AB
⋅ sin ψ
a 41t
┴BD
⋅cos
ψ
a r
a r 34
41n
ψ
δ
δ
a r
Cor
4 : 1
B
┴BC
║BC
B
║BD
3 : 4
a
Cor
=
=
2
a
+
⋅ ω
2
2
41n
= = ω41
⋅
41
⋅ v
34
v41
BD
D
D
ω = 41
ε 41 =
BD
C
v 41
BD
a 41t
BD
C

Mechanismy s proměnným převodem
Dynamika II, 8. přednáška
A
řešení rozkladem pohybu
B
3
4
2
v
r
B,
a r
Bt
ω 2 ,ε 2
A
D
r r
v , a
C
C
Ct
A
Coriolisova konstrukce
= ⋅ AB
= ε ⋅AB
vB
ω2
B
a
Bt 2
a
Bn
= ω
2
2
⋅AB
C
D
r
v
C
r
= v
41
v
41
= ω41
⋅
v
v
Cx
Cy
= v
= v
34
41
r
+ v
34
CD
1
⋅cos
ψ − v
⋅cos
γ − v
34
41
r
r
ψ v34,
a34
ω 41 ,ε 41
D
r r
v ,
a r
41
a 41t
41n
γ
C
a r
Cor
v r
34
┴CD
v r v r 41
C
⋅ sin γ γ
⋅ sin ψ
C
ν
v r
ψ ║BC
v r
Cx
Cy
4 : 1
B
B
3 : 4
a
Cor
=
=
2
a
+
⋅ ω
2
2
41n
= = ω41
⋅
41
⋅ v
34
v41
BD
D
D
ω = 41
ε 41 =
BD
C
v 41
BD
a 41t
BD
C

Mechanismy s proměnným převodem
Dynamika II, 8. přednáška
A
řešení rozkladem pohybu
B
3
4
2
v
r
B,
a r
Bt
ω 2 ,ε 2
A
D
r r
v , a
C
C
Ct
A
Coriolisova konstrukce
= ω ⋅ AB
= ε ⋅AB
vB
2
B
a
Bt 2
a
Bn
= ω
2
2
⋅AB
C
D
r
a
r
a
C
r
= a
r
= a
41
r
+ a
r
+ a
C 41n
a
41t
= ε41
⋅
2
a
41n
= ω41
⋅
a
a
Cx
Cy
= a
= a
34
41t
34
1
r
+ a
r
+ a
41t
CD
CD
Cor
⋅cos
ψ − a
⋅cos
γ − a
34
41n
41n
r
r
ψ v34,
a34
r
+ a
ω 41 ,ε 41
Cor
a r
41t
┴CD
⋅cos
γ − a
⋅ sin γ − a
41t
34
γ
D
r r
v ,
a r
41
a 41t
41n
γ
a r 34
a r
γ
41n
C
║CD
⋅ sin γ + a
⋅ sin ψ + a
a r
Cor
ψ
║BC
C
Cor
Cor
a r 31
µ
a r
Cx
⋅ sin ψ
⋅cos
ψ
ψ
a r
a r Cor
Cy
4 : 1
B
B
┴BC
3 : 4
a
Cor
=
=
2
a
+
⋅ ω
2
2
41n
= = ω41
⋅
41
⋅ v
34
v41
BD
D
D
ω = 41
ε 41 =
BD
C
v 41
BD
a 41t
BD
C