L - Помощь студентам

НО сходятся
или расходятся.
Например, поскольку ( J.. dx (а Е R) СХОДИТСЯ
J ха
при а> 1 и расхо­
I
ДИТСЯ при а ~ 1, то ряд Дирихле \"' J.. сходится при а> 1 и расхо-
Ln"
ДИТСЯ при а ~ 1.
Сходимость многих рядов можно исследовать путем сравнения
их с соответствующим рядом Дирихле.
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда (12.1)
монотонно убывают и функция у = f(x), непрерывная при х;;;" а ;;;., 1,
00
такова, что f(n) = иn . Тогда ряд (12.1) и интеграл \ f(x)dx одновремена
L
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
2п
--0----,-
(п + 2 1)2
n=1
~ Положим, что
2х
f(x)= (х2 + 1)2' Эта функция удовлетворяет
всем требованиям интегрального признака Коши. Тогда несобствеН>JЫЙ
интеграл
в
( 2х dx = lim ( 2х dx = - lim
J (х 2 + I? B~oo J (х 2 + 1)2 B~oo
I
I
B
1 I = J..
(х + 2 1) I 2 '
т. е. сходится, а значит, данный рЯД также сходится. ~
ЧИСЛОВОЙ ряд (12.1), члены и, которого после любого номера
N (п> N) имеют разные знаки, называется знакопеременным.
Если ряд
(12.5)
сходится, то ряд (J 2. 1) также сходится (это легко доказывается) 11 Н3-
зывается абсолютно сходящимся. Если ряд (12.5) расходится, а (1НД
(12.1) сходится, то ряд (12.1) называется условно (неабсолютно) схидящимся.
При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются
признаки сходимости с ПОJlожительными ЧJlенами рядов.
\"' sin па
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд L --п-2 - (а Е R).
n=1
~ Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныХ величин членов
данного ряда, т. е. ряд L
n=1
Isin nal
п 2 (а Е R). Так как Isin nal ~ 1, то
члены исходного ряда не больше членов ряда Дирихле L ~2 (а = 2),
12
n=1