L - Помощь студентам

СБОРНИК
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
в трех
частях
Под общей редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора А. п. Ря6ушко
Часть 3
Допущено Министерством
народного образования Беер
в качестве учебного пособия
студентов инженерно-технических
для
сllециалыlстейй вузов
МИliСК
.. ВышэЙшая школа»
1991

ББК 22.11 я73
С23
УДК 51(076.1)(075.8)
А в т о р ы: А. П. Ря6ушко, В. В. Бархатов,
В. В. Державец, и. Е. Юруть
Ре ц е н з е н т ы: кафедра высшей математики Московского энергетического
IIнститута; зав. кафедрой высшей матемаТIIКИ Минского радиотехнического
института, д_р физ.-мат. наук, проф. л. А. Черкас
Сборник индивидуальных заданий по высшей
С23 математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч.3/ А. п. Рябушко,
В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть; Под
общ. ред. А. п. Рябушко.- Мн.: Выш. шк.,
1991.-288 с.: ил.
ISBN 5-339-00328-0.
Книга является составной частью комплекса учебных пособий
по курсу высшей математики, направленных на развитие
и активизацию самостоятельной работы студентов вузов. Содер·
жатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных
и индивидуальных заданий по рядам, кратным I! криволииейным
интегралам и элементам теории поля.
Для студентов инженеРНd-технических специальностей вузов.
1602010000- 041
С 9-91
М304(03)-91
55/( 22.llя73
ISBN 5-339-00328-0 (ч. 3)
ISBN 5-339-00483-Х
@ КоллеКТl1В авторов, 1991

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является третьей частью
комплекса учебных пособий под общим
названием «Сборник индивидуальных заданий
по высшей математике», написанного
в соответствии с действующими программами
курса высшей математики в
объеме 380-450 часов для инженерно-технических
специальностей вузов. Этот комплекс
также может быть использован в вузах
других профилей, в которых количество
часов, отведенное на изучение высшей
математики, значительно меньше. (Для
этого из предлагаемого материала следует
сделать необходимую выборку.) Кроме
того, он вполне доступен для студентов
вечерних и заочных отделений вузов.
Настоящий комплекс пособий адресован
преподавателям и студентам и предназначен
для проведения практических
занятий, самостоятельных (контрольных)
работ в аудитории и выдачи индивидуальных
домашних заданий по всем разделам
курса высшей математики.
В третьей части «Сборника индивидуальных
заданий по высшей математике»
содержится материал по рядам, кратным
и криволинейным интегралам и элементам
теории поля. Ее структура- -flналогична
3

структуре предыдущих частей, а нумерация
глав, параграфов и рисунков продолжает
соответствующую нумерацию.
Авторы выражают искреннюю благодарность
рецензентам - коллективу кафедры
высшей математики Московского
энергетического института, возглавляемой
членом-корреспондентом АН СССР, доктором
физико-математических наук, профессором
С. И. Похожаевым, и заведующему
кафедрой высшей математики Минского
радиотехнического института, доктору
физико-математических Hay~ профессору
Л. А. Черкасу, а также сотрудникам этих
кафедр кандидатам физико-математических
наук, доцентам Л. А. Кузнецову,
П. А. Шмелеву, А. А. Карпуку - за ценные
замечания и советы, способствовавшие
улучшению книги.
Все отзывы и пожелания просьба присылать
по адресу: 220048, Минск, проспект
Машерова, 11, издательство «Вышэйшая
школа».
Авторы

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Охарактеризуем структуру пособия, методику его использования,
организацию проверки и оценки знаний,
навыков и умений студентов.
Весь практический материал по курсу высшей математики
разделен на главы, в каждой из которых даются
необходимые теоретические сведения (основные определения,
формулировки теорем, формулы), используемые
при решении задач и
выполнении упражнений. Изложение
этих сведений иллюстрируется решенными примерами.
(Начало решения примеров обозначается символом ~, а
конец - ..... ) Затем даются подборки задач с ответами для
всех практических аудиторных занятий (АЗ) и для самостоятельных
(миниконтрольных) работ на 10-15 минут
во время этих занятий. И, наконец, приводятся недельные
индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое
из которых содержит 30 вариантов и сопровождается
решением типового варианта. Часть задач из идз снабжена
Ответами. В конце каждой главы предлагаются
дополнительные задачи повышенной трудности.
В приложении приведены двухчасовые контрольные
работы (каждая - по 30 вариантов) по важнейшим темам
курса.
Нумерация АЗ сквозная и состОит из двух чисел:
первое из них указывает на главу, а второе - на порядковый
номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-12.1
означает, что АЗ относится к двенадцатой главе и является
первым по счету. В третьей части пособия содержится
21 АЗ и 10 ИДЗ.
Для ИДЗ также принята нумерация по главам. Например,
шифр ИДЗ- 12.2 означает, что идз осносится К
двенадцатой главе и является вторым. Внутри каждого
ИДЗ принята следующая нумерация: первое число означает
номер задачи в данном задании, а второе - номер
варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-12.2: 16 означает,
что студент должен выполнять 16-й вариант из ИДЗ-12.2,
Б

который содержит задачи 1.16,2.16,3.16 и т. д. При выдаче
ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов
можно менять от задания к заданию по какой-либо системе
или случайным образом. Более того, можно при
выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант, комбинируя
однотипные задачи из разных вариантов. Например,
шифр ИДЗ-12.2:1.2; 2.4; 3.6; 4.1; 5.15 означает,
что студенту следует решать в ИДЗ- 12.2 первую задачу
из вар\А"Iцта 2, вторую - из варианта 4, третью - из
варианта 6, четвертую - из варианта 1 и пятую - из
варианта 15. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ
позволяет из 30 вариантов получить большое количество
новых
вариантов.
Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых втузов
(Белорусский институт механизации сельского хозяйства,
Белорусский политехнический институт, ДаЛЫIевосточный
политехнический институт и др.) показало, что целесообразнее
выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых,
как правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ,
включающее в себя основной материал двух АЗ данной
недели.
Дадим некоторые общие рекомендации по организации
работы студентов в соответствии с настоящим пособием.
1. В вузе студенческие группы по 25 человек, проводятся
два АЗ в неделю, планируются еженедельные необязательные
для посещения студентами консультации,
выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систематического
контроля с выставлением оценок, указанием
ошибок и
путей их исправления могут быть использованы
выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов
и банк листов решений, которые кафедра заготавливает
дЛЯ ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы
ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы
решений разрабатываются только для тех задач и вариантов,
где важно проверить правильность выбора метода,
последовательности действий, навыков и умений
при вычисЛениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ
нужны листы решений. Листы решений (один вариант
располагается на одном листе) используются при самоконтроле
правильности выполнения заданий студентами,
при взаимном студенческом контроле, а чаще при комбинирuванном
контроле: преподаватель проверяет ли шь
правильность выбора метода, а студент по листу решений
- свои вычисления. Эти методы позволяют проверить
б

идз 25 студентов за 15-20 минут с выставлением оценок
в журна,Т].
2. Студенческие группы в вузе по 15 человек, проводятся
два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы
включены обязательные два часа в неделю самоподготовки
под контролем преподавателя. При этих условиях
(которые созданы, например, в Белорусском институте
механизации сельского хозяйства) организация индивидуальной,
самостоятельной, творческой работы студентов,
оперативного контроля за качеством этой работы значительно
улучшается. Рекомендованные выше методы пригодны
и в данном случае, однако появляются новые воз­
МОЖНОСТlI. На АЗ быстрее проверяются и оцениваются
ИДЗ, во время обязательной самоподготовки можно
проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ,
выставить оценки части студентов, принять задолженности
по ИДЗ у отстающих.
Накапливание большого количества оценок за ИДЗ,
самостоятельные и контрольные работы в аудитории
позволяет контролировать учебный процесс, управлять
им, оценивать качество усвоения изучаемого материала.
Все это дает возможность отказаться от традиционного
итогового семестрового (годового) экзамена по материалу
всего семестра (учебного года) и ввести так
называеМЫ!1 блочно-цикловой (модульно-цикловой) метод
оценки знаний и навыков студентов, состоящий в следующем.
Материал семестра (учебного года) разбивается
на блоки (модули), по каждому из которых выполняются
АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла двухчасовая письменная
коллоквиум-контрольная работа, в которую входят
2-3 теоретических вопроса и 5-6 задач. Учет оценок по
АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной позволяет вывести
объективную общую оценку за каждый блок (модуль)
и итоговую оценку по всем блокам (модулям) семестра
(учебного года). Подобный метод внедряется, например,
в Белорусском институте механизации сельского хозяйства.
В заключение отметим, что пособие в основном ориентировано
на студента средних способностей, и усвоение
содержащегося в нем материала гарантирует удовлетворительные
и хорошие знания по курсу высшей математики.
Для одаренных и отлично успевающих студентов необходима
подготовка заданий повышенной сложности (индивидуальный
подход в обучении!) с перспеКТИВНЫМII по-
7

ощрительными мерами. Например, можно разработать
для таких студентов специальные задания на весь семестр,
включающие задачи настоящего пособия и дополнительные
более сложные задачи и теоретические упражнения
(для этой цели, в частности, предназначены дополнительные
задачи в конце каждой главы). Преподаватель может
выдать эти задания в
начале семестра, установить график
их выполнения под своим контролем, разрешить свободное
посещение лекционных или практических занятий по
высшей математике и в случае успешной работы выставить
отличную оценку до экзаменационной сессии.

12. РЯДЫ
12.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Выражение вида
И1 + И2 + '" + и n + .., = ~ И n ,
п=1
( 12.1)
где и" Е R, называется ЧИСЛОВblМ рядом. Числа И1, щ, ... , И n , ... называются
членами ряда, число и n - общим членом ряда.
СУМ'мы
51 = И1, 52 = И1 + И2, ... , 5 n = И1 + И2 + '" + и n
называются чаСТИЧНblМИ суммами, а 5 n - п-й частичной суммой ряда
(12.1). Если lim 5" существует и равен числу 5, т. е. 5 = lim 5 n , тО
n~OO
n~OO
ряд (12.1) называется сходящимся, а 5 - его суммой. Если lim 5 n
n~OO
не существует (в частности, бесконечен), то ряд (12.1) называется
расходящимся. Сумма
Г n =И n +1 +И n +2+ ... + И n+k+ ...
называется п-м остатком ряда (12.1).
Если ряд (12.1) сходится, то
lim г" = lim (5 - 5 n ) = О.
11-00 п_оо
Пример 1. Дан ряд I п(п ~ 1)' Установить сходимость .этого
11=1
ряда и найти его сумму.
~ Запишем п-ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:
1 1 1
5 n = -1-.-2- + 2:-з + ... + п(п + 1)
= (..!.. - ..!..) + (..!.. - ..!..) + ... + (..!.. - -1-) = 1 __ 1_.
1 2 2 3 n п+' п+'
Поскольку
5= lim 5n = lim (1- --1-)= 1
п __ 00 п __ 00 n + 1 '
то данный ряд сходится и его сумма 5 = 1 .....
Ряд вида
а + aq + aq2 + ... + aqn-I + ... (12.2)
9

f;[1сдставляет собой сумму членов I'сочетрической прогрсссии со знамс­
Н:tТелем q. Известно, что при Iql < 1 ряд (12.2) сходится 11 сго сумма
S = а/(I - q). Если Iql ~ 1, то ряд (12.2) Рi.1сходится.
Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). ЕСЛII Чllсловой
ряд (/2./) CXOdllTCH, то lirпи,,=О.
п-+ 00
Обратное утверждение неверно. Например, в гаРJtIOНII'IеСКОЛI ряде
1 + ~ +. + +
+. = I +
,1=1
ибщий член стремится к нулю, однако ряд расходнтся.
Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Если
lirп и" = а ер О, то ряд (/2.1) расходllТСЯ,
,!--оо
СХОДIIМОСТЬ или расходимость числового ряда не Нi.1РУUlается, еслн
в нем отбросить любое конеЧl!ое число членов. Но его сумма, если она
существует, Прl1 этом IIзмеl!яется,
Пример 2. Исс.~едоваТI, 113 СХОДI!МОСТЬ ряд
fI=1
11
За + 1 '
~ Зi.1f1ишем общий член данного ряда:
и,,=
11
311 + l'
Тогда
, . 11 1)
Ilnl ll" = 11n1 -3-- = -3 ер (,
п--00 tI __ oo n + 1
т. е, ряд расходится. ~
Рассмотрим некоторые достаточные IIp1l3HaKll CXOdll,1I0CТlI 'IIIСЛОвы.\:
рядов С 1I0ЛОЖllтеЛЬНbtми членаМII.
Теорема 3 (признаки сравнения). Если даны два ряда
и, + и2 + ... + и" + ... ,
и,+и,+ ... +с',,+ .. ,
(12.3)
( 12.4)
Ii для всех 11» 110 выflлняютсяя неравенства О < и" :;( и", то:
1) 1/3 сходимости ряда (12.4) следует CXOdlUtOCTb ряда (/2.3);
2) 113 расходимости ряда (I 2.3) следует расходцмость ряда (12.4).
в качестве рядов для сравиеНl1Я целесообрюно выбирать ряд,
f'редстаВ;IЯЮЩlfЙ сумму членов геомеТРllческой прогреССIIН l: aq",
"~O
с, Т:1Кже гаР:.10ническиЙ (расходящнйся) ряд.
Пример 3. ДОКi.1зать сходимость ряда
11=1
1 1 1 1
-3" = -1-3 + 2 3' + ... + -3-" + ...
11' • • 11'
(1)
[О

~ Для установлеllИЯ СХОДИМОСТИ ряда (1) воспользуемся нера
венством
1 1
и" = -- < - (п > 2)
n.3 ft З 1l
и сравиим данный ряд со сходящимся рядом
11=1
I
q= - ()
(начиная с некоторого Il = 110) 11 существует предел
lilll~=q.
11---+ 00 и n
Тогда:
1) при q < I данньu) ряд сходится;
2) при q> I ряд расходится.
При q = 1 признак Д'А.1амбера н(' да('т ответа на вопрос о сходимости
или раСХОДИМОСТII ряда: ОН может 11 СХОДIIТЬСЯ, и расходиться.
В этом случае СХОДИ\lОсть ряда исследуют с ПО~10ЩЬЮ ДРУГИХ прнзнак()в.
Пример 5. Исследовать на СХОДIIМОСТЬ ряд
1/=1
11 2 (n + 1)2
~ ПОСКО,lЬКУ Н.: = 2i1~JI И" t I = 211 ,то
Следовательно, данныii ряд СХОДIНСЯ. ~
I
- 1 расходится.
При q = 1 раДlIка,lьныii ПРlIзнак КОШ!! неприменим.
Пример 6. ИСС,lсдовать lIа СХОДIIМОСТЬ ряд L \' (11+ -в,;-=-т 1)"
11=1
~ Воспо.1ьзуемся раДlIка,lЬНЫМ признаком КОШИ:
q= lim
11_00
(
Il + 1)'/ l' 11 + I l' 1 + I/Il
--- = 1111 ---- = IIЛ -,--'---'--
8п-I 1l.,~81l-I 1l~~8-1/1l
I
8

НО сходятся
или расходятся.
Например, поскольку ( J.. dx (а Е R) СХОДИТСЯ
J ха
при а> 1 и расхо­
I
ДИТСЯ при а ~ 1, то ряд Дирихле \"' J.. сходится при а> 1 и расхо-
Ln"
ДИТСЯ при а ~ 1.
Сходимость многих рядов можно исследовать путем сравнения
их с соответствующим рядом Дирихле.
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда (12.1)
монотонно убывают и функция у = f(x), непрерывная при х;;;" а ;;;., 1,
00
такова, что f(n) = иn . Тогда ряд (12.1) и интеграл \ f(x)dx одновремена
L
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
2п
--0----,-
(п + 2 1)2
n=1
~ Положим, что
2х
f(x)= (х2 + 1)2' Эта функция удовлетворяет
всем требованиям интегрального признака Коши. Тогда несобствеН>JЫЙ
интеграл
в
( 2х dx = lim ( 2х dx = - lim
J (х 2 + I? B~oo J (х 2 + 1)2 B~oo
I
I
B
1 I = J..
(х + 2 1) I 2 '
т. е. сходится, а значит, данный рЯД также сходится. ~
ЧИСЛОВОЙ ряд (12.1), члены и, которого после любого номера
N (п> N) имеют разные знаки, называется знакопеременным.
Если ряд
(12.5)
сходится, то ряд (J 2. 1) также сходится (это легко доказывается) 11 Н3-
зывается абсолютно сходящимся. Если ряд (12.5) расходится, а (1НД
(12.1) сходится, то ряд (12.1) называется условно (неабсолютно) схидящимся.
При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются
признаки сходимости с ПОJlожительными ЧJlенами рядов.
\"' sin па
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд L --п-2 - (а Е R).
n=1
~ Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныХ величин членов
данного ряда, т. е. ряд L
n=1
Isin nal
п 2 (а Е R). Так как Isin nal ~ 1, то
члены исходного ряда не больше членов ряда Дирихле L ~2 (а = 2),
12
n=1

который, как известно, сходится. Следовательно, на основании признака
сравненням (см. теорему 3, п. 1) данный ряд сходится абсолютно.
~
Ряд вида
иl - И2 + ИЗ - '" + (- 1 )n- 1 И N + ..., (12.6)
где и n ~ О, называетс)! знакочередующимся рядом.
Теорема 7 (признак Лейбница). Если для знакочередующегося
ряда (/2.6) иl > И2 > '" > иn > .. ' И lim иn = О, то ряд (12.6) сходится
n~OO
и его сумма S удовлетворяет условию О < s < иl.
Следствие. Остаток 'n ряда (12.6) всегда удовлетворяет условию
I,nl < иn+l.
Например,
ряд
1 1 1 )n-I 1
1-2+3-4+···+(-1 п+'"
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Он сходится
1 1 1
условно, так как ряд 1 + 2 + 3 + .. ' + n + ... расходится.
Абсолютно сходящиеся ряды (в отличие от условно сходящихся)
обладают свойствами сумм конечного числа слагаемых (например, от
перемены мест слагаемых сумма не меняется).
Верна следующая
Теорема 8. Если числовой ряд сходится условно, то, .задав любое
число а, можно так переставить члены ряда, что его сумма окажется
равной а. Более того, можно так переставить члены уелuвно сходящегося
ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходя­
ЩИ.мея.
Проиллюстрируем теорему 8 на примере. Рассмотрим УС,10ВНО сходящийся
ряд
1 1 1 1 1 n-I 1
1-2+3-4+5-6+···+(-1) n+"'=S'
Переставим его члены так, чтобы после каждого положительного члеllа
стояли два отри цательных. Получим
1 1 1 1 1 1 1 1
1 - 2 - 4 + 3 - 6 - "8 + 5 - 10 - т2 + ... +
1 1 1
+ 2k - 1 - 4k - 2 - 4k + .. ,
Сложим теперь каждый положительный член с последующим отрицательным:
1 1 1 1 1. 1 1 1
2 - 4 + 6 - "8 + 10 - т2 + .. , + 4k - 2 - 4k + ... =
= +(1- ++ ~ - т+ {-- -i-+ ... +
1 1 ) 1
+ 2k - 1 - 2k + '" = 2 s.
Очевидно, что сумма исходного ряда уменьшилась вдвое!
13

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
\' (_ 1)" - 1 2n + 1 .
n(n+l)
L
п=1
~ Так как члены данного знакочередующсгося ряда монотонно
убывают и
2n+ 1
lim
п-оо n(n + 1)
= О, то, согласно пр"з"аку Лейбница, ряд
(1) сходитСя.
Рассм'отрим теперь ряд, составленный из абсолютных величин членов
ряда (1), т. е. ряд
(1 )
2n+ 1
n(n+ 1)'
(2)
2х+ 1
общий член которого задается функцией [(х) = х(х + 1) при х = п.
Найдем
( 2х+ 1 dx= lim ((~ + _1_)dX=
) х(х+ 1) В_оо) х х+ 1
I
I
= lim (In \х\ + IIl\Х + 1\) I~ = lim (In В(В + 1) -In 2) = 00.
8 __ 00 8--+00
в
Следовательно, ряд (2) расходится, и поэтому ряд (1) сходится
условно. ~
Пример 10. Вычислить сумму ряда·
1 1 (1)2 1 ( 1 )3 1 ( 1 )"
"2+2Т "2 +31 "2 + ... +;;т "2 + ...
с точностью б = 0,001.
~ Всякая п-я частичная сумма схоДящегося ряда является приближением
к его сумме с точностью, не превосходящей абсолютной
величины остатка этого ряда. Выясним, при каком количестве членов
n-й частичной суммы выполняется неравенство I г" I ~ б.
Так
Для данного
ряда
1 (-21 )"+1 + (1 )n+2
Г n = (n + ')! -;(-n -:+-2""')-:-!"2 + ...
как (n + I)! < (2n + 2)! < (2n + 3)! < ... , то
Г" ~ (n ~ I)! (+)"+1 (1 + ~ + (~y + .. .) = -:-(n-+--I)"-:-! (iY·
Путем подбора легко найти, что г ,. < < 0,001 при n = 4. Сле-
120·16
Довательно, сумма данного ряда (с точностью б = 0,001)
14
1 1 1 1
S ~ 54 = 2' + "8 + 48 + 384 = 0,648. ~

Пример 11. Вычислить сумму ряда
п=1
с точностью б = 0,001.
~ Так как данный ряд - знакочередующийся, сходящийся, то
величина отброшенного при вычислении остатка ряда, который также
,является зиакочереДУЮЩI1МСЯ рядом, не превосходит первого отброшенного
члена (на основании следствия нз признака Лейбница). Нуж-
., 1
ное число членов /1 наllДСМ путе'-l подбора из неравенства -. -- ,;;;:;
n 2 • 2"
,;;;:; 0,001. При n = 6 последнее иеравенство выполняется, значит, если
отбросить в данном ряде все члены, начиная с шестого, то требуемая
точность будет обеспечена. Следовательно,
1 1 1 1 1
S"'='S"=2-Тб+ 72 - 256 + 800 =0,449. ~
АЗ-12.1
1. доказать сходимость ряда и найти его сумму:
1/=1
(3п - 2) (3п + 1)
(Ответ: а) 1/3; Ь) 5/4.)
б) I
n=1
5" +2"
10"
2. Исследовать на сходимость следующие ряды:
а)
I
в)
I
/12
2п З _ 1 '
п=1 n=1
3"
б) I 3 n-1
(-/2)" '
г) I -1-( II + 2 )"0+211;
2"(n + 2) 2" n+ 1
11=1 11=1
д) I n tg л .
~'
00
е)
I~· п"
11=1 1/=1
3. доказать, что:
а)
. а"
Ilm-=O;
fI~OC> n! п~oc> а"l
б) l im (2n)! = О
при а> 1.
4. С помощью интегрального признака Коши исследовать
на сходимость следующие ряды:
15

а)
L п 2 +2п+5 '
б) L n .
7+('
n=' n=1
в)
L nl~2n·
~2
Самостоятельная
работа
зп + 5"
1. 1. Доказать сходимость ряда
L 15"
его сумму. (Ответ: 3/4)
n=1
и
найти
2. Исследовать на сходимость ряд
2. 1. Доказать сходимость ряда \' 1 И
L (2п - 1) (2п + 1)
найти его сумму. (Ответ: 1/2.)
2. Исследовать на сходимость ряд \' ---;:_п_.,,­
L (п'+4? .
1/=1
3. 1. Доказать сходимость ряда \'
L (Зп -
I
1)(Зп + 2)
и
n=1
I:ЗЙТИ его сумму. (Ответ: 1/6.)
i~1
2. Исследовать на сходимость ряд
\' п"
L З"п! .
1/=1
АЗ-12.2
1. Исследовать на условную и абсолютную сходимости
следующие ряды:
а) L (_1)n-I ~; б) L (- 1 )n - 1 n . 2 - n;
n~1 n~1
16
00 00
в) L (_I)n-I n2~9; г) L (- I)n - 1 6п: 5 ;
n~1 n~1

д) '\ cos(2na).
L п 2 +1 '
n~1 n~1
(_1)"
п-Iп n
2. Составить разность двух расходящихся рядов
I 2п ~ 1 И I 2 1 п И исследова-:ъ на сходимость полученn~1
n~1
ный
ряд.
3. Найти сумму ряда '\ 1 С точностью 6 = 0,01.
L 2"п 2
п=1
(Ответ: 0,58.)
4. Сколько первых членов ряда нужно взять, чтобы
их сумма отличалась от суммы ряда на величину, меньшую,
чем 10-6:
n=1 п=1
Самостоятельная
работа
1. 1. Исследовать на условную и абсолютную сходимости
ряд '\ (-I)п_I_ 2 -.
L n Iп n
n~1
2. Найти сумму ряда I (_1)П-I ~~~"I' огранип=l
чившись тремя его членами. Оценить абсолютную погрешность
вычислений. (Ответ: S = 0,266, 6 = 0,01.)
2. 1. Исследовать на условную и абсолютную сходимости
ряд I (_1)П I[~ n .
n~1
2. Найти сумму ряда '\ (_1)П-I (0,7)" ограни
L (n-I)!' -
п=l
чившись тремя его первыми членами. Оценить абсолютную
погрешность вычислений. (Ответ: S = 0,56, 6 = 0,1.)
17

для всех хЕ D, то ряд (1.2.7) называется равномерно сходящимся в п.
В случае равномерной сходимости функционального ряда его п-я частичная
сумма является приближением суммы ряда с одНОй и той же
точностью для всех х Е D.
Функциональный ряд (12.7) называется мажорируемым внекоторой
области D, если существует сходящийся числовой ряд
(12.9)
такой, что для всех х Е D справедливы неравенства:
Iщ(х)1 ~ ak (k = 1, 2, ... ).
Ряд (12.9) называется мажорантным (мажорирующим) рядом.
Например, функциональный ряд
cos х cos 2х cos 3х cos пх
-1- + -2-2- + -3-2- + ... + -n- l - + ...
1 1 1
мажорируется рядом 1 + 22 + з2 + ... + ;.;- + ... , так как I cos nxl ~ 1.
Данный функциональный ряд paBHOMeplIO СХОДIIТСЯ на всей оси Ох,
поскольку он мажорируется при любом х.
Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свойствами:
1) если члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на некотором
отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке;
2) если члены ряда (12.7) непрерывны на отрезке [а; Ь] и ряд
равномерно сходится на этом отрезке, то в случае, кОгда [а; ~I с: ra; Ь],
~ [)
\ S(x)dx = ~ \ un(x)dx,
а. n=l а
где S(X)-сумма ряда (12.7);
3) если ряд (12.7), составленный из функций, имеющих непрерывные
производные на отрезке [а; Ь], сходнтся на этом отрезке к сумме
S(x) н ряд и( (х) + uz(x) + ... + и~(x) + ... равномерно сходится на том
же отрезке, то
uf(x) + и2(х) + .'. + и~(x) + ... = S'(x).
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где ао, al, а" ..., а п , ••. - постоянные числа, называемые коэффициентами
ряда, хо - фиксированное число. При хо = О получаем степенной
ряд вида
~ а"х".
11=0
(12.10)
Теорема 1 (Абеля), 1. Если степенной ряд (12./0) сходится при
некотором значениll х = Хl =1= О, ТО он абсолютно сходится при всяком
значениll х, удовлетворяющем условию I xl < I xll.
19

2. Если степенной ряд (12.10) расходится при некотором значении
х = Х2, ТО он расходится при любых х, для которых I хl > I Х21.
Неотриuательное число R, такое, что при всех Ixl < R степенной
ряд (12.1 О) сходится, а при всех I хl > R - расходится, называется
радиусом сходимос)'и ряда. Интервал (- R; R) называется интервалом
сходимости ряда (12.10).
Радиус сходимости степенного ряда
(12.10) определяется формулой
R= lim '...!!:::-.-I или R= lim 'У 1 ,
n ____ оо an+1 n ..... ос> la n
!
(12.11)
если, начиная снекоторого п;:;'" по, все а" =1= О. (Предполагается, что
указанные пределы существуют или бесконечны.) Формулы (12.11)
легко получить, воспользовавшись соответственно признаком Д' Аламбера
нли радикальным признаком Коши.
то
00 2n. х n
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда ~ ---.
n= 13".-Vn
~ Так как
2"
аn = ---,
. 3"-Vn
2".3n+ l -Гп+! 3 -R 3
R = lim = - lim 1 + - = -.
n~OO 2"+1. 3"-Vn 2 n~OO n 2
Значит, степенной ряд сходится в интервале (-3/2; 3/2). На КоНиах
этого интервала ряд может сходиться или расходиться. В нашем примере
при х=-3/2 данный ряд принимает вид L(-I)" ~. Он
сходится по признаку ЛеЙбниuа. При х = 3/2 получаем ряд L ~,
n=1
члены которого больше соответствующих членов расходящегося гармонического
ряда. Значит, при х = 3/2 степенной ряд расходится. Следовательно,
областью сходимости исходного степенного ряда является
полуинтервал [-3/2; 3/2). ~
n=1
Если дан ряд вида ~ а"(х - хо)", то его радиус сходимости R
n=О
определяется также по формуле (12.11), а интервалом сходимости
будет интервал с иентром в точке х = хо: (хо - R; хо + R).
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
20
\' (_1)" (х-2)" .
L
n=О
2"-Гп+!

~ Найдем радиус сходимости данного ряда:
R = lim (2"+ 1-Гп+2) = 2 lim -v n
2 = 2
n~oo 2"..r;:+I n~oo n + 1 '
т. е. ряд сходится в интервале (О; 4). При х = О получаем ряд
I ~, который расходится, так как его члены больше членов
n~1 n + 1
расходящегося гармонического ряда, а при х=4- ряд \"'(_1)"__ 1 __ ,
n~ ..r;:+I
где lim 1 = О, сходящийся по признаку Лейбница. Область
n_оо ..r;:+I
сходимости данного ряда (О; 4]. ~
Пример 4. Найти область сходимости ряда
~ Находим радиус сходимости ряда:
I ~ , .
П.
Il=О
R= lim (_1_,: ( 11)')= lim (n+I)=oo.
n_оо n. n +. n---+ОО
Следовательно, данный ряд сходится на всей числовой прямой. Отсюда,
в частности, с учетом необходимого признака сходимости ряда (см.
х"
§ 12.1, теорему 1) получаем, что lim 1=0 для любого конечного х. ~
n ____ оо n.
На всяком отрезке [а; ~], лежащем внутри интервала СХодимости,
степенной ряд сходится равномерно, поэтому его сумма в интервале
сходимости является непрерывной функцией. Степенные ряды можно
почленно интегрировать и дифференцировать в их интерваJlах сходимости.
Радиус сходимости при этом не изменяется.
Пример 5. Найти сумму рЯД

А3-12.3
J. Найти область сходимости каждого из следующих
рядов: f' х" f' n
а) L (n+I).2'" б) L П:I (~);
1/=0 11=1
в) \,~.
L n~+ 1 '
п~O
д) \' (х + 2)" .
L (2п- 1).4'"
,,=1
г)
L
1/=0
е)
L
11=2
4 11 х"
З"-V(п+I)3
2t1 - l x2(n-l)
~
(Ответ: а) -2~.«2; б) -1

2. 1. Найти интервал сходимости ряда
\' 2"(х- 3)"
L 5"-";/!'-0.5
п=!
11 исследовать сходимость на концах этого интервала. (Ответ:
(1/2; 11/2). ряд сходится при х= 1/2 и х= 11/2.)
2. Найти область сходимости ряда
f/=I
3. 1. Найти интервал сходимости ряда L 1 ОП х N - I И
исследовать сходимость на концах этого интервала. (Ответ:
(-[/10; 1/10). ряд расходится при x=+I/IO.)
2. Найти область сходимости ряда L 7,.
11=1
11=0
12.3. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Если функция у = [(х) имеет производные в окрестности точки х = хо
+ О(х - ха) (О < О < 1), такая, что
до (п + 1 )-го порядка включительно, то существует точка с = Ха +
{'(хо) ["(хо) ,
f(x)=f(xa) + -1-'-(х- ха) + -2-!-(х - Ха)' + ... +
f("+I)(C) "+1
где R,,(x) = (п + I)! (х- хо) .
{(")(Хо) "
+ -п-'-(х-хо) + R,,(x}. (12.12)
Формула (12.12) называется фор~tулой Тейлора функции У = [(х)
для точки Ха. Rn(x) - остаточным членом формулы Тейлора (J форме
Лагранжа. Многочлен
. f' (хо) . {(п) (Хо). . n
Р,,(х) = {(Ха) + -1-'- (х - Ха) + ... + -п-!- (х - .(0)
называется J.tНогочленом Тейлора ФУНКIЩI( У = {(х).
ПРl1 Ха = О приходим К частному случаю формулы (12.12):
f(x)=f(O)+ f'I(~) х+ {'~\O) х 2 + ... + {(';:;О) xn+R,,(x}, (12.1:3)
{СП +1) (е)
где R,,(x) = х"; с=Ох (0

Пример 1. Разложить по степеням разности х - 1 функцню У =
= х 4 - зх 2 + 2х + 2.
~ Для того чтобы воспользоваться формулой Тейлора при Хо = 1,
найдем:
y(I)=2, у'(I)=(4хЗ-6х2+2)IХ~1 =0,
у" (1) = (12x 2 - 12х) I X~ 1 = О, у'" (1) = (24х - 12) I X~ 1 = 12,
yIV(I)=24, у\!(х) = О
и т. д.
Следовательно,
х' - 3х 2 + 2х + 2 = 2 + 2(х - 1)' + (х - 1)'. ~
Пример 2. Записать многочлен ТеЙ.l0ра функции у = ~ в точке
х
хо = 1.
~ Находим производные данной функции и их значения в точке
Хо= 1:
y(x)lx~1 = 1, y'(I)= - ~I = -1,
х
х=]
Y"(I)=~I =2,УШ(I)=~1 =-6,
х х=] Х х=]
v 1 • 2 . 3 . 4 I _ (n)
_ _ " ~ I _ _ " ,
у' (1)= XOx~1 -24, ... , У (1)-( 1) х,,+1 x~1 -( 1) п ..
Следова TeJ) ьно,
(х- 1) 2 2 6, P,,(x)=I---I!-+2Т(х-l) -3'(X-I) + ... ,
+ (-I)"4(x-I)" = I-(x-I) + (x_I)2_ (X-I)' + ... + (-I)"(x-I)".
n.
Остаточный член формулы Тейлора для данной функции имеет вид
R (х) - ( _ 1 )" + 1 (х - 1)" + ) (О < О < 1). ~
,,- (1 + Щх - 1))"+2
Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если
функция f (х) дифференцируема в окрестности точки хо любое число
раз и в некоторой окрестности этой точки lirn R,,(x) = О или
(,,+I) О( » n~OO
lirn f (ха+ х-хо (X-X),,+I=O (12.14)
n~OO
(n + 1)' о,
то
f'(x)
f(x)= f(xo) + -I-'o-(X - Хо)+ ... + -n Ī
f(")(xo)
- (х - ха)n+... (12.15)
в частности, при ха = О
f(x)=[(O)+ f'(~) х+ ["2(1°) х 2 + ... + [(n)\о) х"+... (12.16)
1. n.
Ряд (12.15) называется рядом Тейлора, а ряд (12.16) - рядом
Маклорена.
24

Условие (12.14) является необходимым и достаточным для того,
чтобы ряд, построенный по схеме (12.15) или (12.16), СХОДИ,lСЯ к
функции f(X) в некоторой окрестности точки х = хо. В каждом конкретном
случае необходимо находить область сходимости ряда к данной
функции.
Пример 3. Разложнть в ряд МаКJIореlJа ФУIJКЦИЮ ch х и найти область,
в которой ряд сходится к данной ФУIJКЦИИ.
~ llаХОДIJМ производные функции f (х) = ch х, f' (х) = sh х, f" (х) =
= ch х, f"'(x) = sh х, ... Таким образом, f'" (х) = ch х, если n - четно

_m-c(,-m_-_I-,-)'_"(,;-m_-_n_+-,--I:.-.) " (' . 1)
+ n! х + ... -,

то
3
L х" + 2 L (- 1 У'2" х" =
(l-x)(1 +2х)
n=о 11=0
= L (1 + (-1)"2"+ ')х". (3)
n=о
Так каи ряд (1) сходится пр!! Ixl < 1, а ряд (2) - при Ixl < 1/2,
то РЯД (3) сходится к даниой функции при Ixl < 1/2 ...
Пример 5. Разложить В стснеииои ряд функцию Т(х) = arctg х.
~ Очевидно, что
1 ,=I_x'+X'_XIi+ ... +(_I)"~'X2(,,~,)+ ...
1 -(-г)
По.1УЧСflliыii ряд сходнтся BHYTPIl отрезка 1- 1; 1], ЗIJ3ЧИТ, его
можно почленно liнтегрировать на любом отрезке 10; х] с (- 1; 1).
СJlедоваТСМ,IЮ,
х
~ -1-~-t-2 d/ =
х
~ L
O

б. Найти первые три члена разложения в степенной ряд
функции, заданной уравнением ху + ~ = у, если известно,
что у = 1 при х = О. (Ответ: 1 + 2х + ~ х 2 + .. .)
Самостоятельная
работа
", 1. 1. Найти первые три члена разложения функции
{(х) =-{; в ряд по степеням х -'4.
2. Разложить в степенной ряд функцию f(x) =
= 'п (1 - 3х) и найти область сходимости этого ряда.
(Ответ: -1/3::::;;: х < 1/3.)
2. 1. Найти разложение в степенной ряд функции
f(x) = х sin 2х.
2. Разложить в степенной ряд функцию f(x) =
3 u б
(1 + х) (1 _ 2х) и наити о ласть сходимости этого ряда.
(Ответ: Ixl < 1/2.)
3. 1. Разложить по степеням суммы х + 1 многочлен
f(x) = х 4 + 3х 3 - 6х 2 + 3.
2. Разложить в степенной ряд функцию f(x) =
= 'П (1 + 2х) и найти область сходимости этого ряда.
(Ответ: - -} < х::::;;:-}.)
12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции
у = {(х), Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании
суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь
определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью,
которую можно устанавливать путем оценнвания остатка числового
ряда либо остаточного члена Rn(x) формул ТеЙ,10ра или Маклорена.
Пример 1. Вычислить Iп 2 с точностью 6 =0,0001
~ Известно, что степенной ряд
х 2 i~ х n
Iп (1 +х)=х- 2 +:3 - ... +(-I)n-'7z + (1)
при х = 1 сходится ус,товно (см. § 12.1, пример 8). для того чтобы
вычислить Iп 2 с помощью ряда (1) с точностью 6 = 0,0001, необходимо
взять не менее 10000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом,
который получается в результате вычитания степенных рядов функции
Iп (1 + х) и Iп (1 - х):
28
(2)

При 'хl < 1 ря,J, (2) сходится абсолютно, так как его радиус
сходимости R = 1, что легко устанавливается с помощью признака
Д'Аламбера.
I+х
Поскольку "'I'=X'" = 2 при х = 1/3, то, подставив это значение х
в ряд, получим
IП2=2(~+_I_з +-1-5 + ... +---~.,-, + ... ).
3 3·3' 5·3 (2n-I)3'n-
Для вычисления 'П 2 с заданной точностью необходимо найти такое
число n членов частичНой суммы S", при котором сумма остатка Iг,,1 <
< б. В иашем случае
fn=2C2n+I~.32"+' + (2n+3~.32n+J + .. ) (3)
Поскольку числа 2n + 3, 2n + 5, '" больше, чем 2n + 1. то. заменив их
на 2n + 1. мы увеличим каждую дробь в формуле (3). Поэтому
2 (1 1 )
г ,. < 2n + 1 з2,,+1 + з Zn + J + ... =
2 ( 1 1 )
= (2n+I).32n+1 1+9+81+'" =
2 1
(2n+I).3 Z "+' 1-1/9 4(2n+I)·3 Zn - 1
Путем подбора значений n находим, что для n = 3 г" < 0,00015,
при этом Iп 2 = 0,6931. ....
Пример 2. Вычислить -ге с точностью б = 0,001.
~ Воспользуемся разложением в степенной ряд функции е Х (см.
формулу 12.17), в котором примем х = 1/2. Тогда получим
_Г 1 1 1
-уе= 1 + -- + --2 + ... + --" + ...
2 2!·2. n!·2
Остаток этого
ряда
1
----------~< ---------
(n+k)!.2,,+k (n+I)!.2" 2"'= (n+I)!.2 n '
k=1 k=1
так как (n+I)I«n+2)!< ... При n=4 г < -1-

1 )1 2(1/2)"+ 1
1
R" ( 2" < (п + I)! < 0.001 ....
Пример 3. Вычислить sin -} с точностью б = 10-3.
~ Подставим в формулу (12.19) значение х = 1/2. Тогда
SiП-21=-21 __ I_з+ 10_ ... +(_1),,-1 1+'"
'. 3! . 2 5! + 2' (2п- I)! . 2'''-
Та" "а" остато" Зlrакочередующеr'ОСЯ ряда Ir"1 ~ U"t-I (см. ряд
(12.6) и следствие из призна"а Лейбница), то достаточно наНтн первый
член и,,+", для "оторого и"+" < б. Тогда S" даст значение фун"цни тре-
1 3
буемой точности. Очевидно, что уже третий член ряда ---о < 10- ,
5!·2·'
поэтому с точностью б = 10-3
. 1 1 1
slП 2" ~ 2" - 48 ~ 0,479 ....
Пример 4. Вычислить VЗ4 с точностью б = 10-3.
~ Очевидно, что ;jЗ4 = 'У32 + 2 = 2(1 + 1/16)11:'. Воспользуемся
биномиальным рядом (см. формулу (12.21) при т = 1/5, Х= 1/16:
1
(6'+
+(+-1)(+-2) _1_ =1 ~ __ I_ =
+ 3! 16' + '" + 80 3200 + .. ,
= 1 + 0,0125 - 0,0003 + ... ~ 1,012,
пос"оль"у уже третий член можно отбросить в си.~у того, что он
меньше б = 10-3 (см. следствие из признака Лейбница). Следовательно,
-Vз4 = 2(1 + 1/16) 11" ~ 2,024 ....
Вычисление интегралов. Та" "а" степенные ряды сходятся равномерно
на любом отрезке, лежащем внутри их иитервалов сходимости, то
с помощью разложений фУН"ЦИЙ в степенные ряды можно иаходить
неопределеиные интегралы в виде степенных рядов и приближенно
вычислять соответствующие определениые интегралы.
~ ВОСПОJlьзуемся формулой (12.19). Заменив в ней х на х', получим
I
Пример 5. Вычислить \ sin (x 2 )dx с точностью б = 10-3.
О
ряд
. 2 .2 х б x lO ,l~[ х 4f1 - 2
ып (х ) = х - 3t + 5! - ... + ( - 1) (2п _ I)! + ...
Он сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду
почленltО интегрировать. Следовательно,
30

I
I
~ sin(x2)dx= ~(x2_ ;~ + ~!O _ ... +(_1)"-1
v
( хЗ
О
х 4n - 2 )
(2п _ I)! + ... dx=
х 7 х" х'''-I )11
= Т-7-3!+rт-:Б!-···+(_J)n-1 (4n-I)(2n-I)! + ... 10=
1 1 1 ,,_1 1
=З-7-3!+rт-:Б!-···+(-I) (4n-I)(2n-I)! + ... ;:::;
1 1
;:::; 3 - 7-3! = 0,3333 - 0,0381 = 0,295,
поско,~ьку уже третий член полученного знакочередующегося DЯД3
меньше 6 = 10- 3 .....
r sin х
Пример 6. Найти интеграл) -x-dx в виде степенного ряда и
указать область его сходимости.
~ Воспользuвавшись формулой (12.19), IJОЛУЧИМ ряд для подынтеГРi1льноtl
функцни
1 х 2 х 4 х'2l1- 2
-siпх=I-- з , +-5' - ... +(-IГ 1 (2 _1)1 + ..
х .. n .
Он сходится на !!сей числовой прямой, и, следовательно, его можно
почленно
интегрировать:
( sin х х З х"
) -х- dx = С + х - "3.3! + 5:5! - ... +
х'2l1- I
+ ( - I)n (2п _ 1) (2п _ I)! + .. '
Так как при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости
не изменяется, то IJолученный ряд сходится также на всей
числовой прямой. ....
Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае,
когда точНо проинтегрнровать дифференциальное уравнение с помощью
элементарных функций не удается, его решен не удоБНо искать в Вllде
степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
используется ряд Тейлора
у' = {(х, у), у(хо) = уо,
(12.22)
у(х)=
fl=O
(")(х)
JL_,_O_(x -
fl.
Хо)",
( 12.23)
где у(хо) = уо, у' (Хо) = {(хо, уо), а остальные производные У(n)(Хо) (Il = 2,
3, ... ) находятся путем последовательного дифференцирования уравнения
(12.22) и подстаНОIJКИ начальных даl1НЫХ в выражения для этих
производных.
Пример 7. Найти пять первых членов разложения в степенной
ряд решения днфференциального уравнения !I = х" + у 2 , если у( 1) = 1
31

~ Из данного уравнения находим. что y'(I) = 1 + 1 = 2. Дифференцируем
исходное уравнение:
у"=2х+2уу'. Y"(I)=6;
у"'=2+2у" +2уу". y"'(I)=22;
y'V = 4у'у" + 2у'у" + 2уу"'. y'V (1) = 116
и т. д.
Подставляя найденные значения производных в ряд (12.23). получаем
6(x-I)2 22 116
у(х) = 1 +2(x-I)+ 2 + т(х-I)З + 24(Х- 1)' + ... =
11 29
= 1 +2(х- 1)+ 3(x-l? + з(х- I)З + т(Х- 1)' + ......
Пример 8. Найти шесть первых членов разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у" - (1 + х')у = О. удовлетворяющего
начальным условиям у(О) = - 2. у' (О) = 2.
~ Подставнв в уравнение начальные условия. получим
у"(О) = 1 . (-2) = -2.
Дифференцируя исходное уравнение. последовательно находим:
y"'=2XY+(I +х 2 )у'. у'" (О) = 2;
y'V = 2у + 2ху' + 2ху' + (1 + х 2 )у". y'V(O) = -6;
у V = бу' + бху" + (1 + х 2 )у"'. У V (О) = 14.
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорсна.
получаем
Решснне задачи Коши У.=

Следовательно, искомое разложение решения имеет вид
17 2 50 з
y=2+4(x-I)+ T(x-I) + з(х-I) + ......
АЗ-12.5
1. С ПОМОЩЬЮ степенных рядов вычислить приближенно
с точностью б = 0,001 указанные величины:
} г: } г;;;. 10 г;;;;:;:;
а) -у е; б) -у 10; в) cos 100; г) -у 1027; д) 'П 3/2.
(Ответ: а) 1,396; б) 2,154; в) 0,985; г) 2,001; д) 0,405.)
2. С ПОМОЩЬЮ степенных рядов вычислить с точностью
б = 0,001 следующие определенные интегралы:
1/2 1
а) ~ .уl +x 3 dx; б) ~ cos --Гxdx;
о
о
4 1/4
в) ~ el/xdx; г)
~
е-Х' dx.
о
(Ответ: а) 0,508; б) 0,764; в) 2,835; г) 0,245.)
3. Найти неопределенный интеграл в виде степенного
ряда и указать область сходимости этого ряда:
а) ( cos Х dx;
) х
б) ~ ; dx.
4. Записать пять первых членов разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего
заданным начальным условиям:
а) 1=еУ+ху, у(О)=О;
б) 1 = 1 + х + х 2 - 2 у2, У ( 1 ) = 1;
в) l' = х 2 у - у', у(О) = 1, у'(О) = О;
г) l' = х + у2, у(О) = О, 1(0) = 1.
о
Самостоятельная
работа
1. 1. С помощью степенного ряда вычислить sin 1 с
точностью б = 0,001. (Ответ: 0,841.)
2. Найти три первых члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у' = х 2 - у,
если y(I)= 1.
2. 1. С помощью степенного ряда .зычислить .У7О с
точностью б=О,ООI. (Ответ: 4,125.)
2. Найти четыре первых члена разложения в сте-
2-357

пенной ряд решения дифференциального уравнения у" =
= х 2 - у, если у(О) = 1, у' (О) = 1.
3. 1. С помощью степенного ряда вычислить
0,5
~ Si~r2X dx с точностью б = 0,001. (Ответ: 0,946.)
о
··2. Найти три первые члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у' = х'2 у + уЗ,
если у(О) = 1.
12.5. РЯДЫ ФУРЬЕ
Функциональный ряд
вида
~) + L (а;, COS IlX + Ь N sin nх), (12.25)
11=(
где коэффициенты а n , Ь N (n = О, 1, 2, ... ) определяются по формулам:
аn = ~ ~ f (х) cos nxdx,
-"
л
(12.26)
Ь N = ~ ~ {(х) sin nxdx,
называется рядом Фурье функции {(х). Отметим, что всегда Ь О = О.
Функция {(х) называется куСОЧНО-МОНОТОННОЙ на отрезке [a~ Ь],
если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов n (а; х,),
(х,; Х2), ... , (xk~'; Ь) таким образом, чтобы в каждом из них функция была
монотонна.
Теорема 1. Если функция [(х) периодическая (nериод U) = 2л). ку,
сочно-монотонная и ограниченная на отрезке [-л; л], то ее ряд Фурье
сходится в любой точке х Е R и его сумма
S(x)= f(X-ОJtf(Х+О).
Из теоремы следует, что S(x) = {(х) в точках непрерывности функции
{(х) и сумма S(x) равна среднему арифметическому пределов слева
н справа функции f (х) в точках разрыва первого рода.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическуlO функцию
(с периодом 2л):
[(Х)={О,
-л

л
1
ао= -
л
( {(x)dx= ~ (xdx= ~~I" = ~
) л) л 2 о 2'
-л о
1 ~Л _1 и = х, dv = cos flxdx, 1 =
а" = - х cos flxdx - 1 .
л du = dx v = - SIП пХ
О ' fl
= - 1 (Х. - SIП пх 1" - ~ -1 sil1 I1xdx ) =
л n о fl
= -1 -, 1 COS пх 1" = --о 1 ((_1)"_ 1),
л n о лn 2
л
1 ~ 1 (Х 1" 1 1")
Ь n = - Х sil1 flxdx = - - - cos nx + -, sin пХ =
л Л fl О n о
о
л
л
О
(_1)"-1
= - --;;-:n cos flл = fl (n Е N).
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (12.25), получаем
л L (2 (_1)"-1)
{(х) = -4 + - 2 cos ((2п - I)x) + sin I1Х .
11=1
л(2n- 1)
Этот ряд сходится к заданиой периодической функции с периодом 2л
при всех х *' (2n - I)л. В точках х = (2п - I)л сумма ряда равна
(л+О)/2=л/2 (рис. 12.1) .....
n
-6к -5rr
А.
А. :6. А.
-4П -Jп -277 -п О я 2п Jл
1;/1.
Рис. 12.1
477 5л 6ff Х
Если функция У = {(х) имеет период :Ll, то ее ряд ypbe записывается
в виде
где
{(х)= ~O + L (а"соs(fl,л х)+ь"Siп(fl,Л х)), (12.27)
n=1
1
а" = + ~ {(х) Cos ( Л,п х )ах,
-1
(12.Щ
bn=+~ {(x)sin(7 X)dX.
-1
35

Теорема 2. Если периодическая функция с периодом 21 кусочномонотонная
и ограниченная на отрезке [-1; Ij, то ее ряд Фурье (/2.28)
сходится для любого х Е R к сумме
(ср. с теоремой 1).
S(x) = ({(х - О) + {(х + 0))/2
Пример 2. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции
с пеРИQДОМ 4;
(рис. 12.2).
- 1 при - 2 < х < о,
{(х) = { 2 при 0--- х --- 2
""" """
у
2
-6 -4
-2
О 2
4
6
)(
-1
Рис. 12.2
~ Находим коэффициенты ряда:
2 О 2
аО= -} ) {(x)dx= -}() (-I)dХ+) 2dX) =
-2 -2 О
1 (10 12) 1
= - - х + 2х = - ( - 2 + 4) = 1,
2 -2 О 2
о 2
а n = -} ( ) (- 1) cos (Л 2 П х) dx + ) 2 cos ( Л 2П х) dx) =
-2 [)
= ..!..(_ ~siп (!!!!...х) 10 + _4 siп (лп х) 12) = О,
2 лп 2 -2 ЛП 2 О
о 2
Ь n =-}() (-I)siП(Л 2 П X)dX+ )2SiП(Л 2 П X)dX) =
-2 о
1 (2 (ЛП)
IQ
4 )
=---:-" -cos -х --(соsлп-I) =
'2 лп 2 -2 лп
3 3
= -(cos лп _ 1)= _((_1)"_1).
лп
лп

Подставив найденные коэффициенты в ряд (12.28), получим
{(х) = J.. _ ~ \' __ I_ siп ((2П - I)л х) ....
2 л L 2п -1 2 .
n=!
Если периодическая функция {(х) четная, то она разлагается в ряд
Фурье только [10 косинусам, при этом
1
а n = {-~ [(х) cos ( Л1П х )dX;
о
если же периодическая функция [(х) нсчетная, то она разлагается
в ряд Фурье только по синусам и
1
Ь n = {-~ {(х) siп ( ЛlП х )dX.
о
Так как для всякой периодической функции [(х) периода 21 и любого
л Е R справедливо равенство
1 л+1
~ f(x)dx = ~ f(x)dx,
-1 л-I
то коэффициенты ряда Фурье можно вычислять по формулам:
а n = +
21
~ f(x) cos ( Л1П X)dX,
о
21
1(- .(ЛП)
Ь n = Т) '(Х) SIП -z-x dx,
где n = О, 1, 2, ...
Пусть функция {(х) кусочно-монотонна и ограничена на отрезке
[а; Ь] с (-1; [). Чтобы разложить эту функцию в ряд Фурье, продолжим
ее произвольным образом на интервал (-1; 1) так, чтобы она
оставалась кусочно-монотонной и ограниченной в (-1; 1). Найденную
функцию разложим в ряд Фурье, который сходится к заданной фу!1Кции
на отрезке [а; bj. Если заданную функцию продолжить на (-1; 1)
четным образом, то получим ее разложение только по косинусам, если
же продолжить ее нечетным образом, получим разложение только по
синусам.
Например, функция {(х), определенная на [а; Ь] с (-1; 1) и продолженная
в (-1; 1) в соответствии с равенствами
{
Опри
-f(Х) при
{(х) = о при
[(Х) при
о
при
о
-z

разлагается ТО.1ЬКО 110 синуса.\1. Сумма 5(х) ряда Фурье таком ФУНI\­
цни равна {(х) внутри отрезка la; bJ, а 5(а) = {(а)/2, 5(Ь)= {(Ь)/2
СОГ.1асно теореме 2 (рис. 12.3).
у
з/ь) /
S(a)--1
-' -Ь
а ь х
Рис. 12.3
Пример 3. Разложить в ряд Фурье ФУНКЦИЮ {(х) = 'хl (- 2'::;;
.::;; х'::;; 2).
~ Так как данная функция четная, то olla разлагается в ряд
Фурье толькu по косинусам, т. е. Ь" = о. Далее иаходим:
2
2
~
" .,
ао =:2 xdx = Tlo = 2,
х- -
I 2
2 r (ЛТl) r (Лfl)
а" = Т) {(х) cos -z-x dx = ) х cos -2- х dx =
u
2х . (ЛП ) 1 " 4 (ЛIl) 12
= -sm -2 х + -1-·' cos -2- Х =
Л!l О Л п' о
= _4_((-1)"-1)_
2 ')
Л п-
Отсюда следует, что а" = О при n '!стном, а" = - 8/ (л~п2) при n нечетном.
Искомый ряд Фурье даннuй функции
{(х)= 1 _ ~ \' 1 cos( (2n - I)л х).
л" L (2rz - 1)2 2
n==1
Его сумма равна заданной функции на отрезке 1- 2; 2}, а на всей
числовой прямой эта сумма определяет периодическую функцию с периодом
ю = 4 (рис. 12.4). ...
о
38
-6 -4 -2 О 2 4- 6
Р н с. 12.4
х

Пример 4. Р

2
()
2
u
лn
у
" " "
а" = ~ ~ xdx = ~21: = 2,
2
а" = ~ ( Х COS (~x) dx = ~ sin (~ х) 1" -
2 ) 2 nл 2 о
u
- л 2 n ~Sin(Л;1 X)(lX= л~2 соs(л2 n Х)\:=
= -----:-т (( - 1)" - 1).
/
/
/
/
/
/
/
4 6
"
""
""
" /
В
/
х
Рис. 12.5
Искомый РЯД Фурье имеет lJlIД
[(Х)= 1 -
:1 I
11=1
----,..eos ((2n -2 I)л
(2п - 1)'
х).
На отрезке 10; 21 011 nредстаlJляет собой заданную функцию, а на всей
ЧИСJIOВОЙ оси - периодическую функцию с IIСРНОДОМ (\) = 4 (см.
рис. 12.5, штриховая и СIIЛОlllНая линии) .....
ПОСКОJIЬКУ ряд Фур(,(~ СХОJlИ1ТН К значению соотвеТСТВУЮlней функ·
I(ИН в точках, где ФУНКЦIIЯ HellpcpbIBH3, то РЯДЫ Фурье часто I1СГlОЛЬЭУ'
ютея ДЛЯ СУММllрования ЧИСЛ()lJЫХ РНДОlJ. Так, H

n=1 n=1
и
( _1)"-1_1_ 2 •
n
~ Разложим даlJНУЮ функцию в ряд по косинусам, продолжив ее на
интервал (- л; О) четным образом и на всю числовую прямую периодически,
с периодом 2л. Тогда:
л
~ 2х +
о
2 ( 2
ао = -; ) х dx =
л
2 х' 1 л 2л 2
-;:3 0=:3'
о
2)
:1
2(х 2 1"
а" = - х 2 cos nxdx = - - sin nх -
n л n о
о
sin flXdX) = - # - ; cos пх 1: - ~
-cos nх =
n'2
о
4 1"
4(_1)"
n 2
л
cos nх
---dx=
fl
Получили ряд Фурье
{(х)= л 2 +4 \' (_1)" COS,flX.
3 L п 2
11=1
Так как продолженная функция непрерывна, то ее ряд Фурье схо­
"",ится к заданной функции при любом ЗlJачеllИИ х. Поэтому ДJIЯ Х = О
имеем
О =
Л +
з2
4 \' (- 1)" ~,
, L n
n=!
т. е.
п;;-:с:1
1 л 2
(-IГ 1 -, ~-.
n 2 12
При
х = л
11=1 11=1
2
n
б
41

АЗ-12.6
1. Разложить в ряд Фурье функцию
!!меющую период 2л.
х при - л < х ~ О,
f()
х = { 2х при О < х < л,
00
л 2
(о L cos(2n-l)x '3L ( «-1 SiIlIlX)
твет: - - - , " -1) --о
4 п (2n -1)' 11
/1=1 п=!
2. Разложить в ряд Фурье функцию
f(х)={л+2х при -л

2. Найти разложение в ряд Фурье функции
{(х)={-2 при -л

4. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг
функцию {(х) = 1 - 2х на отрезке [О; 1]. (Ответ:
00
~ \' cos л(2n - ')Х .)
л 2 L (2n -I?
5. Пользуясь разложением в ряд Фурье по синусам
кратных дуг функции {(х) = I на отрезке [О; л], найти сумму
ряда 1 - --} + + -+ + '" + (- 1 )n- I 2n ~ 1 + ... (ОТвет:
л/4.)
Самостоятельная
работа
1. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных
дуг функцию f (х) = 1 - х на отрезке [О; 2]. (Ответ:
00
8 \' 1 .cos (2n-I)л х.)
л 2 L (2n - 1/ 2
n=1
2. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг
функцию f (х) = л - х на отрезке [О; л]. (Ответ:
2 L siп nх -)
n
п=!
3. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных
дуг функцию {(х) = 2 - 2 на отрезке [О; л]. (Ответ:
4 Х
2 f cos ((2n - ')Х) .)
л L (2n-I?
n=1
12.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 12
ИДЗ-12.1
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.
44
1.1. L n(n~2)' (Ответ: S= ~-)
1i=1

1.2. L 3nI~n4n. (Ответ: S = ~ .)
n=)
1.3. L (2n + 5/(2n + 7) . (Ответ: S = I~.)
n=О
1.4. L 2nI~n5". (Ответ: S = ~ .)
n=)
00
1.5. \' 5 \ . (ответ: S = -51 .)
L (n+ ) n+б)
n=о
1.6. L 5"I~n2". (Ответ: S = ~ .)
n=)
1.7. L (2n+7/(2n+9)' (Ответ: s= '~.)
",\О
1.8. \' 4"-3". (Ответ: s = ~.)
L '~ б
n=)
1.9. L (n + б/(n + 7) . (Ответ: S = +.)
n=)
1.10. L 3nl~,,5". (Ответ: S = ~ .)
n=!
1.11. L (n+9)~n+IO) . (Ответ: s= /0.)
n=)
\' 5" - 3" ( 1 )
1.12. L 15" . Ответ: S = т·
n=!
1.13. L (n + 7/(n + 8) . (Ответ: S = ~.)
n=)
45

1.14.
L 2" + 7" · (Ответ: S = ~.)
14"
f!=l
1.15. (n
L + 2)\n + З) . (ответ: S = +.)
n~O
1.16.
L 7" - 2" · (ответ: s=~.)
14"
n~l
1.17.
L
п=О
(n + З)\n + 4) . (Ответ: S = +.)
1.18.
L 4" + 5" · (Ответ: S = 172.)
20"
tl=l
1.19. (n+4)\n+5).
L (Ответ: S= +.)
n~l
1.20.
L 5" - 4" · (Ответ: S = 1~ .)
20"
п=[
1.21.
L (2n + 1)\2n + З) . (Ответ: S= +.)
n~O
00
1.22.
L
n~l
7"2~" З" . (Ответ: S = ~ .)
00
1.23. L 1 (
(2n + З) (2n + 5)· Ответ: S=~)
n=\!
1.24.
L 7" - З" · (Ответ: S = +.)
21"
n~l
1.25.
L
n~l
(Зn -l)\зn + 2) . (Ответ: S = f)
46

1.26.
L 3" + 8" 24"
(Ответ: S = ~.)
11=1
1.27.
L
1/=1
1
(3n + 1) (:3Гl + 4) .
(Ответ: S = /2.)
1.28.
L 8" - 3" (Ответ: S = -f4.)
24"
1l=1
1.29.
L
1 • (Ответ: S = /5 .)
(Зn +2)(Зn +5)
n=1
1.30.
L 9" - 2" (Ответ: S = ~ .)
18"
ti=l
Исследовать на сходимость указаННblе рЯДbl с положитеЛЬНblМИ
членами.
2.1.
L 3"(n + 2)! n 5
(Ответ: расходится. )
11=1
2
2.2.
L 7n - 1 5"{Ir+ 1)!
(Ответ: сходится.)
n=l
\'
00
2.3. L (78 )n(n 1 )7. (Ответ: сходится.)
11=1
2.4. L (2n + 1) tg ; . (Ответ: сходится.)
n=1
L
00
nn/2.
2.5. (Ответ: расходится.)
3"
n=1
00
2.6. \' 4·5· 6···(n + 3). (Ответ: сходится.)
L 5·7· 9···(2n + 3)
n=1
47

2.7.
L ( 10 9)n n. 7
(Ответ: сходится.)
n~1
2.8.
L 1·7·13···(6n-5) (Ответ: расходится.)
2·3·4···(n+l)
n~1
2.9.
L 3n(n + 1) (Ответ: сходится.)
5"
n~1
2.10.
L (n + 2)! (Ответ: сходится.)
N"
n~1
L . 2л
2.11. n SIП-.
n~1
3"
(Ответ:
сходится.)
2.12.
L (n + 1)n/2 (Ответ: сходится.)
n!
n~1
2.13.
L n! (Ответ: сходится.)
5 n (n + 3)!
n~1
2.14.
L 1.6·11···(5n-4) (Ответ: расходится.)
3·7·11···(4n-l) .
n~1
2.15.
L n" (Ответ: расходится. )
(n +3)! .
n~1
2.16. L n 3 tg ~~ .
(Ответ: сходится.)
n~1
2.17.
L (n 2 + 3) (Ответ: сходится.)
(n+ 1)'
n~1
2.18.
L n (Ответ: сходится.)
(2n+3)1·
n~1
41

2.19.
\' (n+I)'
L n!
n~1
(Ответ:
расходится.)
2.20.
\' 2·5· В"'(3n - 1)
L 3· 7 . 11 ... (4n - 1) .
(Ответ: сходится.)
n=1
2.21. L (3n - 1) sin :., (Ответ: сходится.)
n~1
2.22. \' n + 2. (Ответ: сходится.)
L n!
n=1
2.23. \' 3n - 1 . (Ответ: сходится.)
L .y;:::i.
n~1
2.24.
2.25.
\' 1·5· 9"'(4n - 3) (Ответ: расходится.)
L 1· 4 . 7··· (3n - 2)
n~1
-.
L 5" (Ответ: сходится.)
4n!
n~1
2.26.
2.27.
\' 1·3·5 ···(2n - 1)
L 2·7·12···(5n-3)
(Ответ: сходится.)
1l=1
\' n'
L (n+I)!'
(Ответ: расходится.)
n=1
2.28.
\' (2n - 1)'
(2n)!
L
n~1
(Ответ:
сходится.)
L 2" (Ответ: сходится.)
2.29. ---
5"(2n - 1)
n~1
2.30.
\' 2n+1
L.;;::2n
11=1
(Ответ:
сходится.)
49

3.1. /~I (~)"
(Ответ: расходится.)
3.2. I (5n5~ 1 у/. (Ответ: сходится.)
fI == I
3
00
3.3. I (aгctg 2n ~ 1 ) n. (Ответ: сходится.)
n=1
3.4. \' --­
L (In(/l+2))"
11=)
3.5. f (
n~1
(Ответ:
сходится.)
aгcsin -ь-уn. (Ответ: сходится.)
00
3.6. \' (n
L 3n 2 -2
n=1
00
2
+ 5/l + 8 )n. (Ответ: сходится.)
3.7. I (aгctg -Ь-) n. (Ответ: сходится.)
п=1
3.8.
I
n=1
(/l/(n+ 1))'"
2"
(Ответ:
сходится.)
3.9. \' 1
L (ln(n+I)/"
(Ответ: сходится.)
n~1
3.10. f (tg ;. )зn. (Ответ: сходится.)
11=1
3.1 1. \' 1
L (ln (n +3))"
(Ответ: сходится.)
n=1
3.12. ~ (зn: + 4n + 5 )"2. (Ответ: сходится.)
L
n~1
6n -3n-I
50

3.13.
I
11=1
(2n2~ 1)"' (Ответ: сходится.)
3.14. f (sin :3) 2n. (Ответ: сходится.)
n -= I
3.15. f (п ~ I )Зn. (Ответ: сходится.)
n=1
3.16.
I
,,=1
4"
(Ответ: расходится.)
((Il + I)jn)"
3.17.
I (11l(1l+1))'
(Ответ:
сходится.)
п=1
3.18. f (зпз~ I /. (Ответ: сходится.)
11=1
3.19. f (aгcsin +) ". (Ответ: сходится.)
п=1
3.20. f (п iz I )n'. (Ответ: сходится.)
n~1
3.21. f ( зп 2 - n - I ) n
7п 2 +3п+4 .
n~1
(Ответ: сходится.)
3.22. f (3n~ т)n.
(Ответ: сходится.)
n~1
3.23.
00 I 2"
I (aгcsin~) .
n~1
(Ответ: сходится.)
00
3.24. I (Iliz I уn. (Ответ: сходится.)
fl=1
bl

3.25. I «n +5:)/n)"' (Ответ: сходится.)
n=1
3.26. f (tg 2n: 1 )n. (Ответ: сходится.)
n=1
3.27. f (sin 5n: 1 ) n. (Ответ: сходится.)
1 )2n
IOO
3.28. ( arctg --- . (Ответ:
2n-I
сходится.)
n='
10"
3.29.
I (In (n + 5»2 .
(Ответ: сходится.)
n=1
00
3.30. I (arcsin 2 n n ~ 35) n. (Ответ: сходится.)
n=1
4.1. ~ ( 2n + 1 )2
L 4n 2 + 1 •
n=1 n=1
4
4.2. \' 1 .
L: (3n + 2) In (3n + 2)
4.3. \' 1
L (2n + 1) In° (2n + 1)
n=1
4.4.
4.5. \' 12
L (3n + 4) In (3n + 4)
n=1
IOO
7 + n )2
4.7. ( 2'
49 +n
4.6.
n=1 n=1
4.8.
I (3n - 1) I ~ (3n - 1) .
49 \' -I-In~ .
.. L _Г n-I
11=2 -уn
4.10. \' 1
L (5n - 2) In (5n - 2)
n=1
4.11. 4.12.
n=1

4.13.
I
1
1
'У(3n _ 1)4 (n + 2) In (n + 2)
n=1 n=1
4.15.
I ('On+5)in('On+5)'
4.14.
I
4.16.
I
n=1 n=1
4.17.
I 5+n
25 + n 2 •
n=1
4.18.
I
n=1
4.19.
I
1
(n+3) In (n+3) In (In (n+3))
1
4.20.
I
1
V(2n + з)7
(3 + 2n) In 5(з + 2n) У(4 + 9n)5
n=! n=1
4.21.
I
4.22.
I
1
3+n
(9п - 4) In 2 (9n - 4) 9 + n 2 - 2n
n=1 n=1
1
1
4.23. 4.24.
I (5n + 8) In" (5n + 8) I У(7n - 5)3
n=1 n=1
4.25.
I
n=1
1
(n + 4) In (n + 4) In (ln (n + 4))
4.26.
I
4.27.
I
4.28.
I
(3 + 8n) ln 3 (3 + 8n) -V(4n - з)3
n=1 1l=1
1
2+n
(lOn +3) In 2 (IOn+3) 4 + n 2 - n
n=1 n=1
4.29.
I
1
4.30.
I (n+5) In (n+5) In (ln (n+5))
n=1
5
5.1.
I
n=1
1
-V n3 + 2
(Ответ:
СХОДИТСЯ.)
53

5.2.
I
(Ответ: сходится.)
.) r---;:-
11==]
'yn"
5.3.
I 5n~2'
(Ответ: расходится. )
п--= !
5.4.
I
(Ответ: расходится.}
!l-=I
у'п'-+-31l
5.5.
I
(Ответ: расходится.)
\~Il
n-!
5.6.
I In (п-+-2) . ( Ответ: расходится. )
11 =- ]
5.7.
I
11=1
5.8.
I
3п-I
11=1
1
"г'
\jn
(Ответ: расходится. )
( Ответ: расходится. )
5.9.
I t ~ g 3" .
11=1
(Ответ: сходится. )
5.10.
I n-+-3 (Ответ: расходится. )
n(n-+-1)
11=}
5.11. I 3n-1
n~ -+- I .
n=1
5.12.
I
n=1
I
In (n -+- 3)
(Ответ: расходится. )
(Ответ: расходится. )
5.13.
I 2n-1 (Ответ: расходится.)
3n 2 -+- 5
n~1
54

5.14. (Ответ: СХОДИТСЯ.)
3n' - n + 1
fI-=---J
5.15. \' sin _Л_о (Ответ: СХОДИТСЯ.)
L 2"-1
ff=1
\' n+2
5.16. L n (n + 4)' (Ответ: расходится.)
п=1
5 " 17
I . 2л (О )
slП -. твет: сходится.
3"
'/~I
5.18.
L
\' 1
(n+I)(n+3)
(Ответ: сходится.)
Il=--!
5.19. I Il .1з,,,· (Ответ: сходится.)
f/--=[
5.20~ \' 1
/ L (2n + 1). 3"
(Ответ: сходится.)
fI=1
5.21. \' n+2. (Ответ: расходится.)
n'::, n \Гп
5.22. I sin 2n ~ 1 . (Ответ: расходится.)
"=,
5.23.
5.24.
\' n'
L n"+2
(Ответ: расходится.)
11=1
\'
L sin~. (Ответ: расходится.)
4n
0-=-==1
5.25. I по!: 1 . (Ответ: сходится.)
fl=(
55

5.2б.
I 2n 2 + 5
n=1
(Ответ:
СХОДИТСЯ.)
5.27.
I n 21 +4'
(Ответ: СХОДИТСЯ.)
n=1
5.28. I 2n+ 1
n 2 +4 .
11=1
(Ответ:
ра СХОДИТСЯ.)
5.29.
I 5n" + 3
n=1
5.30.
I
б.l.
n=1
I
1
(n + I)(n + 6)
(Ответ: СХОДИТСЯ.)
(Ответ: СХОДИТСЯ.)
6
n
1
б.2.
(n + 1)3 • -Vn(n-I)
I
n=1 n=1
б.3.
I 2n - 1 б.4.
2n I 2 + 1
n=1 n=1
n(n + 1)
б.5.
I 2n б.б.
1 +2 I~'
2n •
n=1
n=2
б.7.
I
n 3 б.8.
I n 2 :
(n+ 1)1
3 .
1l=1 n=1
7'
(5n - 1) (6n + 3) .
б.9. I n! б.l0.
I
б.l1.
n=1
I
1
б.12.
-V3n+ I .
n=l
n=О n=1
3 n
1
I Sn(n+з)
1 n n'
56

1
6.13. ---
I 3" + n
6.14. -n-
I n+2
2 -
11=1 n=1
6.15.
I~·
6.16. I~ 5 •
3" n
11=1 fl=1
6.17.
I
1
nГп+!'
00
00
6.18. I 2n-I
, .
fi=J n=1
I 6.19. n+1 6.20.
I
2n + 5 .
1l=1 n=1
N.
1
-Уn(n + 3)
1
6.21. 6.22.
I 7+1 I (2n)!
0=1 n=1
1
6.23.
I (3n-2)(7n-l)
6.25.
I
n=1 n=1
n=О
1
-V7n+ 1
(n + I)!
6.24. f Тп-C~ 1 у'.
6.26.
I
ll=l
n(n + 1)
9"
n-7
1
6.27. 6.28.
I 3n' + 5n - 2 I (4n-I)(4n+5)
n=1 п=1
6.29.
f С! :7)'"
6.30.
I
11=1 n=1
6"
(n-I)!
И сследовать на сходимость и абсолютную сходимость
знакочередующиеся
ряды.
7
7.1. I(-I)n+1 1
n=1
(n+ 1).3"'
(Ответ: абсолютно сходится.)
7.2.
I (_1)" (Ответ: условно сходится.)
~
n=О
57

7.3.
I (_1)"+1
-'----,--. (Ответ: условно сходится.)
Iп Il
7 . 4 . (_1)"+1 .....,._П_. (О твет: расходится. )
I 6п + 5
'! -= (
00
7.5. \' (-1)" 4 1 с' (Ответ: абсолютно сходится.)
L
'Уп'
11=1
7.6.
\' (_I)n+I_ I _. (Ответ: условно СХОДИТСЯ.)
L .;;;
n =-1
7.7. I (-1),,-17' (Ответ: абсолютно СХОДИТСЯ.)
11=1
ДИТСЯ. )
7.8.
I (-1)"+ 1 1
110.....::1
(2п + I)n
(Ответ: абсолютно' схо-
7.9.
I (_ I)n+ 1 (OтtreT: условно СХОДИТСЯ.)
11 -= I ~
v;;
7.10.
I (_1)"-1 (Ответ: абсолютно сходится.)
n n
tl=1
7.11. I (_I)n+1
2п + 1
fl=1
7.12. I (_1)" nt
5
11=1
n(n+l) .
(Ответ: условно сходится.)
. (Ответ: абсолютно СХОДИТСЯ.)
713 \' (_I)"+I __ n_. (Ответ:
.. L Зп-I
11::....::.:1
расходится.)
58
7.14. \' J..=..!.L. (Ответ:
L 2п-I
условно сходится.)
и=1

7.15.
I
1/=1
( 1)"
- . (Ответ: абсолютно сходится.)
(2п- 1)3"
7.16.
I (-1)"-1
2п
I/=o-}
-"-----'--. (Ответ:
условно сходится.)
7.17. \' (-I)"+I~. (Ответ: расходится.)
L 11
11=-1
7.18.
----'------'---о
I (-1)"
3п" + 1
(Ответ: абсолютно сходится.)
11=1
7.19. (Ответ: аБСО.1 ютно сходится.)
I (-1)".
n-V;;
п=1
7.20.
\' (-1)"-1
L
11=1
n·5 1Т
(Ответ: аБСО.1ЮТНО сходится.)
~I (-1)"-1
7.21. . (Ответ: абсолютно сходится.)
111
11=1
7.22. \' (- 1)" 3 . (Ответ:
L 'п(п+ 1)
условно сходится.)
~J = J
7.23. \' (_ 1 У + 1 2п + 1 • (Ответ: условно сходится.)
L 5n(/z+ 1)
n=1
\' (-1)"+1
7.24. L 2п + 1 . (Ответ: условно сходится.)
7.25.
7.26.
1l=!
00
I
I
11=1
00
I1~I
(-1)"+1.з,,
(2п + 1)"
(Ответ: абсолютно сходится.)
( 1)"-1
- . (Ответ: условно сходится.)
-Fz+5
7.27. I (_1)11 n ~ 5. (Ответ: абсолютно сходится.)
11=1
59

7.28. f (- 1)" + 1 ( 2n ~ 7 ) ". (Ответ: абсолютно схоn=1
дится.)
L ( 1)"-1
7.29. - (Ответ' абсолютно сходится.)
(3n- 2)!
n=1
дится.)
7.30. L (- 1)n n 1п ( 1 + -+-). (Ответ: условно схоn~1
8
8.1.
1l=1
8.2.
L (_1)"+1
(2n + I)!
n=1
8.3.
\' (_1)"+1
L n"+ 1
П=I
8.4.
\' (-Iг l
L Iп(n+ 1)
n=1
8.5.
L
00
J-I)"-I
n ·2"
00
8.7. L (_I)n+12nз~l. 8.8. L (_1)n n2n~l.
0=1 0=1
00
\' (_1)"
8.9. L~'
n='
8.10.
\' (_1)"+1
L (Iп(n+ 1))"
п=-'
8.11.
\' (_1)"
L n(lп n)2 .
n=2
8.12.
n='
8.13.
\' (_1)"+1
L n Iпn
n=2
8.14. L(-I)n+l(n;I)!'
n=1
60
8.15. L (_1)" I~n .
n=1
р
8.16. \' (_I)n+1 1 •
L
(n + 1)'/'
n=1

8.17. I (_I)n_n_. 8.18.
I
(_I)n+1 2n + 1
9n - 1 n(n + 1) •
n=1 n=1
8.19.
I (-1)" 8.20. I (- I)n I;"n .
(5n + 1)"
n=1 1l=1
8.21. I (_I)n n ~ 1 . 8.22. I (_I)n+I~.
n + 1
n=1 fl=1
00
oo~
8.23. I (- I)Ч 1 sin --=::... 8.24. I n 3"
8"
n=1 n=1
00
8.25.
I (_1)"+1
(n + 1) (n + 4) .
n=] n=1
(- I) 2n + 2 .
8.26. I (_I)n sin n 6: .
8.27. \' (_I)n-I 2n+l. 8.28. \' (_I)n~.
L n(о+2) L n'-I
n=1 n=4
I
00
(_1)"-1
8.29. .
-vп V(n + 1)3
n=1
8.30. f (- 5n4~ 1 )n.
n=1
Решение типового
варианта
его
1. Доказать сходимость ряда
сумму.
2n + 1
\' 2n+ 1
L n'(n + 1)'
n=1
и
найти
~ О бщий член а =, , данного ряда предста-
"
n (n + 1)
вим В виде суммы простейших дробей:
а n = 2n + 1 = ~ + !!...- + _С_ + D
n'(n+I)' n n' n+1 (n+I)"
2п + 1 = Ап(п + 1)2 + В(п + I? + Сп 2 (п + 1) + Dn 2 ,
~ n~1 g ~'~'c,} =>-А=О, с=о,
n 2=А +2В,
61

1 1
поэтому а n = -" - .
n (п + 1)'
Найдем сумму первых n членов ряда:
1 I 1 1 1
S" = 1 - 4 + 4 - !) + !) - 16 + ... +
+ 1, __ 1, +~_ 1, =1- 1
(11-1)" п- п- (11+ 1)- (11+ 1)"
далее вычислим сумму ряда:
S = lim S" = lim (1 - 1 ) = 1
11-00 11_00 (п + 1)' '
т. е, ряд сходится и его сумма S = 1. ~
положи-
Исследовать на сходимость указанные ряды с
тельными членами.
2. \'~,
L nn
,,=I
~ Воспользуемся признаком Д'Аламбера. Имеем:
а __ п!
tl-----;;;-'
lim~=lim (n+I)'I1"
п _ 00 a rt
11 _ 00 (n + 1)" + t n!
= lim _-,-(n_+-,--I,-)fl_"_ = lim (_п_)n =
11-00 (n + I)"(п + 1) 11_00 f! + 1
=Iim
11-00 (1 + I/п)" е
т. е. данный ряд сходится. ~
00
\' (n+I)'"
3. L п"'.з"·
п=3
=J....

4. \'
n
L 21/<
n=)
~ Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Для этого исследуем несобственный интеграл:
в
( x~x = lim (X.2~X2dx= lim (_~( 2~X2d(_X2))=
) 2 ~-> 00 ) li-> 00 2 J
J J J
= lim (_ L 2- Х )I~ = lim (_ 1 + _1_) =_1_
~~OO 2 1п2 1 ~->oo 2Iп2·2~ 4ln2 41п2
в
Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и
исследуемый
ряд. ~
5. \' tg 2 _ Л _.
L
tl=J
4-r;;
~ Исследуем данный ряд с по~ощью предельного
признака сравнения, который состоит в следующем. Если
lim ~ = k, k Е R, k =1= О, то ряды с такими общими члеn~OO
Ь N
нами ведут себя одинаково в смысле сходимости: или оба
4-r;;
сходятся, или оба расходятся. Имеем а n = tg 2 ~. В ка-
честве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд,
возьмем гармонический расходящийся ряд с общим членом
Ь N = Ijn. Тогда
lim~= lim
"--+ 00 b/~ tl--+ 00
g---
л
t

lim а n = liт (1 - sin J.-) = 1 =1= О,
Il--+OO п ___ оо n
т. е. исходный ряд расходится. ~
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость
знакочередующиеся ряды.
7.
I
00
(_1)"+1
n . 7"
~ Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:
1
ап = --,
n . 7"
т. е. данный ряд сходится.
. r
11т -- =0,
п_оо n· 7 n
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин
членов исходного ряда:
I n·7"
n=1
(1)
Применим
lim а"+1 = lim
П_оо аn П_ОС
признак Д'Аламбера:
n . 7" 1 l' n 1 1
----"-1 = - 1т -- = - < ,
(n+I)·7 + 7 n~OO n+1 7
т. е. ряд (1) сходится. Следовательно, исходный ряд
абсолютно сходится. ~
п=1
tl=l п=1
~ Для ряда
признак Лейб­
I (_1)" выполняется
n
п=1
ница. Ряд I -* - гармонический (расходящиЙся). Топ=1
гда ряд I (-nl)n сходится условно. Сумма сходящегося
п=1
и расходящегося рядов представляет собой расходящийся
ряд. Значит, исследуемый ряд расходится. ~
64

ИДЗ-12.2
Найти область сходимости ряда.
00
1.1. L )~I . (Ответ: [ - -4-; -4-].)
1
00
'\"' nх n -
1.2. L.. I
2n-l. З •
N (Ответ: (-6; 6).)
п=1
00
1.3. L ~nn' (Ответ: (-2; 2).)
п=1
1.4. '\"' ~ (Ответ: [-2; 2).)
L.. n· 2" .
п=1
00
1.5. L.. '\"' х"n • (Ответ: [ -1; 1).)
00
'\"'~
1.6. L.. 2n + 1 . (Ответ: [-1; 1).)
n=l
1.7. '\"' 2 П х"
L.. 2n - 1
(Ответ: [ - -4-; -4-).)
n=l
1.8. L (ln х)п. (Ответ: (+; е).)
n=l
L
х"
1.9. ---
n(n+ 1)
п=1
L
00
х3n
(Ответ: [-1; 1].)
1.10. . (Ответ: [-2; 2].)
вn(n + 2 1)
n=l .
1.11. L (n(n+ ')х". (Ответ: (-1; 1).)
"=1
3-357 65

l.i2. I х n tg ;n· (Ответ: (-2; 2).)
1.13.
n=l
00
\' IО"х" (
L ';;;' Ответ:
[1
- то; то
11)
...
n=l
1.14.
00
\' п!х".
L п"
n=l
(Ответ: (-е, е).)
1.15.
(Ответ: [~5; 5).)
1.16.
00
\' х"
L7'
n=l
(Ответ: [-1; 1].)
00
1.17. I (O,1~nx2n. (Ответ: (-{IO; {IO).)
n=
1.18. I (Igx)n. (Ответ: C~; 10)-)
11=1
00
1.19. I ~:. (Ответ: (-5; 5).)
n=l
1.20. ~ 5"х" (ответ' [_ -{3. -Fз] )
n~l (2п + l? ~ . . 5' 5 .
00
1.21. n~I:J;' (Ответ: [-1; 1].)
00
\' 2"х" ( [1 1 )
1.22. n~l -';;;' Ответ: - 2; 2 -)
1.23. (Ответ: [-1; lJ.)
66
n=1

00
\' 3 n х" ( [1 1 ) )
1.24. L --:;-;:. Ответ: - 3"; 3" .
1.25.
n=l V;
I
n=l
00
х"
~. (Ответ: [-2; 2).)
2" 3n - 1
1.26. \' 2" х" ( [1 1 ) )
L~· Ответ: -2; 2·
n=l
\' (n + I)2 х" .
1.27. L 2" (Ответ: (- 2; 2).)
00
1.28. \' 5 n х" (
L
[6
6" V;;. Ответ: - 5;
n=l
~ ).)
1.29. \' xntg~. (Ответ: [-1; 1).)
L f!
n=l
1.30. f (n: 1 )"2 ~:. (Ответ: (-5е; 5е).)
n=l
00
-v;; х"
2.1.
I
2.2.
I
2
nn/2 х n
n' (n + I)! .
n=l п=1
2.3. Е; Iп"х . 2.4. I (nх)П.
n=l
n"
n=l
00
2.5.
I (х - 3)" 2.6.
I (x-I)"
n=l
00
n! (n + I)!
n=l
2.7. I -1 n+l х 2n - I
( ) (2n - 1) (2n - I)! .
n=l
2.8.
I . х SIП-.
2.9. I е-n'х.
n=l
2"
n=l
6.7

2.10.
I tg 2..-. 2.11. I
2" n!
f1=1 n=1
00
2.12.
I~'
2.13.
n=1
х"
х"
~IJ;;'
2.14.
I
2.15.
I (_1)"
n (х - 2)" х" n Iп n
n=1 n=2
(х
2.16.
+ 1)"
х"
2.17.
I 2" I З"~'
n=1 n=1
2.18. 2.19. -
I (n~)"' I 1
Ф
n=1 n=1
2.20.
I sin (2n - 1) х 2.21.
I 2n
ll=l
sin 2..-.
(2n-l? 3"
n=О
2.22.
I~' х"
2.23.
I nix"'
n=1 n=1
2.24. I n!х n • 2.25. I~· n"
n=1 n=1
2.26. I sin nх 2.27.
I е- n '2 х •
2 •
n
n=1 n=1
-;;;-- 2.29.
I+'-·
n=1 n=1
2.28. I nх
2.30. I cos nх
n~ .
n=1
3.1. I
(х
n=1
- 4)2"-1
2n -1
3
(Ответ:
3~x

3.2.
00
~ (х-2)"
L n"ln(I+I/n)
п=1
(Ответ: I < х < 3.)
3.3. \' (х- 2)" (Ответ: 0< х < 4.)
L.. 2"
п=1
1.4. (Ответ: 0< х < 2.)
п=1
3.5. (Ответ: -9::::;;; х::::;;; -7.)
п=1
3.6. L (2+х)П. (Ответ: -3

00
3.14. L (2 _х)n sin ;.. (Ответ: 0< х < 4.)
n=О
00
3.15.
L
n='
00
(3 - 2х)" (О
твет:
1

00
326 '( 1)"+1 (х-2)" (О 1 -3)
.. L - (n+I)ln(n+I)· твет:

00
4.6. {(х)= 2 2. (Ответ: 2" з n х 2n , 'хl < . 1m.)
1-3х L ~ З
n=О
00
4.7. ((х) = е ( " ~~ )
ЗХ • Ответ: L -;;Т-' 'хl < 00.
n=О
00
4.8. [(х)= I~X· (ответ: I (_1)nх n, '~< 1)
4.9. f (х) = ch (2х З ). (Ответ: I 2":!6", I хl < 00.)
00
n=о
00
1 ( • I (- 1 )"х" )
4.10. {(х)=-. Ответ. , 'хl < 00.
- г;;:- 2"п!
-vt:
n=О
(
00
\ х 2n - I )
4.11. f(x)=sh х. Ответ: L. (2n-I)!' 'хl < 00.
n=1
(
00
\' (_I)nX4" )
4.12. f(x) = е- Х '. Ответ: L. п! ,Ixl < 00.
00
4.13. {(X)=2- Х '.(Ответ: I (-I)::nn.2x2n,lxl

Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности
указанной точки хо. Найти область сходимости
полученного ряда к этой функции.
4.17. f(x) = +, хо ___ -2. (Ответ: - +
I
00
(X~"2)"
п=о
00
4.18. f(x)= х~з' хо= -2. (ответ: I (_1)n(х+2)n,
-з

4.24. f(x) = In 2 1 , хо = 1. (Ответ: \' (-nl)n (хх
-2х+2 L.
n=l
00
(
1
4.25. f(x) = _~' хо = -3.
у4 +х
00
\' (-I)"(2n - 1)' )
Ответ: 1 + L. 2 n п! . (х + 3)n, -4 < х ~ -2.
f!=~
4.26. f(x) = cos х, хо = : .
(Ответ: f cos(~:n'T) (х- :)n, Ixl< 00-)
n=О
1
4.27. f(x) = _ г-;' хо = 2.
ух-I
О 1 \' (-I)n(2n-I)!! (х-2)n 1 ::;::::3)
( твет: + L. 2"п! ' < х --=::: •
n=l
1
4.28. f(x) = х2 _ 4х+ 3 ' хо = -2.
(Ответ: L
00
((6\" - IO~5n)(x+2)n), -5

нием в степенной ряд соответствующим образом подо(ip.анной
функции.
5.1. е, а = 0,0001. (OT~T: 2,7183.)
5.2. V25Q, а = 0,01. (Ответ: 3,017.)
5.3. sin 1, а =0,00001. (Ответ: 0,84147.)
5.4. ~, а = 0,001. (Ответ: 1,140.)
5.5. arctg 1~' а = 0,001. (Ответ: 0,304.)
5.6. lп 3, а = 0,000 1. (Ответ: 1,0986.)
5.7. ch 2, а = 0,0001. (Ответ: 3,7622.)
5.8. Ig е, а =0,0001. (Ответ: 0,4343.)
5.9. n, а = 0,00001. (Ответ: 3,14159.)
5.10. е 2 , а =0,001. (Ответ: 7,389.)
5.11. cos 2°, а = 0,001. (Ответ: 0,999.)
5.12. V80, a=O,OOI. (Ответ: 4,309.)
5.13. 'П 5, а = 0,001. (Ответ: 1,609.)
5.14. arctg Т' а = 0,001. (Ответ: 0,464.)
5.15. V738, a=O,OOI. (Ответ: 3,006.)
5.16. v;, а = 0,00001. (Ответ: 1,3956.)
5.17. sin 1°, a=O,OOOI. (Ответ: 0,0175.)
5.18. JJ8,36, a=O,OOI. (Ответ: 2,030.)
5.19. lп 10, а = 0,0001. (Ответ: 2,3026.)
5.20. arcsin +, а = 0,001. (Ответ: 0,340.)
5.21. Ig7, a=O,OOI. (Ответ: 0,8451.)
5.22. -..Ге, а = 0,0001. (Ответ: 1,6487.)
5.23. cos 10°, а = 0,0001. (Ответ: 0,9848.)
1
5.24. --, а = 0,001. (Ответ: 0,302.)
vзo
liJ г.;;;:;;
5.25. V 1080, а = 0,001. (Ответ: 2,031.)
1
0.26. -, а = 0,0001. (Ответ: 0,3679.)
е
5.27. sin 1~' а = 0,0001. (Ответ: 0,0314.)
5.28. ij9o, а = 0,001. (Ответ: 3,079.)
5.29. 1~' а = O,OQI. (Ответ: 0,496.)
7у 136
75

I
5.30. V;' а. = 0,001. (Ответ: 0,716.)
6. Используя разложение подынтегральной функции
в степенной ряд, вычислить указанный определенный
интеграл с точностью до 0,001.
0.25
'6.1. ~ 'П (1 +-Гx)dx. (Ответ: 0,070.)
о
I
6.2. ~ arctg (~ )dX. (Ответ: 0,162.)
о
U.2
6.3. ~ -Гxe-xdx. (Ответ: 0,054.)
о
0.5
6.4. ~ arc: g Х dx. (Ответ: 0,48/.)
76
о
0.2
6.5. ~ -гх cos xdx. (Ответ: 0,059.)
о
0.5
6.6. ~ 'П (1 + хЗ)dх. (Ответ: 0,015.)
о
I
6.7. ~ х 2 s in xdx. (Ответ: 0,223.)
о
I
6.8. ~ e- x '/2dx. (Ответ: 0,855.)
о
0.5
6.9. ~ ~dx. (Ответ: 0,480.)
о
0.5
6.10. r ~. (Ответ: 0,484.)
J I +х
о
I
6.11. ~ {!1 + x 2 j4dx. (Ответ: 1,027.)
о
0.5
6 12 r SiП х Х 2 dx. О
. . J ( твет: 0,493.)
о

0,1
6.13. ~ е' -; I dx. (Ответ: 0,103.)
о
0,5
6.14. ~ х 2 cos 3xdx. (Ответ: 0,018.)
О
0,5
6.15. ~ In (1 + x 2 )dx. (Ответ: 0,385.)
О
0,4
6.16. ~ -r;e- x / 4 dx. (Ответ: 0.159.)
О
0,5
6.17. ~ I +;2 0SX dx. (Ответ: 2,568.)
0,3
0,5
arctg х
6.18. 2
d
2 х.
~
О
Х
(Ответ: 0,498.)
0,8
6.19. ~ I-~osxdx. (Ответ: 0,156.)
u
1
6.20. ~ sin х 2 dx. (Ответ: 0,310.)
О
0,1
6.21. ~ 'п (I x
+ х) dx. (Ответ: 0,098.)
О
1
6.22. ~ cos.v;dx. (Ответ: 0,718.)
О
1
6.23. ~-r; sin xdx. (Ответ: 0,364.)
О
25
6.24. ~ е- 2Х ' dx. (Ответ: 0,976.)
o-Vx
1
6.25. ~ cos ~2 dx. (Ответ: 0,994.)
о
77

6.26. ~ arctgC'f) dx. (Ответ: 0,318.)
о
0.5
6 27 f х - arctg х d О
. . J х2 Х. ( тв'ет: 0,039.)
о
0,4
6.28. ~ -.J 1 х 3 dx. (Ответ: 0,397.)
о
0,5
6.29. ~ e-x'dx. (Ответ: 0,461.)
о
0.5 --
6.30. ~ --.fl+? dx. (Ответ: 0,508.)
о
. 7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х
решения дифференциального уравнения (записать три
первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
7.1. у' = ху+е", у (О) = О. (ответ: у = х + +х 2 +
+;х з + .. )
7.2. у'=х 2 у2+1, у(О} = 1. (Ответ: У= '-х+
+ +х 3 + .. )
7.3. у'=х 2 _ у 2, у(О) = ~. (ответ:у=+-+х-
_ {-х 2 + ..)
7.4. у,=х 3 +у 2 , у(О)=т. (OTBeT:Y=f++x+
+ {-х 2 + .. )
7.5. у' = х + у 2 , у(О) = -1. (Ответ: у = -1 + х +
+ Зх 2 + ... )
7.6. у' = х + х 2 + у 2 , У (О) = 1. (Ответ: у = 1 + х +
+ ~ ~2 + .. )
76

7.7. ц' = 2cOSX-ху2, у(О) = 1. (Ответ: у= 1 +2х·-
-zХ I 2
+ ...')
7.8. у' = е Х - у2, у (О) = О. (Ответ: у = х+ +х 2 _
_ ~хЗ + ...)
7.9. у'=х+у+у2, у(О) = 1. (Ответ: У= '+2х+
+ ~ x2~+ .. .)
7.10. у'=х 2 +у2,у(0)= 1. (Ответ: У= 1 +х+х 2 + ... )
7.11. y'=x 2 y2+ ysinx, у(О)=+. (Ответ: у=++
1 2 х З )
+ т + Х 12 + ...
7.12. y'=2y2+y~, y(o)=+.(OTвeT:y=++~ х+
+ 27 Х + ...
26 2 )
7.13. у'=е ЗХ +2ху 2, у(О) = 1. (Ответ: У= 1 +х+
+ ~x2+ ... )
7.14. у'=х+е У , у(О)=О. (Ответ: у=х+х 2 +
++х 3 + .. .)
~.15. у' = У cos х + 2 cos у, у(О) = О. (Ответ: у = 2х +
+х-х+ ... )
7.16. if' =х 2 + 2у 2, у(О}= 0,2. (Ответ:у=0,2+0,08х+
+ 0,032х + ... )
7.17. y'=X2txy+y2, у (О) = 0,5. (Ответ: у=О,5+
+ О,25х + 0,375х + ... )
7.18. у' = e'il1x + Х, у(О) = О. (Ответ: у = х + х 2 +
+~~+ ...)
7.19. !/ = ху - у2, у(О)= 0,2. (Ответ: у = 0,2 - 0,04х+
+0,108x + ...)
7.20. y'=2x+y2+~, у(О) = 1. (Ответ: У= 1 +2х+
+ 3,5х + ...)
2
79

7.21. у' = Х sin х - у2, у(О) = 1. (Ответ: у = 1 - х +
+х 2 + ... )
7.22. у' = 2х 2 - ху, у(О) = О. (Ответ: у = ~7 _ ';~5 +
96х 7 )
+71-'"
7:23. у' = х - 2 у 2, у(О) = 0,5. (Ответ: у = 0,5 - 0,5х +
+х 2 + ... )
7.24. у' = XfГ + 2у2, у(О) = О. (Ответ: у = +х 2 +
I 3 I 4 )
+з Х +в- + ...
х
7.25. у'=ху+х 2 +у2, у(О) = 1. (Ответ: у= 1 +х+
+ ~ х 2 + ..)
7.26. у' = ху + fГ, у(О) = О. (Ответ: у = х + + х 2 +
+.+Х З + ...)
7.27. y'=yfГ, у(О) = 1. (Ответ: у= 1 +х+х 2 + ... )
7.28. у' = 2 sin х + ху, у(О) = О. (Ответ: у = х 2 +
I 4 11 6+)
+"6 + Х 360 х ...
7.29. у' = х 2 + е У , у(О) = О. (Ответ: у = х + + х 2 +
+ ~ х з + ..)
7.30. у' = х 2 + у, у(О) = 1. ( Ответ: у = 1 + х + ~~ + ..)
8. Методом последовательного дифференцирования
найти первые k членов разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения при указанных начальных
условиях.
8.1. у' = arcsin у +
х, у(О) = +, k = 4. (ответ: у = ++
+ ~ + J..(I + _П_)х 2 + J..(_2_ + ~ +~) х З +
6 2 3';; 6 -Vз 9 27-Vз
+ ..)
89

8.2. у' = ху + In (у + х), у( 1) = О, k = 5. (Ответ: у =
= (х-; 1)2 + (x~ I? + (x~ 1)4 + .. -)
8.3. у' = х + у2, у(О) = 1, k = 3. ( Ответ: у = х + ~, х 2 +
+ :, х З + .. -)
8.4. у' = х + +, у(О) = 1, k = 5. (Ответ: у = 1 + х +
х 3 х' )
+3-3+'"
8.5. ylV = ху -Ьу' х 2 , у(О) = у' (О) = у" (О) = 1, у'" (О) = 1,
XZ х 3 х 5 4х 6 )
k = 7.
(
Ответ: у = 1 + х + 2т + 3т + 5! + б! + ...
8.6. у' = 2х - 0,1 у2, у(О) = 1, k = 3. (Ответ: у = 1 -
- 0,1х + 0,01х 2 + ... )
8.7. у'" = у" + y'Z + уЗ + х, у(О) = 1, у' (О) = 2, у" (О) =
5 k '
(О
2 х 2 11 З + 29 4
= О" = 6. твет. у = 1 + х + 4 + т2 х
+
48 х
25 5
+ 48 х
+
...)
8.8. у,=х 2 _ху, у(0)=0,1, k=3. (Ответ: у=0,1-
- 0,05х 2 + 0,333х З + ... )
8.9. у" = 2уу',у(0) = О, у' (О) = 1, k = 3.( Ответ: у = х +
2х З 12х 5 )
+ 3! +-5!- + ...
8.10. у' = 2х + cos у, у(О) = О, k = 5. ( Ответ: у = х 2 -
х 3 х' )
-6-4+'"
8.11. у'" = y~ - xy'Z, у(О) = 1, у' (О) = у" (О) = 1, k = 6.
(Ответ: у= 1+х+ ~; + ~: + :: +0,х 5 + .. )
8.12. у' = 3х - у2, у(О) = 2, k = 3. (ответ: у=2-4х­
_ ~x2 _ )
2 ...
81

8.13. у" = хуу', у(О) = у' (О) = 1, k = 6. ( Ответ: у = 1 +
.r 2х· 3х 5 )
+Х+З"!+Т!+SГ+'"
8.14. у' = х 2 - 2у, у(О) = 1, k = 3. (Ответ: у = 1 - 2х +
+ 2х 2 + ... )
, 1
8~15. y"=L __, уо)= 1, y'(I)=O, k=4.
у
х
Ответ' у= 1 (x-I? _ (X_I)4
( + 4(x-I)5 + )'
. 2! 4! 51 ... /
8.16. y'=x 2 +O,2y2,y(0)=0,I,k=3. (Ответ: у = 0,1 +
+ 0,002х + 0,00004х + ...)
2
8.17. у" = у,2 + ху, у(0)=4, у'(О) = -2, k = 5.
(Ответ: у = 4 - 2х + 2х 2 - 2~ + 169 х 4 + .. .)
8.18. y'=xyty2, y(O)=O,I, k=3. (Ответ: у=О,1 +
+ O,Olx + 0,051х + ... )
8.19. у" = е У sin у', у (л) = 1, у'(л) = ;, k = 3.
(Ответ: у = 1 + ; (х - л) + ; (х - л? + .. .)
8.20. у'= 0,2х + у2,у(0) = l,k=3. (Ответ: у = 1 +х+
+ 1,lx 2 + ... ) ,
8.21. у" = х 2 + у2, y(-I) = 2, y'(-I) = 0,5, k = 4.
(Ответ: y=2++(x+I)+ ~ (x+I?+ :~(x+ J)++ .. .)
8.22. у' = х 2 +ху+е-х, у(О) = О, k = 3. (Ответ: у = х-
х 2 5х 3 )
-21+31+'"
8.23., у' = 1 ~ х 2 + 1, у(О) = 1, k = 5. ( Ответ: у = 1 +
+ 2 2 4 3 17 4 )
х-х + зх - g-X + ...
8.24. у" + У = О, у(О) = О, у' (О) = 1, k = З. (Ответ у =
х 3 х 5 )
=Х-З"!-Т!+'"
8.25. у" = У cos у' + х, у(О) = 1, у'(О) = ;, k = З.
(Ответ: у = 1 + ; х + + х 2 + .. -)
~2

8.26. у' = cos х + х 2 , у(О) = О, k = 3. (Ответ: у = х +
х 3 х' )
+ '+-51 3. . ...
8.27. у' - 4у + 2 ху 2 - е ЗХ , у(О) = 2, k = 4. ( Ответ: у =
31 2 11 З )
=2+ 9 Х+"2 Х -бХ + ...
8.28. (1 - Х) у" + у = О, У (О) = у' (О) = 1, k = 3.
(Ответ: у= 1 +xL ~ + .. -)
8.29. 4х 2 у" + у = О, y(l) = 1, y'(I) = +, k = 3.
(Ответ: У= 1 + +(х- 1) - -4-(х- 1)2 + .. -)
8.30. у' = 2х 2 + уЗ, y(l) = 1, k = 3. (Ответ: У= I +
+3(x-I)+ 1:(X_I)2+ .. -)
Решение типового варианта
Найти область сходимости ряда.
1. f .Jn:~I·
• Воспользуемся признаком Д'Аламбера:
,. IUn+11 ,. \.[;;+i..Jп2+l1
1т - = 1т =
"~OO и" п~OO .j(n + 1)2 + I.r;:
=-Гх lim - /2 n 2 + 1
n~OO V n +211+2
=-Гх.
Интерв,ал сходимости определяется неравенством-Гх <
< 1, откуда 0< х < 1. Исследуем граничные точки этого
интервала. При х_ О получим числовой ряд, членами которого
являются нули. Этот ряд сходится, точка х = О входиr
63

в его область сходимости. При х = 1 получим числовой ряд
00
'\' I . Воспользовавшись предельным признаком
n'=l .;;;Z+I
сравнения рядов с положительными членами, сравним этот
ряд сгармоническим расходящи мся рядом, общий член которого
и n = Ijn:
lim ~ = lim n = 1 = k =1= О.
n----?ОО V N /1--+-00 ~
Следовательно, числовой ряд'\' I расходится и
n~ -Vп2+I
точка х = 1 не входит в область сходимости.
Таким образом, область сходимости исследуемого ря­
.и,а-О:::::;;х

х
2 >0.
Х +3х+ 2
xE(-2; -1)U(O; 00). При х=О по-
Следовательно,
00
< U \' n 2 + I
пучим чисnовои ряд L -n--' 2
для которого
n=1
1 . 1· n2 + I
1т и n = 1т --2- = 1 * О,
n--+оо n-+-ОО n
т. е. необходимый признак сходимости не выполняется,
следовательно, этот числовой ряд расходится. Область
сходимости исследуемого ряда: 0< х < 00. ~
00
3. ~ (3 _ х 2 )n.
n=1
• dоспользуемся радикальным признаком i\оши. Находим:
.
и n = (3 - х 2 )п, I im -v 13 - х 2 1 n = 13 - х 2 1 < 1,
n~OO
Решаем полученные неравенства:
З-х 2 > -1, х 2 -4 О, х Е ( - 00; - -{2) u (-{2; 00).
Пересечение найденных решений дает интервалы сходимости
исследуемого ряда xE(-2; --J2)U(-{2; 2).
Исследуем сходимость ряда на концах этих интерва-
лов. При х = +2 получим числовой ряд ~ (_I)n. Этот
n=1
знакочередующийся числовой ряд расходится, так как не
выполняется необходимый признак сходимости числового
ряда (Iim и n = О). При х = + -{2 получаем числовой ряд
n~oo
00
~ 1 n, который расходится, поскольку необходимый приn=1
знак сходимости также не выполняется. Значит, об-
85

ласть сходимости исследуемого ряда: (-2; --{2) U
U(-{2; 2). ~
4. Разложить функцию у = cos 2 Х В ряд Тейлора в
окрестности точки хо = л/З. Найти область сходимости
полученного ряда к этой функции.
'. ~
Преобразуем данную функцию:
2 1 + 1 2
y=cos Х="2 "2cos х.
Разложим полученную функцию в ряд Тейлора. для
этого найдем значения данной функции и ее-производиых
до n-го порядка включительно в точке хо = п/3:
1 1
{(х) = "2 + "2cos 2х, {(хо) = {(~) = J... + J... cos 211 =
3 2 2 3
J..._J... = J....
2 4 4 '
{' (х) = - sin 2х, { ,(~) = _ sin 211 = _ -Гз.
з з 2 '
{" (х) = - 2 cos 2х, ("(1I) 2 2л 1
3' = - cos3' = ;
{'" (х) = 4 sin 2х,
(",( ~) = 4 sin 2 з Л = 2-{З;
((n)(х) = _2 n -
= _2 n -
1
sin(2x+(n-1) ;), {(n)(~)=
1
sinC; + (n -1) ~).
Полученные числовые значения ПРОИЗВОдНЫХ подставляем
в ряд Тейлора при хо = л/З:
86
cos2 х= J.- __ 1_ -Vз(х_~) + _I_(x_ ..:!...)2 +
4 I! 2 3 2' 3
3
+-F 2-Vз(х- ;) + ... +-*(-2 n - I Siп(2; +(n-
:n ))( 1I)n 1 f 2'-1 . (2:n
-1)2 х- 3'" + ... = 4'" - L пт- slП "3 +
n=!
+ (n - 1) ;)( х -
n
~) .

Для нахождения области сходимости полученного ряда
необходимо выяснить, при каких значениях х остаточный
член ряда Тейлора стремится к нулю. Он имеет вид
Rn(x)= (n~2~)! sin(2~+n ;)(х- ~)n+l,
где 1; Е (х; хо). Поскольку I sin( 2~ + n ;) I :::::;; 1, достаточно
найти область сходимости ряда с общим членом
2" ( )n+1
( 1 х - Л
3
• Согласно признаку Д'Аламбера,
n+ )!
IimI2n+I(X-л/3)"+2(n+I)!I= lim 2Iх-л/31 =0

6. Используя разложение подынтегральной функции
в степенной ряд, вычислить определенный интеграл
g
dx
~
-1
--- с точностью до 0,001.
У8-х 3
~. Воспользуемся биномиальным рядом (см. формулу
(12.21)). Тогда
_1 = i.(I_(~)3)-I/З.
У8_ Х3 2 2
Получили бином вида (l + г)m, где т = -!/3, а z =
= - (xj2)3. Имеем:
У8 ~ х3 = + ( 1 + + ( ~ ) 3 + : 2\ ( ~ ) 6 + ~~ ~! ( -N 9 + .. -) =
1 ( х 3 х 6 7х 9 )
="2 1 + 24 + 288 + 18176 + ... ,
r dx 1 r (1 х3 х 6 7х 9 ) d
о
о
J У8-х3 ~"2 11 + 24 + 288 + 18176 +... х=
1 ( 4 х 7 7х'О ) 10
="2 х + /24 + 7· 288 + 10· 18176 +... -, =
1 ( 1 1 7 )
="2 1 - 9б + 2016 - 181760 + ... ,
1
2016 < 0,001.
с точностью до 0,001
о
r dx 1 1
J У8_Х 3
~ "2 - 192 ~ 0,5 - 0,0052 ~ 0,495. ~
-1
7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х - 1
решения дифференциального уравнения у' = 2х + уЗ,
у(l) -:- 1 (записать три первых, отличных от нуля, члена
этого
разложения.)
~ Точка х = 1 не является особой для данного
уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда:
y=f(I)+ /'I(!I) (х-l)+ f'~\I) (х-l?+ f"~;I) (Х-l)3+ ...
88

Имеем: /(1) = 1, /'(1) = 2 + 13 = 3, /"(х) = 2 + 3у 2у',
/"(1)=2+3.12.з= 11. Подставляя найденные значения
производных в искомый ряд, получаем решение данного
уравнения:
Y=I+-fт-(X-l)+-bl-(x-l)2+ ... ~
8. Методом последовательного дифференцирования
найти первые 5 членов разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения 4х 2 у" + у = о при сле­
.l.ующих условиях: у(l) = 1, у'О) = 1/2.
~ Ищем решение данного уравнения в виде ряда:
у = /(1) + f1i!l) (х- 1) + f/~\I) (х- 1)2 + f"~;I) (х- 1)3 +
f IV О) 4
+ -4!- (х- 1) + ...,
/( 1 ) = 1, /' ( 1 ) = -};
/"(х) = - ~x2' /"(1)= - +;
/"'(х) = _ ylx2:;;42XY, /"'(1)= _ O!2).~ -2·1 = ~;
/Н' (х) = _ ((у" х 2 + 2ху' - 2у - 2ху')х 4 - 4х 3 (у' х 2 -
- 2ху))/(4х 8 ); /'V (1) = _ :~.
Подставляя найденные значения производных в ряд,
получаем искомое решение дифференциального уравнения:
у = I + J..- (х - 1) - _' _ (х - 1)2 + _3 _ (х _ 1)3 -
2 4· 2! 8· 3!
- 16'~4! (х- 1)4 + ... ,
х - , (х - 1)2 (х _ 1)3
у= 1 +-2-- 8 + 16
5(х- 1)'
128 + ... ~
ИДЗ-12.3
1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
(() = 2л) функцию /(х), заданную на отрезке [-л; л).
89

••
.• f() {
О,
х = х _ 1,
-л~х

1.6. f(х)={2х+з, -л';;;;;х';;;;;О, (Ответ: '(х) = 3-л +
О, О

00 00
_ : '\ cos ((2k - I)x) _ Л~ 10 '\ sin ((2k - I)x) +
,. L.. (2k - 1)2 ,. L.. 2k - 1
k=1 k=1
+ I
00
sin ~~kX) .)
k=1
1 11 f () О,
{
- л < О, (о
. .
f ( )
х = 3х _ 1, О ~ х ~ л. твет: Х =
00 00
= 3л-2 _~ '\ cos((2k-l)x) + 3л-2 '\ sin((2k-l)x)_
4 л L.. (2k - 1)2 Л L.. 2k - 1
k=1 k=1
00
-3 '\ sin (2kx) )
L.. 2k .
k=1
f()
3-2х -л~х~О, (о
{ . f( )_ л+3
1.12. Х = О, ' О

(
J.J5. f(x)={O, -л~х

J.20. f(x)={7 - 3х. -л ~ х ~ О.
О. О

(
J.25. [(х)={О,
IOx-3,
-31~Х

(
1.30. f(x)={7x-l, -л~х~О,
О, О

00
+2 L (-l)lI~о:пп~), chx= ~ L 1-\-;~2Chn nsinnx)
11=1 n=1
2.5. f(x) = г Х • (Ответ:
+
00
2п L _1_---'-( ---,1)::-'е_-_"
cos nх,
1 +п 2
n=1
00
е- Х =~ \' 1 - (_I)'e- n n sin nх.)
n L 1 +п 2
11=1
2.а. '(х) = (х - 1 )2. (Ответ: (х _ 1)2 = п 2 - ~л + 3 +
00 00
+.±. \' 2-п cos((2k-l)x)+4 \' cos(2kx) (x-l)2=
n L (2k_I)2 L (2k)2 '
k=1 k= I
00
= ~ \' (л 2 - 2п + 2 + 4 3 ) sin ((2k - 1 )х) + 2(2 _
n L 2k - 1 (2k - 1)
k=1
00
_ ) \' sin(2kx) )
л: L 2k .
k=1
2(1 _ 3-"/2)
2.7. '(х) = з- х / 2 . Ответ: з- х / 2 = +
+
00
41~3 \' 1_(_1)'·З-"/2
,. L 4п + 2 ((п з)2
n=1
(
з- х / 2 8
= -
L 1_(_1)'.3-"/2 . )
n SlП nх.
л 4п + 2 (In 3)2
n=1
л Iп 3
/
2.8. '(х) = sh 2х. (Ответ: sh 2х = с~~п +
00
+~L
II~I
ch2n·(-I)'-1 cosnx,
4 + п 2 97
4-351

00
sh2x =2.. I (-I)"+I· sh2n . )
" 2 n slП nх
" n + 4
2
2 е2" - ,
2.9. f(x) = е Х. Ответ: е Х = +
(
2n
+ 4n I ...о.(_-_'-'...)"_е2 _' "...--1
00
n=)
- 2 COS nх,
4+n
00
2х
е = -
2 I I-(-I)"е л • )
n SIП nх.
n 4 + n 2
1l=)
2 ( 2 n 2 -
2.10. {(х)=(х-2). Ответ: (х-2) =
6n
3
+ '2
+
+ 4(4 - n) \' cos (2k - 1) х + 4 \' cos 2kx
00 00
n L (2k-I)2 L (2k? '
k=)
k=)
n=)
3(4"/3 - 1)
2.11. f(х)=4 Х / З • Ответ: 4 Х / З = +
6 'П
IOO
4 ( - 1 )" • 4"/3 - 1
+-- cosnx,
4
n
,,=1
(
9n 2 +(ln4?
00
I х / 3 = - 18 1_(_1)".4"/3 n . )
SIП nх.
n 9n 2 +(ln4?
n=)
2.12. {(х) = ch ~ . (Ответ: ch ~ = 2 Sh~nj2) +
+ 4 sin(nj2) \' (-Ir cos nх ,
n L 1 +4n 2
n=)
+
08
00
ch~= 8ch(nj2) \' 1-(-1)" nSinnx.)
2 n L 1 +4n 2
n=)
4
.2.13. f(x)=e x ( 4
• Ответ: е Х =
е
+
4
" - 1
4л
8n I (-I)"e'"- 1
-'-----f--- COS nх,
n 2 + 16
n=)
n

I 1-(-I)"e4" . )
2 n slП nх.
n + 16
n=!
( ) 2 ( 2 n 2 + 3n + 3
2.14. f х =(х+ '). Ответ: (х+ ') = 3
00 00
_ 4(n+2) \' cos((2k-l)x) +4 \' cos(2kx) (х + 1)2 =
n L (2k - I? L (2k)2 '
k=!
k=!
00
= ~ \' (2 - п 2 ) + (-I)"((л -
n L flЗ
n=!
1)2n 2 - 2) sin nх.)
2.15. {(х) = 5- Х •
1 - 5-·
Ответ: 5- = Х -л"'--lп-5- +
+
00
21nП5 I 1_5-"(_1)"
п 2 +(Iп 5)2
n=!
(
-:c--~---,--;;- cos nх,
2.16. f(x) = sh 3х. (Ответ: sh 3х = ch 3л - 1 +
3n
+
00
6n I (- 1)" ch 3n - 1
-'----'--.----::--- с os n Х,
п 2 +9
n=\
I ( 1)"+1 )
2sh3
sh 3х= -"- - n sin nх.
" fl2+ 9
n=!
2.17. f(x) = e~x/4. Ответ: е- Х / 4 4(1 - е-
= +
а / 4 )
00
8 I 1 - ( - 1)"e- n /
+ - 4
2 cos nх,
n '6n + I
n=\
(
n
00
е - Х/ 4 = 3 2 I I - (-lfe- n / 4 • )
n
n=1
2 n SIП nх.
16n + I

+
со
~ \' (_I)n(2л_I)2+ 1 COS nх,
л L n 2
n=)
2.19. f(x) = 6 Х / 4 • Ответ: 6 Х / 4 4 (6
= +
л / 4 _ 1)
81п6
+ --I (_I)n6 Л / 4 _1
cos nх,
л
00
n=)
(
16n 2 +(ln6)2
л In 6
00
6 Х / 4 = ~ \' 1_(_I)n6 Л / 4 n sin nх.)
л L 16n 2 + (In 6)2
n=)
2.20. f(x) = ch 4х. (Ответ: ch 4х = s~:л +
+ 8 sh 4л \' ( - 1 )" cos nх
л L n 2 + 16 '
n=)
ch 4х = 2. \' _1_--->-(-;:--I)'-n_
с h _ 4 л _ n sin nх.)
л L n 2 + 16
n=)
2.21. f(x) = е-ЗХ. (Ответ: е-ЗХ =
+~I 1 -
n=)
(_I)nе-зл
2 cos nх,
n +9
1 _ е- ЗЛ +
Зл
00
-Зх 2 I 1_(_I)nе-Зn . )
е = - n SIП nх.
л n 2 + 9
n=)
2.22. {(х) = х 2 + 1. (Ответ: х 2 + 1 = л 2 t
+4 I (__;}" cos nх,
100
n=)
3 +
CIO
х 2 + 1 = ~ I ~(n_ 2 _----'2)С-+;....:...(2_---,:з,;....?..>..(л_
2 ...:+..........t. I )-'-(_-_I.f..-)n sin nх-)
n=)

+
7(1 - 7 -Л/7)
2.23. f(x) = 7 -Х/7. Ответ: 7 -х/7 = +
(
л 'П 7
00
14 'П 7 2: 1 - (-1)"·7 -л/7
--- cos nх,
n 49n + 2 (In 7)2
n=!
7 -Х/7 = 9 л 8 \' 1_(_I)"7- Л / 7 )
L -4-9n-';;2-+--'-(ln--=-7)-;;-2-
n sin nх.
n=!
5 (Ch ; - 1)
2.24. f(x) = sh ~ . (Ответ: sh ~ = ---'--л--'-- +
+
00 ( _ 1)" ch ~ - 1
IлО 2: ------;;--- 5 cos nх,
n=!
25n 2 + 1
sh ~ =
5
50Sлh; 2:08 ( ,)П+I )
- n sin nх.
25n 2 + 1
n=!
2.25. f(x) = e- 2ХjЗ • Ответ: e- 2Xj3 3(1 _ е-
= +
2п / 3 )
+ 'n2 2: 1_(_I)"e-2n / 3
---'-:--;;-'---- С os n х,
9n 2 +4
n=!
00
(
-2хjЗ _ 18
е - -
2: 1 - (_I)"г 2Л / 3 )
n sin nх.
л 9n 2 + 4
n=!
2.26. f(x) = (х - л)2. (Ответ: (х _ л)2 = ~2 +
2л
+ 4 00 cos nх ( )2 _ 2 2:00 (n 2 л 2 +2)( -1)"-1. )
--, х-л - - sIП nх.
2: n 2 л n 3
+
n=!
n=!
1 - IO-
2.27. f(x) = IO-X. Л
( Ответ: IO-X = л 'П 10 +
00
21Пл 10 2: 1 _(_1)" 10-Л
---,-L---'-o--- С os n х,
n 2 + ,п 2 10
n=1
IO-X = ~ \' I-(-I)".IО- Л )
л L n2 + ,п 2 10 n sin nх.
n=!
101

2.28. ,(х) = ch : . (Ответ: сЬ : = sh 1 +
+
00
2 sh 1 \' (-l( 2 cos nх,
L '+nn
n=l
00
сh~2л \' I-(-I)"ch 1 n sin nх.)
n L 1 + n 2 n 2
n=l
2.29. f(x) = е 4х / З • Ответ: е 4х / = +
З 3(e4A/3 _ 1)
00
+ I ..".( 2n4 ---:-,1)'-;:-" e_4A _ /3 ___ 1
- cos nх,
9n + 2 16
n=l J
(
411
00
4х/3 _ 18 L J _(_J)ne4n/3 • )
е - - n SIП nх.
n 9n + 2 16
n=\
2.30. f(x)=(x-5'f. (Ответ: (x-5'f= n2-I~n+75 +
00
+ : I (n - 5)2~~ 1)" + 5 cOS nх, (х _ 5)2'
= 2
n
n=l
I
""
(25n 2 - 2) + (-1)"(2 - n 2 (5 - ..,)2). )
3 SIП nх.
n
n=l
3. Разложить в ряд Фурье в указанном интервал\::
периодическую функцию '(х) с периодом ro = 2/.
3.1. f(x)=lxl, -1

3.3. {(х) = fГ, -2 < х < 2, l = 2. (Ответ: fГ =
n='
3.4. {(х) = 'хl - 5, -2 < х < 2. (Ответ: Ixl--:- 5 =
оа
= -4 - ~ \' 1 cos (2п + I)лх .)
~ ~ ~n+lr 2
n=1
3.5. {(х) = {~: - б ~ ; ~?: l . 1. (Ответ: f(x) = : -
оа
_ ~ '\" 2 cos (n(2п -,I)x) + sin (лnх).)
n L л(2п - '?
n=1
3.6. {(х) = х, 1 < х < 3, l = 1. (Ответ: х = 2 +
+
00
~ L (_I)n+1 sin ~плх) -)
n=l
{
О,
3.7. {(х) = х,
2-х,
00
= ~ _ ...!.- \' cos (2п - I)лх) +
2 п 2 ~ (2п _ 1)2
n';" I
+
оа
J!.... \' (-1)" sin (2n + 1) лх/2) .)
-2~x

3.10. f(x) .5x-l, -5

1,0

{
3, -3

)
-1/2, -6 < О, ( )
3.28. f(x = { 1, 0< х < 6, [= 6. Ответ:, '(х =
00
=..!...+~ \' -'-sin (2n-l)nX.)
4 n L. 2n - 1 6
n=l
{
-2Х, -2

4.3.
,
.,
,1 ~I·I ·1
I I I
,1
I
I ;11 ..
·6 -5 -4- -3 -2 -! О f 2 J 4- 5" о 7 х
4.4.
у
х
4.5 .
4.6.
-5
. ~ -~/~f ~) ~5
I
-1
/ ..
х
у
4.7.
-6 -5 -4- -3 -2 t О f 2 J 4- 5 6 х
-f
-2
-3
у
108

4.8.
УI /1.
4.9.
у
х
4.10.
:1
~ I N N I N
-5 -4- -3 -2 -1 О 1 2 J 4- 5 "" х
4.11.
I
~
I ~. I
I ..
1\
I
-5 -It -3 -2 -1 О 1 г 3 4- 5 х
4.12.
у

4.13.
;71 v1 v1 Ъ~ и и I ;..
-6 -5 -4- -3 -2 -! О 1 2 J 1; .7 6 х
4.14.
r

4.18.
4.19.
4.20.
/J, м М,
-6 -5 -4 -] -2 -1 О 1 2 3 4
у
х
4.21.
-6 -5 -4 -] -2 -1 О 1 2
4.22.
'23~ о
7 х
Ш

4.23.
у
2
4.24.
~.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 о 1 г J 4- S 6 х
4.25.
r91 ~ Fi1
I I I I ...
-6 -5 -4- -3 -2 -1 о 1 2 3 1- 5 6 х
4.26.
;]?NJy~;x
-1
4.27.
112
У1М
м [у,.
-6 -5 -4 -) -2 -1 tl t гЗ4567х

4.28.
у
-6 7 х
4.29.
•
-6 -5 -4 -] -2 -' О f 2 J 4 5 6 х
4.30.
у
3 4 5 х
5. Воспользовавшись разложением функции f(x) в ряд
Фурье в указанном интервале, найти сумму данного
числового
ряда.
5.1. f(x) = Ixl, (-л; л), \' 1 . (Ответ: Л в2
L (2n _1)2
n=1
5.2. f(x) = Isin xl, (-л; л), I 4n 21 -1 . (Ответ: +-)
n=1
.)
00
5.3. f(x) = х 2 , [-л; л], I (_1)n+ 17' (Ответ: ~~ -)
n=1
113

вет:
5.4. f(x) = х, [О; л], по косинусам, \' 1 (ОТ-
L. (2n - 1/ .
"=1
л2 ) в'
00
~) 12 •
5.5. {(х) = { х 2 j Х ', -л:;:;;; Х :;:;;;0, \' 3 -
л 0< х:;:;;; л, L.
(_1)"
n 2 ( Ответ:
n=1
{
..,
-l -л

5 13 f( ) ={о, -3 < х:;:;;; о, \' I (ответ. )
•• Х х, 0

5.23. ,(х) = {х _ ?:
-л:;:;;;х

f(Х)={Л+Х' -л:;:;;;х

~ Продолжим данную функцию четным образом
(рис. 12.7). Тогда:
л
ао = ~ r 8 x / 2 dx = ~ .2. 8Ф 1" = _4_ (8,./2_ 1),
:rt ) :rt In 8 о :rt In 8
о
,.
а n = ~ ~ 8 х / 2 cos nxdx.
о
\ I
,
\ \
I \ \
\ I
\
, \
I
\
\ ,
"- "-
\ /
....
",
у
....
f
" -
'"
I
I
I
/
-Jтг -2п
-д О л 2JТ
З:тr
х
Рис. 12.7
Найдем неопределенный интеграл ~ 8 х / 2 cos nxdx, вы·
полнив дважды интегрирование
r
по частям:
u = 8 х / 2 du = -.!.. • 8 х / 2 In 8dx
'2'
) 8 х / 2 cos nxdx = 1. . -
. dv = cos nxdx, V = - SIП nх
n
= -.!.. 8 х / 2 sin nх - ~ r 8 х / 2 sin nxdx =
n 2n )
I
= 8 Х / 2 , du = -.!.. • 8 х / 2 In 8dx,
-= 2 = -' 1 8х/2. +
sш nх
dv = sin nxdx, V = - ~ cos nх, n
118
+ 1п 8 • 8х/2 сos nх _ In 2 8 r 8.1/2 cOS nxdx,
2n 2 4n 2 )
( 1+ In2 2 8 )r 8X/~os nxdx = -.!.. • 8 х / 2 sin nх + In ~ Х
~ ) n ~
Х 8 х / 2
cos nх,
r 8 х / 2 cos nxdx = 4n 2 (2. вх/ 2 sin nх +
J 4n 2 + In 2 8 n .
+ lп 8 .8.1/2 cos nх).
2n 2

· Вычислим коэффициенты а n :
а,,= 8n 2 (-.!.... . 8 xj2 sin nх + ~ . 8 х / 2 COs nх) I л =
л(4n 2 + (In 8)2) n 2n 2 о
_ 4 In 8(8 л / 2 ( _ 1)" - 1)
- л(4n 2 +(lп8)2)
Следовательно, разложение данной функции по кОсинусам
имеет вид
8Х/2 = 2(8 л / 2 - 1) + 4 1: 8 \' 8'/2. ( - 1)" - I cos nх.
л 'П 8 "L 4n 2 + (In 8)2
n=1
Теперь продолжим данную функцию нечетным образом
(рис. 12.8). Тогда:
л
Ь n = ~ ~ 8 х / 2 sin nxdx,
о
/
~.-
/
I
I
I
1)
у
I
I
I
/
/
~.-
-Jtr
/
I
I
/
.- .-
-2'ff
-п- О ff
-1
.- ,
/ /
/ /
I
I
I
I
.-
2п
Jff
х
Рис. 12.8
f
j 8 Х / 2 sin nxdx =
и = 8 х / 2 du = -.!.... ·8 х / 2 Iп 8dx
'2.'
dv = sin nxdx, v = -
-.!....cos nх
n
= - -.!.... 8х/2 cos nх + ~ f 8 х / 2 cos nxdx =
n
2n j
и = 8 х / 2 du = -.!.... 8 х / 2 lп Мх
'2 '
dv == сos nxdx, v = ...!- sin nх
n
.Н9

= - ..!.. • 8 х / 2 cos NХ + ~ . 8Х/2 sin nх -
n 2n 2
2
Ь ,. = 8n
- ~ f 8Х/2 sin nxdx
4n 2 ) ,
(- ..!.. 8 х / 2 cos NХ + ~ х
л(4n 2 + (In 8)2) n 2n 2
Х 8 х/ 2 sin nx)l" = 8n (8 Л / 2 (_I)n+1 + 1) •
О л (4n 2 + (ln 8)2)
Следовательно, разложение данной функции по синусам
имеет вид
3. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
ffi = 2) функцию
1, -1 ~x

о 1
Ь n = ~ sin (nлх) dx + ~ х sin (nлх) dx =
-1 t
u=х, du=dx,
dv = sin (nлх) dx, v = ~ cos (nлх)
nл
= - - 1 cos (nлх) 1 о - ~ cos (nлх) 11 +
nл -1 nл О
1
+ _1_( cos (nлх)dх= - -1 (1 -(-1n- _1 (_1)n_
nл J nл nл
t
1· 11 (_1)" 1 (_1\" 1
- --, slП (nлх) = -- - - - ~ = - -.
n 2 л 2 О nл nл nл nл
в итоге получаем следующий ряд Фурье:
00
,(х) = 1. _ ~ \' cos ((2n - I)лх) _ ~ \' sin (nлх). ~
4 л 2 L (2n - I? л L n
n= I n= 1
4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графически
(рис. 12.9).
l/,I.
-6 -5 -4 -} -2 -/ О 1 2 J 4- 5 6 Х
Рис. 12.9
~ Запишем аналитическое выражение данной
функции:
,(х) = {02,5х 2 + 1, -02 < х:5 2°' (t) = 4.
,

о 2
а" = + ~ (+ х + 1) COS п;х dx + ~ cOs Il;X dx =
-2 О
и=х/2+ 1, du=(1/2)dx,
dv = cos IlЛХ dx v = 2. siп IlЛХ
2 ' IlЛ 2
о
о
х/2 + 1 " IlЛХ 1 1 ~ , nлх d +
- s п -- - - SIП -- Х
пл 2 -2 2пл 2
-2
2 ' плх 12 1
+
ПЛХ 1 о
-SIП-- = --COS-- =
пл 2 о п 2 л 2 2 - 2
- I (( 1 )" + I + 1) _ 2
- -2 -2 - - 2(2 1)2 '
ПЛ Л п-
о 2
Ь 1 ( (1 + 1) , плх d + f ' плх d
" = 2') 2' х SIП -2- х ) SIП -2- Х =
-2 "
_ u = х/2 + 1, du =(1/2)dx, 1=
d
. ПЛХ d 2 ПЛХ
2 пл
х/2 + 1 плх j О 1 ~
= - --'---'-- cos -- + --
nл 2 -2 2пл
о
-2
и = S1П -- х, V = - - cos -2-
cos~dx-
2
2
_ ~ « _ О" - 1) - ~ cas flЛ./С j = _ -' +
пл пл 2 111 пл
о
+ _1_. siп плх 1 _ ~(-l)"+ _2_ =
п 2 л 2 2 -2 ПЛ пп
= _1 __ ~(-l)" = (1 +2(-1)"+1) .
пл пл пл
Следовательно, искомый ряд Фурье
00
{(х) = ~ + ~ \' COS ((2п - l)лх/2) +
4 ;\2 L (2ц -I?
11=1
+ 2.. f' (1 +2(-1)"+1) . плх ...
л; L n S1П-Г'
,,=,

5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
НХ) = {х, О ~ х ~ ],
2-х, 1

2
__ 4_COS~1 = _ 4
n 2 л 2 2 1 л 2 (2n + 1)2 •
СлеJJ.овательно,
f(x) = ..!... _ ~ \' cos(2n + I)лх
2 л 2 L (2n + 1)2
n=о
Полагая х = о,
получаем:
0- 1 4 \' 1
- 2 - ~ L (2n + 1)2 ' 8
n=о
Таким образом, с помощью ряда Фурье мы нашли сумму
числового ряда. ~
12.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНblЕ ЗАДАЧИ к ГЛ. 12
1. Найти сумму ряда
(Ответ: 1/90.)
L (n + I)(n + 2)(~n + I)(2n + 5)
n=1
2. Исследовать на сходимость ряд
1 3 ( 5 )3/2 ( 2n _ 1 )n/2
"2 + 7" + 10 + ... + 2n + 1 + ...
(Ответ:
сходится.)
3. Показать, что если ряд ~ а ,. абсолютно сходится,
n=1
то ряд L n ~ 1 а ,. также абсолютно сходится.
n=!
4. Исследовать на сходимость и аБСОЛЮТhУЮ схо ...... и-
L ( 1)"+1 3"
(2n + 1)"
мость ряд - '. (Ответ: абсолютно сходится.)
124
n=1

5. Показать, что ряд, полученный при перемножении
двух расходящихся рядов: 1 - L (-%-) n И 1 +
00
n=1
+ L
00
(~) ,,-1 (2" + 2-(n+ 1)), абсолютно сходится.
n=1
6. Сколько членов ряда \' (-1)"+ 1-1- нужно взять,
L
n·2"
чтобы абсолютная погрешность при замене суммы S этого
ряда его n-й частичной суммой S" не превышала а =
= 10-3, т. е. чтобы IS-S"I = Ir,,1 ~a? (Ответ: n~7.)
n=1
7. Сколько членов ряда \' (_ 1)" + 1 2n -
L n 2 1
нужно
n=1
взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01?
(Ответ: n = 200.)
8. С помощью почленного дифференцирования и интегрирования
найти сумму ряда 1 - 3х + 2 5х + ... +
4
+(-I)n-I(2n_l)x 2 "-2. (Ответ: S(x) = l-x 2 ,lxl

13. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
13.1. ДВОИНblЕ ИНТЕГРАЛbI И ИХ ВblЧИСЛЕНИЕ
На плоскости Оху рассмотрим. некоторую замкнутую область D.
ограниченную замкнутой линией L. Пусть в D задана функция z =
= '(х. у). Произвольными линиями разобьем D на n элементарных
областей Si. площади которых I1Si (i =~) (рис. 13.1). В каждой
области Si выберем произвольную точку Pi(Xi, у;). диаметром di области
Si иазывается длина наибольшей из хорд, соединяющих граничные
точки Si.
Выражение вида
n
/n = L f(Xi, y;)I1Si (13.1)
i=1
называется n-й интегральной суммой для функции z = f(x, у) в области D.
Вследствие произвольного разбиення области D на элементарные области
S, и случайного выбора в них Т04ек Р; можно составить беС4исленное·
множество указанных сумм. Однако, согласно теореме существовании
и единственности, если функция z = '(х, у)' например, непрерывна
8 D и линия L - KYC04ho-гладкая, то предел всех этих сумм, найденных
при условии di-+O, всегда существует и единствен.
ДВОЙНЫМ интегРаАОМ функции z = '(х, у) по области D называется
предел lim /n, обозна4аемый \\ '(х, y)dS. Таким образом, по опредеd.-O
о
лен ию
\\f(x, y)dS = lim ~ '(х;,
о
"
d,~Oi=1
Yi)I1Si.
(13.2)
Здесь и далее будем предполагать, что функция z = '(х, у) непрерывиа
в области D и линия L - кусочно-гладкая, поэтому указанный
в формуле (13.2) предел всегда существует.
Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометрический
и физический смыслы.
1. \\ dS = So, где So - площадь области интегрироваиия D.
D
2. Если подынтегральная функция z = '(х, у) = J.I(x, у) - поверхностная
плотность материальной пластины, занимающей область D,
то масса этой пластины O/Iределяется по формуле
,
т = \\/t(x, y)dS. (13.3)
D
В этом заключается физический СМЫСА двойного интеграла.
3. Еслн Нх. у) ~ О в области D, то двойной интеграл (13.2) чнсленно
равен объему '" к.илиндрического тела. находящегося над
126

плоскостью Оху, нижним основанием которого является область D, верхним
- часть поверхностн 2 = '(х, у), проектирующаяся в D, а боковая
поверхность - цилиндрическая, причем ее прямолинейные образующие
параллельны OCII 02 и проходят через границу L области D (рис. 13.2).
Если '(х, у)';;;; о в области D, то двойной интеграл численно равен
z
z=ffx,y»O
у
S,
У>О
)(
О
у
х
Рис. 13.1 Рис. 13.2
объему цилнндрического тела, находящегося под плоскостью Оху
(рис. 13.3), взятому со знаком «-» (-и). Если же функция {(х, у)
в области D меняет знак, то двойной интеграл числен'ио равен
разности объемов цилиндрических тел, находящихся над плоскостью
Оху и под ней, т. е.
)\ '(х, y)dS = VI - и2
D
(13.4)
(рис. 13.4). Это свойство выражает геометрический СМЫСА двойного
интеграла.
z
Z= f(x, yl

4. Если функции z = ЫХ, у) (j = т,kj непрерывны в области D, то
верна формула
k
k
~~ ( L fi(X, у)) dS = L . ~~ fi(X, y)dS.
о j=1 j=1 О
5. Постоянный множитель С подынтегральной функции можно выносить
за зиак двойного интеграла:
\\ Cf(x, y)dS = С \\ [(х, y')dS.
о
6. Если область D разбить на конечное число областей D 1, D 2, ••• ,
Dk, не имеющих общих внутренних точек, то интеграл по области D
равен сумме интегралов по областям Dk:
\\ {(х, y)dS = \\ {(х, y)dS + \\ {(х, y)dS + ... + \\ [(х, y)dS.
о о, О, О,
7 (те о р е м а о сред н е м). Для иепрерывной функции z = [(х, у)
в области D, площадь которой S о, всегда найдется хотя бы одна
точка Р(6, 1']) Е D, такая, что
\\ [(х, y)dS = [(6, I'])So.
D
Число [(6, 1']) называется средним значением функции z = [(х, у) в
области D.
8. Если в области D для непрерывных функций [(х, у), [1 (х, у), [2(Х, у)
выполнены неравенства [1 (х, у) ~ [(х, у) ~ [2(Х, у), то
\\[I(X, y)dS< \\[(х, y)dS< \\Нх, y)dS.
о о о
9. Если функция z = [(х, у) =1= сопst и непрерывна в области D,
М = тах {(х, у), т = тiп [(х, у), то
(К. У}ЕО (к. у)ЕО
mSo < \\ [(х,
о
о
y)dS < MSo.
3 а м е ч а н и е. Так как предел п-й ннтегральной суммы /n (см. формулы
(13.1), (13.2)) не зависит от способа разбиения области D на
элементарные области Si (теорема существования и единственности), то
в декартовой системе координат область D удобно разбивать на эле·
ментарные области Si прямыми, параллельными осям координат. Получениые
при таком разбиении элементарные области Si, принадлежащие
области D, являЮТСя прямоугольннками. Следовательно, dS = dxdy и
\\ [(х, y)dS = \\ [(х, y)dxdy.
о
Область интегрирования D называется правильной в направлении
оси Ох (оси Оу), если любая прямая, параллельная оси ОХ (оси
Оу), пересекает границу L области D не более двух раз (рис. 13.5, а).
Область D считается также правильной, если часть ее границы или вся
граиица L состоит из отрезков прямых, параллельнык осям координат
(рис. 13.5, б).
126
о

РассмОТрим методы вычисления двойного интеграла по областям,
правильным в направлении координатных осей; так как практически
любую область можно представить в виде объединения правильных
областей (рис. 13.5, в), то, согласно свойству 6 двойных интегралов,
эти методы ПРИГОQНЫ дЛЯ их вычисления по любым облI'СТЯМ.
Q О 8
у
а
у
~1II11I11~
у
Х
·1
х о х О х
Рис. 13.5
Для вычисления двойного интеграла нужно проинтегрировать подынтегральную
функцию z = {(х, у) по одной из переменных (в пределах
ее изменения в правильной области D) при любом постоянном значении
другой переменной. Полученный результат проинтегрировать по второй
перемениой в максимальном диапазоне ее изменения в D. Тогда все
произведения {(х, y)dxdy в двойном интеграле (предел суммы (13.2»
будут учтены при суммировании точно по одному разу, и мы избавимся
от лишних, не при надлежащих области D, произведений.
Если область D, правильная в направлении оси Оу, проектируется
на ось Ох в отрезок [а; Ь], то ее граница L разбивается
на две линин: АmВ, задаваемую уравненнем у =!рl (х), И АпВ, задаваемую
уравнением у =

Выраж~ния, стоящие в правых частях равенств (13.5), (13.6),
называются повторными (илн двукратными) интегралами.
Из равенств (13.5) и (13.6) следует, ч:го
ь 'I',(x) d ~),(y)
1 dx \ [(х, y)dy = \ dy \ {(х, y)dx. (13.7)
а Ф,(х) ф,(у)
Переход от девой части равенства (13.7) к правой его части и обрат-
110 называется изменением порядка интегрирования в повторном иНтеграле.
у
п
у
d
А
В
т
С
О а х Ь х О
Рис. 13.6 Рис. 13.7
Пример 1. На плоскости Оху построить область интегрирования D
по заданным пределам изменения переменных в повторно:>! интеграле
4 э.j.'
J = \ dx ~ dy. Изменить порядок интегрироваНJlЯ и вычислить ин-
О
:i\L/R
lеграл Ilpll заданном и изменеllНОМ порядках интегрирования.
~ Область интегрирования D раСПО,lОжена между прямыми х = О
и х = 4, ограничена снизу параболой у = 3х 2 /8, сверху параболой у =
= 3 --r.; (рис. 13.8). Следовательно,
4 4
1= \ (yl:,'!:s)dx= \ (з-Vx-3х2/8)dХ= (2X)/2_X]/8)1~=8.
u
о
С другоii стороны, область интегрирования D раСПОJlожена между
прямы ми у = о и у = б. а переменная х изменяется в данной области при
каждом фиксированном значении у от точек параболы х =!l /9 до точек
параболы Х= -V8y/3, т. е., согласно формуле (13.7), имеем
6 уГSуlЗ 6
J = ~ dy ~ dx = ~ (.pj _ ~2) dy =
о у'/9 О
130

Пример 2. Изменить !юрядок интегрировання в повторном ННтеграле.
I 2-х
\ dx \ [(х, y)dy.
о
х'
~ Область интегрирования D ограничена ЛИНИЯМИ х = О, х = 1,
У = х' и у = 2 - х (рис. 13.9). Так как правый участок границы об·
ласти D задан двумя ЛИНИЯМК, то прямая у = 1 разбнвает ее Hd
области D 1: О ~ У ~ 1, О ~ х ~ -JY и D,: 1 ~ У ~ 2, О ~ х ~ 2 - у.
в результате получаем
х
" 2 х
Рис. 13.8 Рис. 13.9
! 2-х I -/!i 2 2-у
\ dx \ [(х, у) dy = \ dy \ [(х, у) dx + \ dy f (х, у) dx. ~
о х" о о I
Пример 3, Вычислить ДВОЙНОЙ интеграл
\\ (х + у + 3) dxdy,
D
у
,
2
у=2-х
если область D ограиичена ЛИНИЯМИ х + у =
=2 х=о у=О
'~
Об~асть и'нтегрироваиия D ограничена
ПРЯМОЙ у = 2 - х И осями координат
(рис. 13.10). Следовательно,
\\(x+y+3)dxdy= \ dx
D
О
2
2-х
О
D
Рис.
\ (x+y+3)dy=
2 2
( (х + у + 3)21"~2-X d 1 ((2' (+ з)2)d
) 2 y~O х = "2) 0- х х =
О
1 ( (х + 3)") 12 = 26
="2 25х - 3 о З' ~
о
О
2', ,
13.10
х
Пример 4, Найти среднее значение функции z = х + бу в треугольинке,
ограниченном ПрЯМЫМИ у = х, у = 3х, х = 2.
131

~ Средним значением функции z = {(х, у) в области D яl.lляется
числО (см. свойство 7 двойных интегралов)
7 = ;D ~~ [(х, y)dxdy.
Вычислим сначала площадь области D:
SD =
Аналогичио получаем
о
2 Зх 2
\\dxdy= \ dx \ dy= \ (3x-х)dх=Х21~=4.
о о х О .
2 Зх 2
~~ (х+ бу)dxdy = ~ dx ~ (х + бу)dу = ~ *(х + бу)2С dx=
О о х О
= *
2 2 2
~ ((194 - (74)dx= *
~ 312х2dХ=2б~ x 2 dx=
о о о
= ~хз12 = 208
3 о 3'
Таким
образом,
-{ = ~. 208 = ~ ....
4 3 3 .....
АЗ-13.1
J. Вычислить следующие повторные интегралы:
2 I
а) ~ dx ~ (х 2 + 2y)dx;
u ()
8 S 2 х
б) ~ dy
~
(х + 2y)dx; в)
~ dx ~
-з у'-1 I/x
x 2 dy
у2
(Ответ: а) 14/3; б) 50,4; в) 2,25.)
2. Расставить пределы интегрирования в повторном
интеграле для двойного интеграла ~~ (х, у) dxdy, ~сли изо
вестно, что область интегрирования D:
а) ограничена прямым и х = 1, х = 4, 3х - 2у + 4 = О,
у2 - 4х = О;
в) является треугольной областью с вершинами в точках
0(0, О), A(I, 3), B(I, 5);
3х- 2у- 1 =0;
б) ограничена линией х 2 +
132

г) ограничена линиями у = х З + 1, х = О, х + у = 4
3. ИЗМРНИТЬ порядок интегрирования в данных повторных
интегралах:
2 .}4-:

3. 1. Изменить порядок интегрирования в повторном
интеграле
8 -Уау+ 12
~ dy ~ f(x, у) dx.
-4 (у+4)/2
2. Вычислить ~~ x 2 dxdy, если область D ограничена
D
линиями у=х, у= I/x, х=2. (Ответ: 2.)
13.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ
КООРДИНАТАХ
Пусть переменные х, у связаны с перемеННЫМII и, и соотношениями
х =

Следовательно, '
дх ду 1 1
J= ди ди -т 2 1
дх
i!JL
1 -Т'
ди ди 2 2
а IJI = 1/2. Поэтому, СОГ.пасно формуле (13.8),
\\(х + у) dxdy = \\ и' -i, dudu =
о О' ~
2 3
=-2 1 ~ d u ~ r.Jdu=-'" 15
4 . ~
~I ~2
Известно, что прямоугольные декартовы (х, у) и полярные (р, (j')
координаты Связаны между собой следующими соотношеииями:
х = р cos

а
х
Рис. 13.11
х
Рис. 13.12
Рис. 13.13
Рис. 13.14
Аналогичные формулы имеют место и для случая обобщенных
полярных
координат.
Пример 2. Вычислить \\ -J(x 2 + у2)Зdхdу, если область D - круг ра·
D
диусом R с центром в начале координат.
~ Если область D - круг или el·O часть, то многие интегралы
проще вычислять в полярных координатах. Согласно формулам
(13.9) и (13.12) (случай 2), имеем:
х
\\ -J(x 2 + у2? dxdy = \\ -J(p2 siп 2 ер +р2 cos 2 !i')' pdpd

~ в интеграле \\ dxdy, выражающем площадь эллипса в декарто-
D
вой системе координат, перейдем к обобщенным полярным координатам
с помощью равенств (13.10). Уравнение эллипса в обобщенных
полярных координатах имеет вид р = 1. Следовательно, согласио
формуле (13.11), получаем
2" 1
\\ dxdy = \\ abpdpdf{J = аЬ \ df{J \ pdp = лаЬ. ~
D О' О О
АЗ-13.2
1. Вычислить ~~ (х + y)dxdy, если область D ограни­
D
чена прямыми 2х + У = 1, 2х + у = 3, х - у = - 1, х­
- у = 2. (Ответ: 2,5.)
2. Использовав полярные координаты, вычислить
двойной интеграл ~~ (х 2 + y2)dxdy, если область D огра­
D
ничена окружностью х + 2 у2 = 4х. (Ответ: 24л.)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
2 2 2 2 6 1_ Г:;3 ( О .
х +у =4х, х +у = х, У= ~Х, Y=-УдХ. твет.
5л/6.)
4. Вычислить ~~ arctg..!L dxdy, где D - часть кольца,
D
Х
ограниченного линиями х 2 + у2 = 1, х 2 + у2 = 9, у = .Jз х,
у = ~х. (Ответ: л 2 /6.) 3
5. Найти ~~ xydxdy, если область D ограничена эллип·
D
2 Z
сом ~2 + ~2 = I и прямыми х = О, У = О. (Ответ: а 2 Ь 2 /8.)
00
6. Вычислить несобственный интеграл ~ е- Х ' dx, использовав
значение интеграла ~~ e-x'-Y'dxdy, взятого по
D
области D, ограниченной окружностью х 2 + у2 = R 2
(Ответ: -V;.)
Самостоятельная
работа
1. Вычислить ~~ (12 - х - y)dxdy, если область D огра­
D
ничена окружностью х 2 + у2 = 9. (Ответ: I 08л.)
137

2. ВЬIЧИСJШТЬ ~~ (6 - 2х - Зу)dхdу, если область D огра­
D
ннчена окружностью х 2 + у2 = 4. (Ответ: 24л.)
3. Вычислить ~~(4 - х - y)dxdy; если Qбласть D огра-
D .
ничена окружностью х 2 + у2 = 2х. (Ответ: Зл.)
13.3. П РИЛОЖЕНИЯ ДВОй НЫХ ИНТЕГРАЛОВ
~lepOB.
Вычислеиие площадей плоских фигур. Рассмотрим неСКО.1ЬКО при­
Пример 1_ Вычислить площадь фнгуры, ограниченной Jlf1ННЯМН
!J = х" - 2х, у = х. -
~ ПО уравнениям границы области D стронм данную фигуру
(рис. 13.15). Так как линии, ограничивающие ее, пересекаются в точках
0(0, О) и М о (3, 3), то в D справедливы неравенства: О ~ х ~ 3, x~­
- 2х ~ у ~ х. Следовательно, на основании свойства 1 двойных инт~гралов
искомая площадь
:j х З
S = \\ dxdy = \ dx d!J = \ (х - х" + 2x)rlx =
D О х'-2х О
_(3." х.з) I э 9
-'2 х -зо='2· ...
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
(х' + yZ)! = а"(х" _ у2), а> О.
~ Перейдем к полярной системе коорди~ат, в которой уравнение
данной кривой примет вид:
1'4 = aZp2(cos'

= 4 \\pdpdtp. Здесь D - фигура (область), лежзщая в первом квад·
D
ранте, для которого О ~ tp ~ л/4, О ~ р ~ a-Jcos 2tp. Следовательно,
"/4 a.jcos 2'1' "~4 Z I Г:::::-::О:
~ v a-ycos 2ft
S = 4 \ dtp J pdp = 4""2 dtp =
о о о о
11/4
= 2а 2 \ cos 2tpdtp = а 2 sin 2tp 13/4 = а 2 • ~
о
Вычисленне объемов тел. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

~ Рассматриваемое тело ограничено параболоидом вращения с
осью Оу и плоскостью у = 5, перпендикулярной к оси Оу (рис. 13.18).
Его проекция на плоскость Охг - круг, определяемый уравнениями
у = О, х 2 + ZZ :;( 4. Искомый объем
у = \\(5 - 1 - х 2 - z2)dxdz = \\(4 - х 2 - z2)dxdz.
D
D
Рис. 13.18
Перейдем в полученном интеграле к полярным координатам с помощью
равенств х = р COS QJ, Z = Р sin QJ. Тогда dxdz = pdpd!p н
2л 2
u= \\(4- р 2)рdрdQJ= \dQJ\(4p- р 3)dр=
D о О
= 2л( 2pZ _ ~4) 1: = 8л ...
Вычнсленне площадей поверхностей. Пусть в области D z плоскости
Оху задана непрерывная функция z = {(х, 11), имеющая непрерыв·
ные частные производные. Поверхность, определяемая такой функцией,
иазывается гладкой. Очевидно, что область D z есть проекция
рассматриваемой по верхи ости на плоскость Оху. Площадь Qz поверхности
z = {(х, у), (х, у) Е D z, вычисляется по формуле
rr _ / д Z д 2
Qz = JJ V 1 + (д:) + (а;) dxdy. (13.13)
D,
В случае, когда гладкая поверхность задана функцией х = {(у, г)
(в области D x ) или функцией у = {(х. г) (в области Dy). площадь этой
поверхности вычисляется по формуле
(13.14)
или
(13.1:1)
140

Пример 5. Вычислить площадь части конуса у = 2 -Ух2 + г2, расположенной
внутри цилиндра х 2 + г2 = 4х. ,
~ Так как поверхность задана функцией вида у = {(х, г), то ее
площадь Q у следует вычислять по формуле (13.15), где область D y -
проекция данной поверхности на плоскость Охг (рис. 13.19). Эта проеку
Рис. 13.19
ция представляет собой круг, органиченный окружностью (х - 2)2 +
+г2=4.
Так как
х
ду
дх
2х
ду
дZ
2г
то искомая площадь
D,
= 15(( dxd = ,г = cos

Пример 6. Вычислить массу материаЛl>IIОЙ IIластинки, лежащеii
в плоскости аху и ограниченной линиями х = {у - 1 )2, У = х - 1, если
Ре. поверхностная плотность j.t = у.
~ Найдем координаты точек пересечения ,IИIIНИ, ограничивающи)(
область D: А(I, О), 8(4, 3) (рис. 13.20). Тогда из физического смысла
двойнOI о интеграла (см. § 13.1, свойство 2) следует, 'ITO искомая масса
3 У+ 1
т = \\ ydxdy = \ dy \ ydx =
D fJ (/f-Ij"
~ ~
\ у(у + 1 - (у - 1)') dy = \ (3у' - y')dy =
о
(
п
: y')I': 27
=У-40=4''''
Вычисленне статических моментов н координат центра масс материальноii
пластинки. Если на плоскости аху щша материальная IIлас­
ТlНlKa D непрерывной поверхностной IIЛОтНОСТЬЮ j.t(x, у), то координаты
ее центра масс С(Х С ' ус) определяются по формулам:
Величины
\\ xj.t(x, y)dxdy
[)
Х С = \rt(X, y)dxdy
D
\\ yj.t(x, y)(ixdy
у с = ...:D:",.. ____ _
\\j.t(X, y)dxdy
[)
(13.16)
М Х = \\ yj.t(x, y)dxdy, М у = \\ чt(x, y)dxdy
[) D
(13.17)
называются статическими моментами пластинки D относительно осей
Ох и ау соответственно.
Пример 7. Найти координаты центра масс IIластинки D, лежащей
в плоскости аху и ограничениой линиями у = х, у = 2х, х = 2 (рис.
13.21), если ее плотность j.t(x, у) = ху.
у
JI---+--= ....... ~-
х
х
рис. 13.20 Рис. 13.21
~ Вначале определим массу пластиики D:
2 2< 2
т = ~~ xydxdy = ~ xdx ~ ydy = ~ Х· ~' '>х =
D (1 х О
142

z
= {- ~ х(4х" - x 2 )dx = ; ~ хЗdх = ; х 4 !: = 6.
о
z
' Q
Согласно формулам (13.16), координаты центра масс:
2 2х
х с = ~l ~~X2YdXdY= ~ ~X2dX~YdY=
D о х
2 2
_ 1 ( 2 1 ,2
- "6 J х '2 (4х -
') _
х dx -
1 (, _
"4 J х dx -
х512 _ 8
20 0- 5" '
IJ
:2 2х
1 ((, 1 ( (,
у с = т JJXY-dХdУ = "6 J xdx J y-dy =
f) () х
~ 2
1( y'I"' 7(, 112
= "6 J х· 3, = т8 J х dx = 45 . ..
Q 1)
О
Вычисление моментов инерции материальной пластинки. Моменты
инерции относительно начала координат и осей координат Ох, Оу матернальной
пластинки D непрерывно распределенной поверхностной
плотностью j.t(x, у)' которая лежит в плоскости Оху, вычисля'ются соответственно
по формулам:
10 = \\(х' + y2)j.t(X, y)dxdy,
D
1, = \\y'j.t(x, y)dxdy, I y = \\x 2 j.t(x, y)dxdy.
D
D
(13.18)
Пример 8. Вычислить моменты инерцин относнтельно точки границы
однородного круга и его диаметра, если радиус круга R, а вес Р.
~ Поместим начало координат в точке, лежащей на границе круга,
а центр круга - в точке C(R; О) (рис. 13.22). Тогда задача сведется
у
Рис. 13.22
к нахождению моментов ИНСРII ии круга относнтельно начала координат
и оси ОХ.
143

Так как круг однороден, то его плотность !t постоянна и !t =
= р j(gлR 2 ). Уравнение ОКРiЖНОСТН в декартовой системе координат
имеет вид (х - R)2 + у2 = R, а в полярной - р = 2R COS!p. ДЛЯ данного
круга выполняются соотношения -л/2:;(!р:;( л/2, 0:;( р:;(
:;( 2 R cos !р.
Следовательно, на основании формул (13.18) имеем:
10 = !t \\(х 2 + у2 )dxdy =
D
п/2 2Rcos

а) плоскостями х=о, у=о" г=О, х=4, у=4 и
2 2
параболоидом z = 1 + х + у ;
б) цилиндрами х 2 + у2 = R 2 , х 2 + г2 = R 2 ;
в) параболоидом z = х 2 + у2 И плоскостями Z = О,
У= 1, у=2х, у=6-х;
г) цилиндром х 2 + у 2 = 4 и плоскостями z = О, z =
=х+у+ 10;
2 2
д) эллиптическим цилиндром : + 11- = 1 и плоскостями
г= 12-3х-4у, г= 1. (Ответ: а) 186~ ; б) ~ R 3 ;
В) 78 ~~; г) 40л; д) 22л-)
3. Вычислить площадь части плоскости 6х + 3у +
+ 2г = 12, которая расположена в первом октанте. (Ответ:
14.)
4. Вычислить площадь части конуса z = -.J х 2 + у 2
расположенной внутри цилиндра х 2 + у 2 = 4х. (Ответ·
4-{2л.)
5. Вычислить площадь части поверхности па~аболоида
2г = х 2 + у 2 , лежащей внутри цилиндра х + у 2 = I
(Ответ: ~ л(-.J8 - 1)-)
6. Вычислить массу квадратной пластины со стороной
а, если ее плотность в любой точке М пропорционаJlьна
квадрату расстояния от этой точки до точки пересечения
диагоналей, а В угловых точках квадрата равна единице.
(Ответ: а 2 /3.)
Самостоятельная
работа
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 - х, у 2 = 4х + 4. (Ответ: 64/3.)
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностSfми
х 2 + у 2 = 1, z = о, х + у + z = 4. (Ответ: 4л.)
3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром
г= у 2 /2 и плоскостями 2х + 3у = 12, х = о, у = о, z = о.
(Ответ: 16.)
145

АЗ-13.4
'. Вычислить координаты центра масс однородной
плоской ФИГУРЫ лежащей в плоскости Оху и ограничен­
2
ной линиями у = 4х + 4, у2 = -2х + 4. (Ответ: х с =
= 2/5, Ус = О.)
2. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной
линиями у = х 2 , у2 = х, если плотность фигуры
J.t(x, у)=ху. (Ответ: xc =9/14, Ус = 3/56.)
3. Найти координаты центра масс однородной плоской
фигуры, ограниченной кардиоидой р = а(1 + cos ЧJ). (ОТвет:
х с = ~ а, Ус = О.)
4. Вычислить момент инерции относительно начала
координат фигуры, ограниченной линией х 2 + у2 - 2х = О,
если ее плотность J.t(x, у) = 3, 5. (Ответ: 2Iл/4.)
5. Вычислить моменты инерции относительно начала
координат и осей координат пластины плотностью J.t(x,
у) = х 2 у, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями
у = х 2 , У = 1. (Ответ: 10 = 104/495, l х = 4/33, l у =
= 4/45.)
6. Вычислить момент инерции относительно полюса
пластины, ограниченной кардиоидой р = а(1 - cos ч:),
если ее плотность J.t = 1,6. (Ответ: 7ла 4 /2.)
7. Вычислить момент инерции относительно центра
(J.t(x, у) = 1) эллиптической пластины с полуосями а и Ь.
(Ответ: лаЬ(а 2 + Ь 2 )/4.)
Самостоятельная
работа
'. Вычислить момент инерuии ОТНОСительно начала
координат фигуры плотностью J.t(x, у) = 1, ограниченной
линиями х + у = 2, х = 2, У = 2. (Ответ: 4.)
2. Вычислить координаты центра масс однqроднои
фигуры, лежащей в ПЛОСКОСти Оху и ограниченной линиями
у= -х 2 +2х, у=О. (Ответ: х с = 1, Ус= 1/4.)
3. Вычислить момент инерции относительно точки пересечения
диагоналей прямоугольной пластинки со сторонами
4 и 6, если ее плотность J.t(x, у) = 2. (Ответ: 208.)
13.4. ТРОйНОй ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ
Пусть функция и = {(х. У. z) непрерывна в замкнутой области
V Е R·'. ограниченной не которой замкнутой кусочно-гладкой поверхностью
S. с помощью произвольных гладких поверхностей разобьем
Нб

область V на n элементарных областей ~!, (i = 1, n), объемы которых
оБОЗllачим через I'lVi. В каждой элементарной области V, выберем
произвольно точку М, (х" У" Zi) и постооим сумм\'
/. = ~ {(х" Yi, z,)l'lv,.
i=1
(13.19)
Через d, обозначим максимальный диаметр эm:ментарной области V i •
Сумма (13.19) называется n-й интегральной суммой функции {(х,
у' г) в области V.
Предел сумм (13.19), найденный при условии, ЧТО di->-O, называется
тройным интегралом функции {(х, у, г) по области V и обозначается
\\\{(х, у' z)dv. Таким образом, по определению
v
11
ш {(х, у, z)dv = lim ~ {(Xi' Yi, Zi)I'lVi. (13.20)
l' d,~O ,=1
Если подынтегра.%ная функция {(х, у, г) непрерывна в области V,
то интеграл (13.20) существует и не зависит от способа разбиения V
на элементарные области V, и выбора точек M i.
Многие отмеченные в § 13.1 свойства двойных интегралов справедливы
и для тройных интегралов, поэтому приведем только те их
свойства, которые несколько отличаются от свойств двойных интегралов.
1. Если в облаСТf/ V {(х, у, г) == 1, ТО
\\\d1.! = V, (13.21)
v
где v - объем области V.
2. В случае, когда подынтегральная функция {(х, у, г) задает
плотность б(х, у, г) тела, занимающего область V, тройной интеграл
выражает массу этого тела:
т = \\\б(х, у, z)dv.
v
(13.22)
Следует подчеркнуть, что в декартовой системе координат область
V удобно разбивать на элементарные области плоскостями, параллельными
координатным плоскостям; при этом элемент объема dv = dxdydz.
Считаем область V правильной (т. е. такой, что прямые, параллельные
осям координат, пересекают границу области V не более, чем
в двух точках). Для правильиой области V справедливы иеравенства
(рис. 13.23): а ~ х ~ Ь, (jJ1 (х) ~ У ~ (jJz(x), 'iJ, (х, у) ~ z ~ 'iJ2(X, у) Н
следующая формула для вычисления тройного интеграла
ь ч,,(х) ,Нх, '1)
Ш {(х, у' z)dxdydz = \ dx ) dy {(х, у, z)dz. 113.23)
l' а '1' (х) ~!, (х, у)
Таким образом, при ВЫЧllслении тройного интеграла в случае простейшей
правильной области V Вначале интегрируют функцию {(х, у, г)
ПО одной из переменных (например, г) при условии, что оставшиеся
две переменные принимают любые постоянные значения в области
интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной
(например, у) при любом постоянном значении третьей переменной
в V и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (например,
х) в максимальном диапазоне ее изменения в V
Более сложные области интегрирования разбиваются на конечное
147

число правильных областей, и результаты вычислення по этнм областям
суммируются. В частности, если область ннтегрировання - прямоугольный
параллелепипед, задаваемый неравенствамн V = (а ~ х ~ Ь, с ~
~ у ~ d, р ~ z ~ q), то
z
Z='If(x,y}
у
Рис. 13.23
ь d q
\\\{(х, у, z)dxdydz = \ dx \ dy \ {(х, у, z)dz. (13.24)
v а р
Пример 1. Вычислить тройной интеграл 1= \\\(2Х + y)dxdydz, где
v
V ограничена поверхностями: у = х, у = О, х = 1, z = 1, z = 1 + х 2 + у2.
z
х
]) у=х
рис. 13.24
~ По заданным поверхностям строим область интегрирования
(рис. 13.24). В области V справедливы неравенства: O~x~ 1,
О ~ у ~ х, 1 ~ z ~ 1 + х 2 + у2. Тогда
148

1 Х I +х'+у'
1 = ~ dx ~ dy ~ (2х + y)dz =
о о 1
1 х I х
= ~dx~(2x+y)zP+x'+Y'dy= ~dx~(2x+Y)(X2+y2)dY=
о о о о
I
х
= ~ dx ~ (2х 3 + уЗ + 2ху 2 + х 2 у) dy =
о о
I
=~
G
Пусть функции
I
(41 4 41
= J 12 х dx = 60· ~
о
х = ер(и, и, ш)'}
у = 'i>(u, и, ш),
z = х(и, и, ш).
(13.25)
непрерывны, имеют непрерывные частные производные, якобнан
дх дх дх
ди ди дш
J= ду ду ду "",О
ди ди дш
дг дг дг
ди ди дш
и сохраняет знак в областн V' изменення переменных и, и, ш. Функцни
(13.25) отображают взаимно однозначно область V в область V'
Тогда верна формула
шf(х, у, z)dxdydz = Шf(ер(и, и, ш), 'i>(U, и, ш), Х(и, и, ш» IJI dudvdw.
v
r
В цилиндрнч.еских коордннатах р, ер, z (рис. 13.25) имеем:
х = р cos ер, у = р siп ер, z = г, }
О ~ ер ~ 211, О ~ Р < 00, - 00 < z < 00,
J = р, dxdydz = pdpdepdz.
(13.26)
в сфернческих координатах г, ер, 8 (г - радиус-вектор, ер - долгота,
8 - широта или склонение) (рис. 13.26) получаем:
х = r siп 8 cos ер, у = r siп 8 siп ер, z = r cos 8, }
О ~ r < 00, О ~ ер ~ 211, О ~ 8 ~ 11,
J = r i siп 8, dxdydz = г 2
sin 8drdepd8.
(13.27)
В обобщенных сферических
координатах
х = аг siп 8 cos ер, у = Ьг siп 8 siп ер, z = cr cos 8, }
J = аЬсг 2 sin 8, dxdydz = аЬсг 2 sin 8drdepd8. (13.28)
149

Соотношения (13.26) - (13.28) позволяют осуществлять в тройных
интегралах переход от . декартовых к цнлиндрическим, сферическим
или обобщенным Сфернчес){Им координатам. Формула (13,23) для вычисления
тройных интегралов в декартовых координатах справедлива
также в цилиндрических и сферических координатах.
z
/1(X,y,Z}
z
M/x,y,z)
z
у
у
х
Рис. 13.25
х
Рис. 13.26
Пример
грирования
+х + 2 у'.
2. Вычисmпь
V ограничена
f = \\\-Vx" + у" dxdYltZ, если область I111Т"­
v
поверхностями х" + у2 = 4, z = ], z = 2 +
~ По заданным поверхностям построим область V (рис. 13.27).
Перейдем в задан'ном интеграле к цилиндрической системе координат:
f = \\\ppdpd(pdZ =
V"
2.0 2+1" 2~ 2
= \ d(p \ f/dp \ dz = \ d

Пример 3. Вычислить 1 = Ш ..j(x" + у2 + 22)3 dxdyd2, если область
интегрирования V ограничена
\
сферой х' + у2 + 22 = 4 и плоскостью
у=О (y~ О).
~ Область V представляет собой полушар, расположенный правее
плоскости ОХ2 (у ~ О), т. е. СферичеL",~lе координаты Г,

7. Вычислить объем части шара х 2 + у2 + Z2 = 1, расположенной
внутри конуса Z2 = х 2 + у2. (Ответ: ~ п( 1 -
- f).)
Самостоятельная
работа
1. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
Ш f(x, у, z)dxdydz, если область V ограничена плоскоv
стями х=О, у=О, z=o, 2x+3y+4z= 12.
2. Вычислить ш-v х 2 + у2 dxdydz, если область V
v
ограничена поверхностями z = х 2 + у2, Z = 1. (Ответ:
4njI5.)
2. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
Ш f(x, у, z)dxdydz, если область V ограничена поверхноv
стями у = х, у = 2х, z = О, х + z = 2.
2. Вычислить Ш -v х 2 + Z2 dxdydz, если область V
ограничена
v'
поверхностями у = х + 2 z2, Z = 1. (Ответ:
4njI5.)
3. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
Ш f(x, у, z)dxdydz, если область V ограничена поверхноv
стями у = х 2 , Z = О, У + z = 4.
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
х + 2 у2 = 9, z= 1 х + У + z = 11. (Ответ: 90п.)
13.5. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Вычислеиие объемов тел. Объем v области V (объем тела) обычно
вычисляют по формуле (] 3.2]), в которой в тройном интеграле можно
переходить (если это удобно) к различным координатам (цилиндрическим,
сферическим и др.).
Пример 1. ,!3ыч~слить объем те,lа, ограниченного поверхностями
z = 1, z = 5 - х- - у .
~ По заданным уравнениям поверхностей в декартовых координатах
строим область V (рис. ] 3.28). Тогда в ци.~индрическоЙ системе
координат искомый объем
v =
ш pdpd

2" 2 5_,,'
V = \ dqJ \ pdp \ dz =
о о I
2
=2л~р(5-р2-I)dР=2П(2р2- ~4)1:=8n .....
о
Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
2 '1 2
;2 + ~2 + ;, = 1.
~ В обобщенных сфернческих координатах верны формулы (13.26),
и поэтому искомый объем
v = \\\аЬсг 2 sin 8drdqJd8,
V'
где V' - область, в которую отображается внутренность эллипсоида
при переходе к обобщенным сферическим координатам. Уравнение
поверхности, ограничивающей область V', в обобщенных сферических
координатах получается путем nодстановки в уравнение эллипсоида
значений х, у, z ИЗ формул (13.28):
( 2 sin' 8 СО 52 qJ + ( 2 5in 2 8 sin 2 qJ + ( 2 cos" О = 1,
т. е. r = 1. Следовательно,
2:. л
V = abC~ d

m = ш zdxdydz =
v
2:t 2 2-r
= \\\ zpdpd(pdz = \ d!p \ pdp \ d z =
V о о о
2
= 2л ~ р(2 - p)dp = 2л (р2 - ~) 1:' = ~ Л ...
U
Вычисление координат центра масс тела. Пусть в пространстве
R" задано некоторое тело V непрерывно распределенной объемной
плотностью б = б(х, у, z). Тогда координаты центра масс этого тела
определяются по формулам:.
\\\хб(х, у, z)du
v
\\\б(Х, у, z)dv
v
ус=
\\\ уб(х, у, z)dv
\'
\\\б(х, у,
v
z)dv
ш zб(х, у,
v
z)dv
\\\б(х, у,
v
z)dv
Величины
М Х = \\\хб(х, у, z)dv, М у = \\\уб(х, у, z)dv, М, = \\\zб(х, у, z)dv
v v v
называются статическими моментами тела относительно координатных
плоскостей Oyz, Oxz и Оху соответственно. Если б(х, у, z) = const,
координаты центра масс не зависят от плотности тела V.
Пример 4. Вычислить координаты центра масс однородного тела
V, ограниченного поверхностями х = у2 + Z2, Х = 4 .
• Строим тело, ограниченное данными поверхностями (рис. 13.30).
Область V ограиичена поверхностью параболоида, отсеченного плос-
Рис. 13.30
костью х = 4. Его проекция на плоскость Оу:! представляет собой
круг, ограниченный окружностью у2 + Z2 = 4 радиусом 2. ВЫЧIIСЛИМ
вначале массу тела в ЦlIлиндрических координатах, считая, что его
плотность б = 1:
154
2n 2 4
т = Ш dxdydz = \ dqJ \ pdp \ dx =
v о о 1"
2
= 2Л~Р(4 - p")dp = 2л( 2р" _ f~4)1: = 8л.
о

Тогда
2" 2 4
Х С = ~1 ~~~XdXdYdZ = ~ ~ d = \\\ х 2 6 (х, у, z)dxdydz,
V
1" = \\\у 2 6(Х, у, z)dxdydz.
v
I1ример 5. ВЫЧИС.пить моменты инерции однородного шара раДIlУсом
R и весом Р относительно его центра и диаметра.
4
, ~ Так как объем шара v = :3 лR 3 , то его постоянная плотность
1\ = 3Р j(4gлR 1 ). Поместим центр шара в начале координат, тогда его
поверхность будет определяться уравнением х' + у' + z" = R'. А40-
мент инерции относительно центра шара удобно вычислять в сферических
координатах:
10 = о \\\ (х' + у' + z')dxdydz = 6 Ш,4 sin Od,d

Так как вследствие однородностн и симметрии шара его момеНТhI
инерции относительно любого диаметра равны, вычислим момент инерции
относительно диаметра, лежащего, например, на оси 02:
Iz = 6 \\\(х 2 + y2)dxdydz =
V
= 6 Ш г 2 sin 2 8г 2 sin 8drdqJd8 =
V'
2"" R
= 6 \ dqJ \ sin 1 8d8 \ r 4 dr =
О О О
1t
R5r
= -62п 5) (1 - cos 2 8)d(cos 8) =
о
= - 62п -R 5 ( cos 8 - -1 cos з)1' 8 = -2Р2
- R _ ....
5 3 о 5 g
А3-13.6
1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z=-VХ2+у2, 2_Z=x 2 +y2. (Ответ:
4л/З_)
2. Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями
х + у + z = 1, х = О, У = О, z = О, если плотность тещ
б(х, у, z)= 1/(x+y+z+ 1)4. (Ответ: 1/48-)
3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндро!'.
х=у2 и плоскостями x+z= 1, z=O. (Ответ: 8/15_)
4. Вычислить объем тела, ограниченного сферами
х 2 + у2 + z2 = 1, х 2 + у2 + Z2 = 16 и конусом Z2 = х 2 + у2
(тела, лежащего внутри конуса) _ (Ответ: 2~J' (1 - f)-)
5. Найти координаты центра масс части однородного
шара радиусом R с центром в начале координат, расположенной
выше плоскости Оху_ (Ответ: с( О, О, ~ R)-)
6. Найти координаты центра масс однородного тела,
ограниченного плоскостями х + у + z = а, х = О, У = О,
z=O_ (Ответ: (+а, +а, +а)-)
7. Вычислить момент инерции относительно оси однородного
круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и
радиусом основания R- (ответ_- ;0 = R 2 -)
156

Самостоятельная работа
1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Z=X 2 , 3х+2у= 12, у=о, z=O. (Ответ: 32.)
2. Вычислить момент инерции относительно плоскости
Oyz тела, ограничеююго плоскостями х + 2у - z = 2,
х = о, у = о, z = о, если его пЛОТность 6(х, у, z) = х.
(Ответ: 4/15.)
3. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, ограниченного поверхностями 2z = 4 - х 2 - у2, Z =
= О. (Ответ: (о, О, 2/3).)
13.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 13
ИДЗ-13.1
1. Представить двойной интеграл ~~ f(x, y)dxdy в виде
D
повторного интеграла с внешним интегрированием по
х и внешним интегрированием по у, если область D задана
указанными линиями.
1.1. D: у ="';4 х 2 , У =--j3;, х;;::: О.
1.2. D: х 2 = 2у, 5х - 2у - 6 = О.
1.3. D: х="';8 у2, у;;::: О, у=х.
1.4. D: х;;::: о, у;;::: о, у

1.21. D: у ?;:. о, y~ 1, У=Х, Х= _";4 ц 2 •
1.22. D: x~o, у 2 1, у=4, У= -х.
1.23. D: у=3-х, У= -х.
1.24. D: х = о, х = - 2, у?;:. о, У = х 2 + 4.
2 2
1.25. D: х=о, у=о, У= 1, ( х-3) +у = 1.
-~
1.26. D: х= у9-у, У=Х, у ?;:. о.
1.27. D: х+2у-6=0, У=Х, у?;:. о.
1.28. D: У= -х, 3х+у=3, у=3.
1.29. D: х?;:.о, У= 1, У= -1, y=log 1/ 2 x.
1.30. D: х?;:.о, у ?;:. о, У= 1, х=";4 у2.
2. Вычислить ДВОЙНОЙ интеграл по области D, ограниченной
указанными линиями.
158
2.1. ~~(x2+y)dxdy, D: у=х 2 , х=у2.
lJ
2.2. ~~ xy 2 dxdy, D: у = х 2 , У = 2х.
D
2.3. ~~ (х + y)dxdy, D: у2 = Х, У = Х.
D
2.4. ~~x2ydxdy, D: у = 2 - х, У = х, х?;:. о.
D
2.5. ~~ (х 3 - 2y)dxdy, D:y = х 2 - 1, х?;:. о, у ~ о.
D
2.6. ~~(y - x)dxdy, D: у = х, у = х 2 .
[)
2.7. ~~(1 +y)dxdy, D: у2=х, 5у=х.
О
2.8. ~~(x + y)dxdy, D: у = х 2 - 1, у = _х 2 + 1.
D
2.9. ~~ х(у - l)dxdy; D: у = 5х, у = х, х = 3.
D
2.10. ~~ (х - 2)ydxdy; D: у = х, у = ~ х, х = 2.
D
2.11. ~~(x~y2)dxdy, D: у=х 2 , У== 1.
D
СС 2 . 3
2.12. j)x ydxdy, D. у=2х, у=о, Х= 1.
D
СС (2 2 2
2.13.)) х +у )dxdy, D: х=у, х= 1.
D
2.14. ~~xydxdy, D: у=х 3 , у=о, x~2.
D
2.15. ~\ (х + y)dxdy, D: у = х З , у = 8, у = о, х·= 3.
D

2.16. ~~ х(2х + y)dxdy, D: у = 1 - х 2 , У ~ О.
D
2.17. ~~ y(l-x)dxdy, D: уЗ=х, у=х.
D
2.18. ~~ хуЗdхdу, D: у2 = 1 - х, х ~ о.
D
2.19. ~~ х(у + 5)dxdy, D: у=х+5, х+у+5=О, x~ о.
D
2.20. ~~ (х - y)dxdy, D: у = х 2 - 1, У = 3.
D
2.21. ~~ (х+ l)y 2 dxdy, D: у=зх 2 , у=3.
[)
2.22. ~~ xy 2 dxdy, D: у = х, у = О, х = 1.
D
2.23. ~~ (х + 3 y)dxdy, D: х + у = 1, х+у=2, x~ 1, x~o.
[)
2.24. ~~ xy"dxdy, D: у = х 3 , У ~ О, У = ·tx.
D
2.25. ~~ (х + 3 3y)dxdy, D: х + у = 1, У = х 2 - 1, x~o.
D
2.26. ~~ xydxdy, D: у = -Гх, у = О, х + у = 2.
[)
2.27. ~~ ~: dxdy, D: у =х, ху = 1, у= 2.
D
2.28. ~~ у( 1 + x 2 )dxdy; D: у = х 3 , У = 3х.
D
2.29. ~~ у2(1 + 2x)dxdy, D: х = 2 - у2, Х = о.
D
2.30. ~~ eYdxdy, D: у = In х, у = О, х = 2.
D
3. Вычислить ДВОЙНОЙ интеграл, используя полярные
координаты.
3.1.
1 -vl-x'
(dx ( _ / 1 - < - у" d .
j j V 1 + Х· + y~ у
о
о
159

I
-vl-x'
3.4. ~ dx ~ Iп(l + х + 2 y2)dy.
о
о
2 -У4 -у'
3.5. ~ dy L -V I - х 2 - у2 dx.
-2 --V4-Y'
...j2
о
3.6. (dx ( -~ dy.
J J х 2 + у"
--У2 - -У2 - х '
о -VR"-x 2
3.7. ~ dx ~ cos-VX 2 + y 2 dy.
-R U
R -VR'-x'
3.8. ~ dx ~ tg(x 2 + y2)dy.
-R о
R
-VR'-x'
3.9. ~ dx --V)'-x' cos(x 2 + y2)dy.
2 -У4-Х'
3. 13. ~ dx ( d!j" .
о _~I+x+y
I
-vl-x'
3.14.
~ dx ~
dy
о
о
R о _ г;-:-:;
3.15. (dx L sinyx 2 +y" dy.
J - Г:;-:--?+ 2
-R --VR'-x' -ух- т- у-
R
-VR'-x'
3.16. (dx ( _ dy .
~ -,rb -У х2 + у2 COS 2 -YX 2 + у2
160

R
о
3.17. (dx ( dy .
) J,_, -Vx' + у2 sin'-Vx' + у2
-R --.)R-x
2 -.)4-х'
3.18. (dx ( ху dy.
) ~-fFtY2
о
3.19.
dy
-R о
3 О
3.20. (dx Ь ,х у 2 dy.
) х- +у
-3 - 9-х'
о
о
3.21. JR
dx _-.))'_X,COS(X 2 + y')dy.
3.22.
о
-.)R'-x'
~ dx ~ sin(x 2 + y2)dy.
-R о
1 -.)I-x'
3.23. ~ dx ~ -V I + х 2 + y 2 dy.
-1 о
2 -.)4-х'
3.24. ~ dx ~ ~Х2+у2е

4. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной
заданными линиями.
4.1. D: у2=4х, х+у=3, у;;::'О. (Ответ: 10/3.)
4.2. D: у=бх 2 , х+у=2, х;;::'О. (Ответ: 5/8.)
4.3. D: у2 = Х + 2, х = 2. (Ответ: 32/3.)
4.4. D: х= _2у 2, х= 1_3y 2, x~O, у;;::'О. (Ответ:
Iб/3.)
4.5. D: у = 8/(х 2 + 4), х 2 = 4у. (Ответ: 2л - 4/3.)
4.6. D: y=x~+ 1, х+у=3. (Ответ: 9/2.)
4.7. D: у2=4х, х 2 =4у. (Ответ: Iб/3.)
4.8. D: y=cosx, y~x+ 1, у;;::'О. (Ответ: 3/2.)
4.9. D: X=-j4- y2, у=..;з;, х;;::'О. (Ответ: 2л-
--уЗ/б.)
4.10. D: у=х 2 +2,х;;::'0,х=2,у=х. (Ответ: 14/3.)
4.11. D: у=4х 2 , 9у=х 2 , y~2. (Ответ: 20-[2/з.)
4.12. D: у=х 2 , у= -х. (Ответ: I/б.)
2 3 2
4.13. D: х=у, Х= -ту + 1. (Ответ: 8/3.)
4.14. D: y=.j2 х 2 , у=х 2 . (Ответ: л/2+ 1/3.)
4.15. D: у=х 2 +4х, у=х+4. (Ответ: 125/б.)
4.16. D: 2у=..{х, х+у=5, х;;::'О. (Ответ: 28/3.)
4.17. D: у=2\ у=2х-х 2 , х=2, х=о. (ответ:
3 4 )
In2 -з·
4.J8. D: у= -2х 2 +2, у;;::' -б. (Ответ: б4/3.)
4.19. D: у2 = 4х, х = 8/(у2 + 4). (Ответ: 2л - 4/3.)
2 о
4.20. D: у=4-х, y=x~-2x. (Ответ: 9.)
4.21. D: х=у2+ 1, х+у=3. (Ответ: 9/2.)
4.22. D: х 2 = 3у, у2 = Эх. (Ответ: 3.)
4.23. D: х = cos у, х ~ у + 1, х;;::' О. (Ответ: 1/2.)
4.24. D: х=4- у 2, х-у+2=0. (Ответ: 125/б.)
4.25. D: х=у2, x=-j2 у2. (Ответ: л/2+ 1/3.)
2 2 I
4.26. D: Х
4 + 11- = 1, У ~ 2 х, у;;::, О. (Ответ: л/4.)
4.27. D: у 2 =4-х, у=х+2, у=2, У= -2. (Ответ:
5б/3.)
162

о 3 о
4.28. D: y=x~, Y=TX~+ 1. (Ответ: 8/3.)
4.29. D: х = у2, у2 = 4 - х. (Ответ: 16-/2/з.)
4.30. D: ху = 1, х 2 = у, У = 2, х = о. (Ответ: 2/3 +
+ 'П 2.)
5. С помощью ДВОЙНЫХ интегралов вычислить в полярных
координатах площадь плоской фигуры, ограниченной
указанными линиями.
5.26. Р = 4( 1 + cos qJ).
5.28. р2 = а 2 COS 3qJ.
5.30. Р = а siп 3qJ.
6. Вычислить объем тела, ограниченного заданными
поверхностями.
6.1. Z=X 2 +y2, х+у= 1, x~o, y~o, z~o. (ОТвет:
1/6.)
6.2. z = 2 - (х 2 + у2), Х + 2у = 1, х ~ о, у ~ о, z ~ о.
(Ответ: 53/96.)
6.3. z=x 2 , х-2у+2=0, х+у-7=0, z~o. (ОТвет:
32.)
6.4. z = 2x~ + 3if2, У = х 2 , У = х, z ~ о. (Ответ: 29/140.).
6.5. z = 2х + у , у ~ х, у = 3х, х = 2, z ~ о. (Ответ.
152/3.)
163

6.6. Z=X, у=4, x=-V25-y2, Х?О, у?О, Z?O.
(Ответ: 118/3.)
6.7. y=-Vx, у=х, x+y+z=2, z~O. (Ответ:
11/60.)
6.8. у= 1-х 2 , x+y+z=3, y~O, z~O. (Ответ:
104/30.)
6.9. z=2x 2 +y2, х+у=4, x~O, y~O, z~O. (ответ:
64.) .
6.10. z=4-x 2 , х 2 +у2=4, x~O, y~O, z~O. (ответ:
3л.)
6.11. 2х+3у-12=0, 2Z=y2, x~O, y~O, z~O.
(Ответ: 16.)
6.12. z= 10+х 2 +2у 2, у=х, х= 1, y~O, z~o.
(Ответ: 65/12.)
6.13. z = х 2 ,
(Ответ: 4.)
Х + У = 6, у = 2х, х? о, У? о, z? о.
6.14. z=Зх 2 +2у2+1, y=x 2 _t, у=l, Z?o. (ответ:
264-/2/35.)
6.15. 3y=-Vx, y~x, x+y+z= 10, у= 1, z=O.
(Ответ: 303/20.)
6.16. у2 = 1 - х, х + у + z = 1, х = о, z = о. (Ответ:
49/60.)
6.17. у=х 2 , х=у2, z=3x+2y+6, z=o. (Ответ:
11/4.)
6.18. х 2 = 1-у, x+y+z=3, y~O, z~o. (Ответ:
52/15.)
6.19. х=у2, Х= 1, x+y+z=4, z=o. (Ответ:
68/15.)
6.20. z=2x 2 +y2, х+у= 1, x~O, y~O, z~o. (ответ:
1/4.)
6.21. У = х 2 , У = 4, z = 2х + 5у + 10, z ~ о. (Ответ:
704/3.)
6.22. у=2х, x+y+z=2, x~O, z~o. (Ответ: 4/9.)
6.23. у= 1-z 2 , у=х,'у= -х, y~O, Z?o. (Ответ:
8/15.)
6.24. х 2 +у2=4у, z2=4-y, z~o. (Ответ: 256/15.)
6.25. х 2 +у 2 = 1 ,z= 2 -х 2 -у, 2 zr· ---о (о .3)
2 л.
6.26. у = х 2 , Z = о, у + z = 2. (Ответ: ~~-f2)
6.27. Z2 = 4 - Х, х 2 +
у2 = 4х, z ~ о. (Ответ: 256/15.)

6.28. 2=х 2 +2 у 2, У=Х, х;;;:,о, У= 1,2;;;:'0. (Ответ:
7/12.)
6.29. 2 = у2, Х +у = 1, х;;;:, о, 2;;;:' о. (Ответ: 1/12.)
6.30. у2 = Х, Х = 3, 2 = Х, 2;;;:' о. (Ответ: 36-Vз/5.)
Решение типового
варианта
1. Представить двойной интеграл ~~ (х, y)dxdy в виде
D
повторного интеграла с внешним интегрированием по х
и внешним интегрированием по у, если область D ограничена
линиями х =-vy, х =-,J 2 + у, х = о, х = 2.
~ Область D изображена на рис. 13.31 и ограничена
дугами парабол х 2 = у + 2, х 2 = У и прямыми х = о, х = 2.
СледоватеЛqНО,
2 x~
~~ {(х, y)dxdy = ~ dx ~ {(х, y)dy =
D U х'-2
О ";у+2 2 -Уу+2 4 ~
- dy ~ {(х, y)dx + ~ dy j; {(х, y)dx + ~ dy j/(x, y)dx."'4
J2
2. Вычислить двойной интеграл ~~ (х - 2y)dxdy по об­
D
ласти D, ограниченной линиями х = о, у = 7 - х, У =
1
="2 x + l .
~ Область D изображена на рис. 13.32. Если выбрать
внутреннее интегрирование по у, а внешнее - по х, то
у
4f------.
х
Рис. 13.31 Рис. 13.32
165

двойной интеграл по этой области выразится одним повторным
интегралом:
4 7-х
~~ (х - 2y)dxdy = ~ dx ~ (х - 2y)dy =
D О 1
"2 х + 1
4 1
= ~ (Xy _ y2 )17\-X dx= ~ (7х-х 2 -49+ 14х-х 2 -
-+
о "2 Х +\ О
4
х 2 + + х 2 + 1) dx = ~ ( - ~ х 2 + 21 х - 48) dx =
о
= ( - ~ х З + 221 х 2 - 48х) 1: = - 72. ...
3. Вычислить двойной интеграл
о
-Гн'-=~'
1 = (dx ( Iп (1 + ~) dy.
J J .jx" + у2
-R О
используя полярные координаты. Найти его численное
значение при R = 1.
~ Область интегрирования D представляет собой четверть
круга, расположенного во втором квадранте (рис.
13.33) .
х
р 11 с.
IЗ.ЗЗ
Перейдем к полярным координатам х = Р COS qJ, у =
= р sin qJ, х 2 + у2 = Р , где О ~ Р ~ R; лj2 ~ qJ ~ л. Тогда
166
л
R
1= ~ dqJ~ IП(lр+Р) pdqJ=
л/2 о
= \и In(1 + р), du = dpj(1 + р), I =
dv-dp, v -р,

= р I
R
~ (Р 'П (1 + р) I R - (т-+
Р dp) =
л/2 о) р
II
= ~(Rln(1 +R)_pIR +ln(1 +p)IR)=
2 11 11
=; (Rln(1 +R)-R+ln(1 +R)).
При R = 1 получаем
1 = ~ (21п 2 - 1) ...
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = x~ - 3х и 3х + У - 4 = о.
~ Данная плоская фигура ограничена снизу параболой
у = х 2 - 3х, сверху прямой 3х + у - 4 = О (рис.
13.34). Следовательно,
~ 4-:\х 2
S = ~~ dxdy = ~ dx ~ dy = ) (4 - 3х - x~ + 3x)dx =
D -'2 г-:3х -'2
=(4x_~')12 =32 ...
3 -2 3
5. С помощью двойного интеграла вычислить в полярных
координатах площадь фигуры, ограниченной линией
(х 2 + y2)~ = 2у:!.
~ Уравнение линии в полярных координатах имеет
вид р = 2 siп З qJ. Она изображена вместе с ограниченной
ею областью D на рис. 13.35. Полюс О лежит на границе
у
10
х
р=2siп"J'I
р=25/П'f
х
Рис. 13.34 Рис. 13.35
167

области D, и поэтому, согласно формуле (13.12) (случай
3; см. также пример 2 из § 13.2) имеем:
.тт 2 siп' tp л
S = ~~ pdpdqJ = ~ dqJ ~ pdp = ~ dqJ i21:5ifJ;~ =
D О О О
" "
= 2 ~ siп б qJdqJ = -{- ~ (1 - cos 2qJ)З dqJ =
о
о
л
= -{- ~ (1 - 3 cos 2qJ + 3 cos 2 2qJ - соs З 2qJ)dqJ =
о
= -1 ( л - -3 siп 2qJ 1" + - 3 ~ (1 + cos 4qJ)dqJ -
4 2 о 2
"
- ~ cos 2qJ(l - siп 2 2qJ)dqJ = ~ л .....
о
л
о
6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z=~, у=х, у= -х, z=O.
z
z=v1-y
у
Рис. 13.36
~ Данное тело ограничено сверху параболичеСКИ~J
ЦИЛИНДРОМ z =~ (рис. 13.36), поэтому
168
v=))~dxdy=2) dy)~dx=
D о О
I У I
=2)~xl dy=2)y~dy= I~=t,
о о о
I
У

у= 1 _t 2 , dy= -2tdt, t= 1 при у=О и t=O
I
О
при У = 1 I = 2~ (I - t 2 )t(-2tdt) = -4~ (t2 - t 4 )dt =
о
__ (,,1 _15)10- 8
- 4- - -- ....
3 5 I 15 .
I
ИДЗ-13.2
1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
Ш f(x, у, z)dxdydz, если область V ограничена
v
указанными поверхностями. Начертить область интегрирования.
1.1. V: х = 2, У = 4х, У = з';-;'; z ~ О, z = 4.
1.2. V: х= 1; у=3х, y~O, z~O, z=2(X 2 +y2).
1.3. V: Х= 1, у=4х, z~O, z=-fЗY.
1.4. V: х = 3, у = х, у ~ О, z ~ О, z = зх 2 + у2.
1.5. V: у = 2х, У = 2, z ~ О, z = 2';-;'.
1.6. V: х=о, у=х, у=5, z~O, z=2x 2 +y2.
1.7. V: x~O, у=2х, у= 1, z~O, x+y+z=3.
1.8. V: x~ О, у = 3х, у= 3, z~ О, Х= з~.
1.9. V: х=5, y=xj5, y~O, z~O, z=x 2 +5y 2.
1.10. V: х=2, у=4х, z~O, у=2--{;.
1.11. V: х=3, у=+х, y~O, z~O, z=+(X 2 +y2).
1.12. V: х=4, y=xj4, z~O, Z=4y2.
1.13. V: x~O, у=3х, у=3, z~O, z=2(X 2 +y2).
1.14. V: x~O, у=4х, у=8, z~O, z=3x 2 +y2.
1.15. V: x~O, у=5х, y=IO, z~O, Z=X 2 +y2.
1.16. V: у=х, у=-х, у=2, z~O, z=3(X2ty2).
1.17. V: Х= 1, у=2х, у=3х, z~O, z=2x 2 +y.
1.18. V: У=Х, У= -2х, у= 1, z~O z=x 2 +4y2.
1.19. V: x~O, y~O, z~O, х+у= 1, z=3x 2 +2y 2.
1.20. V: x~O, y~O, z~O, 3х+2у=6, Z=X 2 +y2.
1.21. V: x~0,y~0,z~0,x+y=2,z=4-x2_y2.
1.22. V: x~O, y~O, z~O, х+у=3, z=9_X 2 _ y 2.
1.23. V: x~O, y~O, z~O, 3х+4у= 12, z=6-
_х2 _ у2.
1.24. V: x~O, z~O, У=Х, у=3, z= 18_х 2 _ у 2.
lfi9

1.25. V: х=2, y~O, z~O, у=3х, Z=4(x 2 +;/). ?
1.26. V: x~O, у=2х, у=4, z~O, z=IO-х--у-.
1.27. V: х=3, y~O, z~O, у=2х, Z=4-{Y.
1.28. V: х ~ О, У ~ О, z ~ О, 2х + 3у = 6, z = 3 +
+х;! + y~.
1.29. V: x~O, y~O, z~O, х+у=4, Z= 16-
;! ')
-х -у-.
1.30. V: х ~ О, У ~ О, z ~ О, 5х + У = 5, z = х 2 + у2.
2. Вычислить данные тройные интегралы.
2.1. Ш (2x~ + 3у + z)dxdydz, V: 2::::;;; х::::;;; 3, -1::::;;; у::::;;;2,
v
о::::;;; z::::;;; 4.
2.2. Ш x~yzdxdydz, V: - 1 ::::;;; х ::::;;; 2, о::::;;; у::::;;; 3, 2::::;;;
l/
~z::::;;;3.
2.3. Ш (х + у + 4z 2 )dxdydz, V: - 1 ::::;;; х ::::;;; 1, о::::;;; у::::;;; 2,
l/
-1 ::::;;;z::::;;; 1.
2.4. Ш (х 2 + y~ + z2)dxdydz; V: о::::;;; х ::::;;; 3, - 1 ::::;;; у::::;;; 2,
v
0~z::::;;;2.
2.5. Ш 2 X y2zdxdydz, V: -1::::;;; х::::;;; 3, о::::;;; у::::;;; 2, -2::::;;;
v
~z::::;;;5.
2.6. Ш (х + у + z)dxdydz,
v
V: о::::;;; х ::::;;; 1, - 1 ::::;;; у::::;;; О,
1 ~z~2.
2.7. ~\\(2х-у'L-z)dхdуdz, и: 1 ::::;;;х::::;;;5, 0::::;;;у::::;;;2,
v
-1 ::::;;;z::::;;;o.
2.8. Ш 2xy2zdxdydz, V: о::::;;; х::::;;; 3, -2 ~ у::::;;; О, 1::::;;;
1/
~z::::;;;2.
2.9. ~\~ 5xyz 2 dxdydz,
v
V: - 1 ::::;;; х ::::;;; О, 2::::;;; у::::;;; 3, 1 ~
::::;;;z~2.
2.10. ~~\(x2+2y2_Z)dxdydz,
v
V: о::::;;;х::::;;; 1, 0::::;;;у::::;;;3,
-1 ::::;;;z::::;;;2.
2.11. \\) (х + 2yz)dxdydz,
v
о::::;;; z::::;;; 2.
V: -2::::;;; х::::;;; О, о::::;;; у::::;;; 1,
170

2.12. ~~~ (х + yz2)dxdydz, V: о::::;;; х::::;;; 1,
v
-1 ::::;;;z::::;;;3.
2.13. ~~~(xy + 3z)dxdydz,
v
V: -1 ::::;;; х::::;;; 1, о::::;;; у::::;;; 1,
l

2.26. Ш (х + уг) dxdydz, и: О ~ х ~ 1, -1 ~ у ~ 4, o~
v
~г~2.
2.27. ~~~(X+y2_Z2)dxdydz, и: -2~x~O, 1 ~y~2,
v
O~г~5.
2.28. Ш (х + у + г2) dxdydz, и:
v
- 1 ~ х ~ О, О ~ У ~ 1,
2~г~3.
2.29. Ш(х+у2-2z)dхdуdz,v: 1 ~x~2, -2~y~3,
v
O~z~l.
2.30. Ш (х -
v
у - г) dxdydz, и: О ~ х ~ 3, О ~ у ~ 1,
-2~г~ 1.
3. Вычислить тройной интеграл с помощью цилиндричеСких
или сферических координат.
3.1. Ш (х 2 + у2 + z2)dxdydz, и: х 2 + y~ + г2 = 4, х> О,
v
y~O, г~O. (Ответ: 16лj5.)
3.2. Ш У',/х 2 + у2 dxdydz, и: г> О, z = 2, у> +х, г2 =
v
= 4(х 2 + у2). (Ответ: ~jIО.)
сп 2 2 2
3.3. Ш z dxdydz, и: 1 ~ х + у ~ 36, у> х, х> О,
v
z ~ о. (Ответ: 1555лjI2.)
rп . 2 2 2 2 ~ 2
3.4. Ш ydxdydz, и. х + у + z = 32, у =х + z , у> о.
v
(Ответ:
128л.)
3.5. Ш xdxdydz, и: х 2 + у2 + г2 = 8, х 2 = у2 + г2, х> о.
v
(Ответ:
8л.)
3.6. ~~~ ydxdydz, и: 4 ~ х 2 + у2 + г2 ~ 16, у ~ ~х, у> О,
v
z ~ о. (Ответ: 15лj2.)
3.7. ~~~ ydxdydz, и: z =-V8 - х 2 - у2, Z =-У х 2 + у2,
V
У ~ о. (Ответ: 8(лj2 - 1).)
172

+ у2 + Z2 ~ 36. ( Ответ: ~~ (2л + 3-Vз)-)
~~~
y2zdxdydz О
3.9. , и: у ~ ,
-
у ~ v
(:;3
иХ,
\' -J(x2 + у2)'\
z= 3. (Ответ: 3( 4л - 3-у3) /20.)
))) *2 + у2 + Z2)'
V
3.10. ((( x 2 dxdydz , и: х 2 + у2 + Z2 = 16, z ~ О.
(Ответ:
16л/3.)
3.11. ((( xzdxdydz, и: z=2(X 2 +y2), y~O, y~~x,
))) ~Х 2 +у2
V
-Уз
z= 18. (Ответ: 81.)
3.12. ((( xydxdydz , и:
))) -J(x2 + у2)'
V
z = х + 2 у2, У ~ О, У ~ х, z = 4.
(Ответ: 4/3.)
3.13. ((( zdxdydz, и:
))) -Jx2 + у2
х 2 +у2=4У, y+z=4, z~O.
V
(Ответ: 1472/45.)
3.14. ((( ydxdydz, и: х 2 + у2 = 2х, х + z = 2, у,? О,
))) -Jx2 + у2
V
z> О. (Ответ: 4/5.)
3.15. ((( Xd~dYdZ
))) -Jx- + у2
, и: х + 2 у2 = 16у, У + z = 16, х ~ О,
V
z> О. (Ответ: 2048/5.)
3.16. ~~~ -v x~ + y 2 dxdydz, и: х 2 + у2 = 2х, х + z = 2,
v
z> О. (Ответ: 128/45.)
3.17. ~~~ xydxdydz, и: 2 ~ х 2 + у2 + Z2 ~ 8, Z2 = х 2 + у2,
V
х>о, y~O, z;::o. (Ответ:
31(4-Y2-5)/15.)
17З

~~~
ydxdydz • 2 + 2 2 2 + 2 4 ---- О
3 .8. 1
_г:;---:--;' и. х у = у, х у = у, Х-;:::::- ,
V
-ух2 + у2
Z ~ О, z = 6. (Ответ: 24.)
з.19.)П.J х 2 + у2 + z 2 dxdydz, и: х 2 + y~ + г2 = 36, у ~
v
~ О, z ~ О, У ~ -х. (Ответ: 81л.)
. 3.20. (се XdXdYd~ , и: х 2 + у2 = 2х, х 2 + у2 = 4х, z ~ о,
Ч) -УХ' +у2
z = 4, у ~ О, У ~ х. (Ответ: 10-{2.)
3.21. ссс zdxdydz ,и: 1 ~ х 2 + у2 + Z2 ~ 9, у ~ О,
))) -Ух2 + у' + г2
v
У ~_I- Х, Z ~ О. (Ответ: 13л/8.)
-гз
з.22.~~~.Jх2+у2dХdуdz, и: х 2 -2х+у2=0, y~O,
v
z~O, х+г=2. (Ответ: 64/45.)
3.23. ~~~X2dXdYdZ, и: 1 ~ х 2 + у2 + г2 ~ 16, у ~ О,
v
y~x, г~O. (Ответ: 341(л+2)/20.)
3.24. (се dxdydz ,
))) -Ух2 +у2
и: х 2 + у2 = 4у, у + z = 4, z ~ О.
V
(Ответ: 64/3.)
3.25. ссс ydxdydz .. , и: 4 ~ х 2 + y~ + Z2 ~ 16, у ~
J)) -Ух2 + у2 + г2
v
~.fix, у ~ О, Z ~ О. (Ответ: 7л/3.j
3.26. )~~ z.J х 2 + y 2 dxdydz, и: х 2 + у2 = 2х, у ~ О, z ~ О,
v
г=3. (Ответ: 8.)
3.27. ссс xdxdydz , и: 1 ~ х 2 + у2 + Z2 ~ 4, х ~ О,
))) -Ух2 + у2 + г2
v
У ~ х, у ~ О, Z ~ О. (Ответ: 7-{2л/24.)
174

(П 2 2 2
3.28. ))) xdxdydz, и: х = 2(у + z ), х = 4, х ~ О.
(Ответ:
v
32л.)
3.29. (С( xdxd!Jdz , и: 1 ~ х 2 + у2 + Z2 ~ 9, у ~ х,
))) -VX2 + у2 + г2
v
У ~ О, z ~ О. (Ответ: 1 з-{iЛ/2.)
з.30.1)) xdxdydz, и: z = -У18 - х 2 - у2, Z =-v х 2 + у2,
v
х ~ О. (Ответ: 821 (; - 1)-)
4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела,
ограниченного указанными поверхностями. Сделать
чертеж.
4.1. z2=4-x, х 2 +у2=4х. (Ответ: 512/15.)
4.2. z = 4 - у2, х 2 + у2 = 4, z> О. (Ответ: 12л.)
4.3. х 2 + у2 = 1, z = 2 - х - у, z> О. (Ответ: 2л.)
4.4. z = у2, Х ~ О, z ~ О, х + у = 2. (Ответ: 4/3.)
4.5. у>О, z~O, z=x, x=-V9 у2, х=.уГ-2-5 -у- 2 •
(Ответ: 98/3.)
4.6. х + 2 у2 = 4, z = 4 - х - у, z ~ О. (Ответ: 16л.)
4.7. z>O, z=x 2 , х-2у+2=0, х+у=7. (Ответ:
32.)
4.8. х ~ О, z ~ О, z = у, х = 4, У =-V25-x2. (Ответ:
118/3.)
4.9. z ~ О, z = 4 - х, х = 2..уу, У = 2';-;. (Ответ:
176/15.)
4.10. y~O, Z>O, 2х-у=0, х+у=9, z=x 2 . (Ответ:
1053/2.)
4.11. у>О, z~O, х=4, у=2х, z=x 2 . (Ответ: 128.)
4.12. х> О, z ~ О, У = 2х, У = 3, z =..уу. (Ответ:
rл[з/5.)
4.13. у>О, Z>O, х=3, у=2х, Z=y2. (Ответ: 54.)
4.14. Z> О, у2 = 2 - х, Z = 3х. (Ответ: 32-У2/5.)
4.15. z>O, y=-V9 х 2 , z=2y. (Ответ: 36.)
4.16. х>О, y~O, Z>O, х+у=2, Z=X 2 +y2.
(Ответ: 8/3.)
175

000 4.21.
4.17. z~O, х 2 +у2=9, z=5-x-y (Ответ: 45л.)
4.18. z~O, z=x, x=-J4 у2. (Ответ: 16/3.)
2
4.19. y~O, z~O, х+у=2, z=x. (Ответ: 4/3.)
4.20. У ~ О, z ~ О, У = 4, z = х, х =-J25-y 2. (Ответ:
118/3.)
222
z~O, х +у =9, z=y. (Ответ: 81/8л.)
4.22. х ~ О, z ~ О, У ~ х, z = 1 -
~
х -
2
у. (Ответ:
л/16.)
4.23. z~O, х 2 +у2=4, Z=X2ty2. (Ответ: 8л.)
4.24. z~O, у=2, У=Х, z=x. (Ответ: 4/3.)
2 2 •
4.25. z~O, y+z=2, х +у =4. (Ответ. 8л.)
4.26. у ~ О, z ~ О, х - у = О, 2х + у = 2, 4z = у2.
(Ответ: 1/162.)
4.27. x~O, y~O, z~O, 2х+у=2, Z=y2. (Ответ:
2/3.)
4.28. z~O, х=у2, х=2у 2+ 1, z= 1 _у2. (Ответ:
8/5.)
4.29. х ~ О, У ~ О, z ~ О, У = 3 - х, z = 9 -
2
х. (Ответ:
135/4.)
4.30. х ~ О, z ~ О, х + у = 4, z = 4-{У. (Ответ: 512/15.)
Решение типового варианта
1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
Ш f(x, у, z)dxdydz, если область V ограничена поv
верхностями х = 1, У = х, z = О, z = у2. Начертить область
интегрирования.
~ Согласно формуле (13.23), имеем:
I х y~
Ш f(x, у, z) dxdydz = ~ dx ~ dy ~ f(x, у, z)dz.
v u u u
Область интегрирования изображена на рис. 13.37 .....
2. Вычислить Ш (3х + 2у - z3)dxdydz, если V: О ~ х ~ 1,
\'
и~y~2, 1 ~z~3.
~ Для данной области V (рис. 13.38) на основании
формулы (13.24) получаем
123
~~ (3х + 2у - zЗ)dхdуdz = ~ dx ~ dy ~ (3х + 2у - z3)dz =
V • Q I
17бi

, 2 3' 2
= ~ dx ~ (3xZ + 2yz - :4) 1, dy = ~ dx ~ (6х + 4у - 20)dy =
(1 U (1 (1
, ,
= ~ (6ху + 2у 2 - 20Y)I~dx = ~ (12x - 32)dx =
о (1
= (6х 2 - 32x)l~ = -26. ~
z
f
z
х
Рис. 13.37 Рис. 13.38
х
3. Вычислить тройной интеграл ССС 2xZdx~Ydz, по об-
))) х + у - R"
v
ласти, расположенной в первом октанте и ограниченной
2 fl' 2 '
плоскостями Х = О, У = О, z = h и конусом z = Jf2 (х + y~),
с помощью цилиндрических координат.
~ На рис. 13.39 изображена область интеГРИроваНII:1
V и ее проекция D на плоскость Оху.
Перейдя к цилиндрическим координатам р, ЧJ, z по
формулам ( 13.26), в которых для данной облаС;':l
О ~ z ~ h, О ~ qJ ~ л/2, о::::;;: р ::::;;: R, получим:
Z2 = h 2 p2/R 2 , Z = hp/R,
ССС xzdxdydz = ссс ре cos q;zdq;dpdz =
))) х' + у2 - R' ))) р' - R'
v
v
л/2 R h
(12
dp ~
р' - R"
(1 (1 /11'/R
= ~ cos qJd

,,/2 R
1 r r р2 (2 11" 2) _
="2 J COS qJdqJJ р2 _ R2 h -? р dpо
о
л/2 R /2 R
Л
12 I 31
2R- о 3 о
~ ~
()
COS qJdqJ p 2 dp = - _1_, sin qJ • ~ =
z
z
у
х
х
Рис. 13.39 Рис. 13.40
4. С ПОМОЩЬЮ тройного интеграла вычислить объем
тела, ограниченного указанными поверхностями: х = о,
у=о, z=O, х+у=2, 2Z=X 2 +y2.
~ Уравнение 2z = х 2 + у2 определяет параболоид
вращения, остальные поверхности - плоскости. Искомое
тело изображено на рис. 13.40. Его объем v вычисляем
в соответствии с формулами (13.21) и (13.23):
118
2 2-х (х'+у')/2
V = Ш dxdydz = ~ dx ~ dy ~ dz =
v о о о
2 2-х (х'+у')/2 2 2-х
= ~ dx ~ zlo dy=+ ~ dx ~ (X 2 +y2)dy=
+ +
о о о о
2 2
=+~(x2y+ ~З)I:-Хdх=+~(х2(2_Х)+
о
о
2
(2-Х)3) dx = + ~ (2х 2 _х 3 + +
о
(2-Х)3)dХ =
I (2 3 х' I 4) 12 4
="2 з х -4 -12(2-х) 0=3'

ИДЗ-13.3
1. Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной
заданными линиями, если поверхностная плотность
в каждой ее точке ft = ~t(X, у).
1.1. D: у2=х, х=3, ft=X. (Ответ: 36-/3/5.)
1.2: D: х=О, у=О, х+у= 1, ft=x 2 . (Ответ: 1/12.)
1.3. D: х=О, у=О, 2х+3у=6, ft=y2/2. (Ответ: 1.)
1.4. D: х 2 + у2 = 4х, ft = 4 - х. (Ответ: 8л.)
1.5. D: х=О,у= l,y=x,ft=x 2 +2y 2. (Ответ: 7/12.)
1.6. D: х 2 + у = 1, ft = 2 - Х - у. (Ответ: 2л.)
1.7. D: х 2 + у2 = 4у, ft =.) 4 у. (Ответ: 256/15.)
1.8. D: у=х, у= -Х, у= 1, ft=~. (Ответ:
8/15.)
1.9. D: Х = О, У = 2х, Х + У = 2, ft = 2 - х - у. (Ответ:
4/9.)
1.10. D: Х= 1, х=у2, ft=4-x-y. (Ответ: 68/15.)
1.11. D: у=О, х 2 = I-у, ft=3-X-Y. (Ответ:
14/5.)
1.12. D: y=X 2 ,X=y2,ft=3x+2y+6. (Ответ: 11/4.)
1.13. D: у = х 2 , У = 4, ft =2х+5у+ 10. (Ответ: 752/3.)
1.14. D: х=о, у=О, х+у= 1, ft=2x 2 +y2. (ОТвет:
1/4.)
1.15. D: х=о, у2= I-x, ft=2-x-y. (Ответ:
32/15.)
1.16. D: у=Ух, У=Х, ft=2-x-y. (Ответ: 51/60.)
2 2 2
1.17. D: у = х - 1, У = 1, ft = 3х + 2у + 1. ( ОТвет:
264-{i/35.)
1.18. D: Х= 1, у=О, У=Х, ft=x 2 +2y2+ 10. (ОТвет:
65/12.)
1.19. D: у=О, у=2х, xt y =6, ft=x 2 . (Ответ: 104.)
1.20. D: x~O, y~O, х +у2=4, ft=4-x 2 . (ОТвет:
3л.)
1.21. D: у=х 2 , у=2, ft=2-y. (Ответ: 32-{i/15.)
1.22. D: х=о, у=О,
2 2
х+у= 1, ft=x +у. (Ответ:
1/6.)
1.23. D: у=х 2 + 1, х+у=3,
вет: 351/6.)
ft=4X+5y+2. (ОТ­
1.24. D: y=x 2 _1, х+у= 1,
вет: 45.)
ft=2x+5y+8. (ОТ­
179

1.25. D: х = О,
(Ответ: 118/3.)
1.26. D: х = 2,
152/3.)
1.27. D: у = х,
1.28. D: х = О,
(Ответ: 32/3.)
1.29. D: х = О,
(Ответ: 43/96.)
1.30. D: х = О,
8/3.)
у = х, у = 3х, ft = 2х 2 + у2. (Ответ:
у = х 2 , ft = 2х + 3у. (Ответ: 11/30)
х + 2у + 2 = О, х + у = 1, ft = х .
у = О, х + 2у = 1, ft = 2 - (х 2 + у2).
У = О, х + у = 2, ft = х 2 + у2. (Ответ:
2. Вычислить статический момент однородной пластины
D, ограниченной данными линиями, относительно указанной
оси, использовав полярные координаты.
'НО
2.1. D: х 2 +у2-2ау=0, x-y~O, Ох.
2.2. D: х 2 + у2 - 2ах = О, х + у ~ О, Оу.
2.3. D: х 2 + у2 + 2ау = О, х - у ~ О, Ох.
2.4. D: x~ + у2 + 2ах = О, х + у? о, Ох.
2.5. D: х 2 + у2 + 2ах ~ О, х 2 + У + 2ау ~ О, х ~ О, Ох.
2.6. D: х 2 + у2 - 2ау ~ О, х 2 + y~ + 2ах ~ О, у ~ О, Оу.
2.7. D: х 2 + у2 - 2ау ~ О, х 2 + у2 - 2ах ~ О, х ~ О, Ох.
2.8. D: х 2 + у2 - 2ах ~ О, х 2 + у2 + 2ау ~ О, у ~ О, Оу.
2.9. D: х 2 + у2 - 2ах ~ О, х 2 + у2 + 2ау ~ О, х ~ О, ОХ.
2.10. D: х 2 +у2 +2ах ~ О, х 2 +у2+2ау ~ О, у ~ О, Оу.
2.11. D: х 2 + у2 - 2ау ~ О, х 2 + у2 + 2ах ~ О, х ~ О, Ох.
2.12. D: х 2 + у2 - 2ау ~ О, х 2 + у2 - 2ах ~ О, у ~ О, Оу.
2.13. D: х 2 + у2 + 2ау = О, х 2 + у2 + ау = О, х ~ О, Ох.
2.14. D: х 2 +у2-2ах=0, х 2 +у2_ ах =0, y~O, Оу.
2.15. D: х 2 +у2+2ау=0, х 2 +у2+ ау =0, x~O, Ох.
2.16. D: х 2 +у2-2ау=0, х 2 +у2_ ау =0, x~O, Ох.
2.17. D: х 2 +у2-2ау=0, х 2 +у2_ ау =0, x~O, Ох.
2.18. D: х 2 +у2 +2ах = О, х 2 + у2 +ах = О, У ~ О, Оу.
2.19. D: х 2 +у2-2ах=0, х 2 +у2_ ах =0, y~O, Ох.
2.20. D: х 2 + у2 +2ах = О, х 2 + у2 +ах = О, У ~ О, Оу.
2.21. D: х 2 +у2+2ау=0, x+y~O, х;?::О, Ох.
2.22. D: х 2 + у2 - 2ау = О, у - х ~ О, х;?:: О, Ох.
2.23. D: х 2 + у2 + 2ах = О, у - х;?:: О, У ~ О, Оу.
2.24. D: х 2 + у2 - 2ау = О, х + у ~ О, х ~ О, Ох.
2.25. D: х 2 + у2 + 2ах = О, х + у ~ О, У ~ О, Оу.
2.26. D: х 2 + у2 - 2ах = О, у - х ~ О, У ~ О, Ох.
2.27. D: х 2 + у2 - 2ах = О, у - х ~ О, х + у ;?:: О, Оу.
2.28. D: х 2 +у2-2ау=0, y-х;?::О, х+у;?::О, Ох.

2.29. D: х 2 + у2 + 2ах = О, х + у ~ О, У - х ~ О, Оу.
2.30. D: x~ + у2 + 2ау = О, У - х ~ О, х + у ~ О, Ох.
3. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, занимающего область V, ограниченную указанными
поверхностями.
3.1. V: X=6(y2+ Z2), y2+ Z2=3, х=о. (Ответ:
(6, О, О).)
• _/ '2 '2 2 '2 •
3.2. V: у = 3 ух + Z , х + Z = 36, у = О. (Ответ. (О,
27/4, О).)
3.3. V: X=7(y2+ Z2), х=28. (Ответ: (56/3, О, О).)
3.4. V: Z = 2..j х 2 + у2, Z = 8. (Ответ: (О, О, 6).)
3.5. V: Z = 5(х 2 + у'2), х 2 + у'2 = 2, Z = О. (Ответ: (О, О,
10/3) .)
3.6. V:X=6..jy2+ Z'2,y2+ Z2=9,x=0. (Ответ: (27/4,
О, О).)
3.7. V: Z=8(X 2 +y2), z=32. (Ответ: (О, 0,64/3).)
3.8. V:
3.9. V:
4/27, О).)
у=3 -v Х 2 +Z, 2 у=9. (Ответ: (О, 27/4, О).)
9у = х + 2 Z2, х + 2 Z2 = 4, У = О. (Ответ: (О,
3.10. V: 3Z=#+y2, х 2 +у2=4, z=O. (Ответ: (О,
О, 1/4).)
3.11. V:X 2 +z 2 =6y,y=8. (Ответ: (О, 16/3,0).)
3.12. V: 8X=..jy2+ Z2, Х= 1/2. (Ответ: (3/8, О, О.)
3.13. V: 2х = у'2 + Z2, у2 + Z2 = 4, Х = О. (Ответ: (2/3,
О, О).)
(О,
3.14. V: 4y=..jx 2 +z'2, x 2 +z'2= 16, у=о. (Ответ:
3/8, О).)
3.15. V: y2+ Z2=8x, х=2. (Ответ: (4/3, о, О).)
3.16. V: z=9..jx 2 +y'2, z=36. (Ответ: (О, о, 27).)
3.17. V: z=3(X 2 +y2), х 2 +у2=9, z=O. (Ответ:
(О, о, 9).)
3.18. V: x=2..jy'2+ Z2, y2+ Z2=4, х=о. (Ответ:
(3/2, о, О).)
3.19. V: X 2 +z 2 =4y, у=9. (Ответ: (0,6, О).)
3.20. V: X=5..jy2+ Z2, х=20. (Ответ: (15, о, О).)
3.21. V: у = х 2 + Z2, х 2 + Z2 = 10, У = О. (Ответ: (О,
10/3, О).)
181

• ~ / _2 ~ 2 2
3.22. V. у=3 у х +z, х =z = 16, у=О. (Ответ:
(0,9/2, О).)
3.23. V: y2+ Z2=3x, х=9. (Ответ: (6, О, О).)
3.24. V: y=--Vx~+z~, у=4. (Ответ: (0,3, О).)
3.25. V: x=y'2+ z'2, y2+ Z2=9, х=О.
(Ответ: (3, О, О).)
3.26. V: х = О, У = О, z = О, х + у + z = 3. (Ответ:
(3/4,3/4,3/4).)
,_1'2 2 2 2
3.27. V: z=2yx +у, х +у =9, z=O. (Ответ:
(О, О, 9/4).)
3.28. V: х 2 + у2 = 2z, z = 3. (Ответ: (О, О, 2).)
3.29. V: z=--VХ2+у2, z=4. (Ответ: (О, О, 3).)
3.30. V: z = х 2 + у2, х 2 + у2 = 4, z = О. (Ответ: (О, О,
4/3) .)
4. Вычислить момент инерции относительно указанной
оси координат однородного тела, занимающего область V,
ограниченную данными поверхностями. Плотность тела 8
принять равной 1.
4.1. V: y2=X 2 +Z 2 , у=4, Оу. (Ответ: 512л/5.)
4.2. V: х = у'2 + Z2, Х = 2, Ох. (Ответ: 4л/3.)
4.3. V: y2=X 2 +Z 2 , у=2, Оу. (Ответ: 16л/5.)
4.4. V: х = у2 + Z2, Х = 9, Ох. (Ответ: 243л/2.)
4.5. V: X 2 =y2+ Z2, х=2, Ох. (Ответ: 16л/5.)
4.6. V: y=X 2 +Z 2 , у=2, Оу. (Ответ: 4л/3.)
4.7. V: X 2 =y2+ Z2, х=3, Ох. (Ответ: 243л/10.)
4.8. V: х = у2 + Z2, Х = 3, Ох. (Ответ: 9л/2.)
4.9. V: у = 2"; х 2 + Z2, У = 2, Оу. (Ответ: л/5.)
4.10. V: y=x 2 +z'2, у=3, Оу. (Ответ: 9л/2.)
4.11. V: X 2 =y2+ Z2, y2+ Z2=-1, х=о, Ох. (Ответ:
2л/5.)
4.12. V: х = у2 + Z2, у2 + Z2 7-= 1, х = О, Ох. (Ответ:
л/3.)
4.13. V: Z2=X 2 +y2, z=3, Oz. (Ответ: 243л/10.)
4.14. V: Z=X 2 +y2, z=3, Oz. (Ответ: 9л/2.)
4.15. V: у2 = х 2 + Z2, х 2 + Z2 = 4, У = О, Оу. (Ответ:
64л/5.)
4.16. V: 2if = х 2 + Z2, У = 2, Оу. (Ответ: 16л/3.)
182
4.17. V: х =y2+ Z2, х=2, Ох. (Ответ: 16л/5.)
4.18. V: 2z = х 2 +
у2, Z = 2, Oz. (Ответ: 16л/З.)

4.19. V: X~=y2+Z2, y"+z:!=4, х=о, Ох. (Ответ:
б4л/5.)
4.20. V: 2z = x~ + у2, х 2 + у2 = 4, z = о, Oz. (Ответ:
32л/3.)
4.21. V: z=2(X 2 +y2), z=2, Oz. (Ответ: л/3.)
4.22. V: х = 1 - у2 - z:!, Х = о, Ох. (Ответ: л/б.)
4.23. V: у = 4 - х:! - Z2, У = о, Оу. (Ответ: 32л/3.)
4.24. V: X=3(y2+ Z2), х=3, Ох. (Ответ: л/2.)
4.25. V: z = 9 - х:! - у2, Z = о, Oz. (Ответ: 243л/2.)
4.26. V: z=4v1x:!+y~, z=2, Oz (Ответ: л/80.)
4.27. V: z=3(X 2 +y2), z=3, Oz. (Ответ: л/2.)
4.28. V: X=2-.Jу2+ Z :!, х=2, Ох. (Ответ: л/5.)
4.29. t/: у = 3(Х" + Z2), У = 3, Оу. (Ответ: n/2.)
4.30. V: z = 3 - Х:! - у:!, Z = о, Oz. (Ответ: 9л/2.)
Решение типового варианта
1. ВЫЧИСЛИТЬ массу l7l неоднородной (lластины D, ограниченной
ЛИНИЯlVI!I у = 2х - х:!, У = х, если поверхностная
ПЛОТНОСТЬ в каждой ее точке fJ, = х + 2 2ху.
~ Для вычисления массы т плоской пластины заданной
поверхностной плотностью [t воспользуемся физиЧеским
смыслом двойного интеграла
(см. § 13.1, свойство
2) и формулой 117 =)) (x~ + 2ху) dxdy, где область
D
интеr'рирования D изображена на рис. 13.41. Это позволит
легко представить записанный двойной интеграл в виде
повторного:
I ~,~ -x~ I 2.~.-x!
т = ~ dx ~ (х:! + 2ху) dy = ) (х 2 у + ху2)1 dx =
() х tJ·<
I
= ~ (2х З _ х 4 - х + 3 4х 3 - 4х + 4 х" - х з ) dx =
u
I
= ~ (х 5 _ Бх 4 + 4x J )dx =( Х6 " - х 5 + х 4 )1 ~ = +
о
.....
2. Вычислить статический момент относительно оси Оу
однородной пластины D, ограниченной линиями х 2 + у? -
-2ах=0, х 2 +у2_ ах =0, у-х=о, у+х=о (рис.
13.42), использовав полярные координаты. Поверхностная
плотность пластины fJ, = 2.
183

у
Рис. 13.41 Рис. 13.42
~ Статический момент относительно оси Оу данной
пластины определяется по формуле (13.17). В полярной
системе координат область D преобразуется в область D';
acos«p~p~2acos«p, -л/4~«р~л/4. Тогда
л/4 2а cos (Р
М у = ~~ 2р cos «р. pdpd«p = 2 ~ cos «pd«p ~ p 2 dp =
О' -л/4 а cos tp
л/4 л/4
~
J 1 2а со' 'р 7 з ~
= 2 cos «р . .L d«p = 2 . _а_ cos 4 «pd«p =
3 а со. 'р 3
-,,/4 -,,/4
,,/4
= 2з8 аЗ ~ (1 + C~S 2'1'/ d«p =
л/4
о
= ; аЗ ~ (1 +2cos2«p+cos22«p)d«p= 7;3 ((«р+
О
/4 ,,/4
+ sin 2«р) 1: + ~ (-} + -} COS 4«р) dp) =
u
3. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, занимающего область V, ограниченную поверхностями
у = +-.J х 2 + Z2, У = 2.
~ Данное тело симметрично относительно оси Оу
(рис. 13.43), поэтому xc=zc=O, а
184
Ус =
Ш ydxdydz/ Ш dxdydz.
v
v

z -4
Рис. 13.43
х
Переходим к цилиндрическим координатам по формулам,
аналогичным формулам (13.26): х = р COS «р, Z =
= р sin «р, у = у. Тогда
2" 4 2
Ш ydxdydz = Ш ypdpdqJdy = ~ dqJ ~ pdp ~ ydy =
v V' о о р/2
2" 4 2"
= -} ~ dqJ ~ р( 4 - +
о о о
р2) dp = -} ~ ( 2 р 2 - i~) 1: dqJ =
= -} . 16tpl:" = 16л,
2" 4 2
Ш dxdydz = Ш pdqJdpdy = ~ dqJ ~ pdp ~ dy =
v V' о о р/2
2" 4 2л 4
= ~ dtp ~ р( 2 - +
u о о
Следовательно,
р) dp = ~ (р2 - {- рЗ) 1 о dtp =
2:1 16 32
=чJ о 'Т = Т Л.
1
16л·3 3
YC=~-2
и центр масс С(О, 3/2, О) .....
4. Вычислить момент инерции относительно оси Оу
однородного тела (плотность 8 = сопst), занимающего
область V, ограниченную поверхностью у = 5 - х 2 - z~
И плоскостью у = 1.
~ Согласно формулам (13.18), искомый момент
инерции
185

I y = ш 8(х, у, z) (х 2 + Z2) dxdydz =
l'
= 8 Ш (x~ + Z2) dxdydz.
l'
(Область V изображена на рис. 13.44,)
z
-2
Рис, 13.44
Переходим к цилиндрическим координатам по формулам
х = р cos ер, z = р sin (р, у = у' Тогда
2.'1 2 5~p~
I y = 8 Ш p"pdpdepdy = 8 ~ dep ~ p:3dp ~ dy =
v (1 11 1
1п 2 [") ~ р2 2.'1 2
= 8 ~ dqJ ~ yl . p:Jdp = 8 ~ dep ~ pJ(5_ p2_I)dp =
о u 1 U U
13.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( r Л. 13
1. Доказать равенства:
~~ x 2 dxdy = ~~ y 2 dxdy = ~ ~~ (х 2 + у2) dxdy,
D D LJ
если область D определяется неравенствами х > О, у> О,
x~ + у2 < а 2 •
2. Использовав полярные координаты, вычислить
186
~~ .J а 2 - х 2 - у2 dxdy,
D

где область D - лепесток лемнискаты (х 2 + у2)2 = а 2 (х 2 -
2 (. (:l 16 -fi- 20) а 2 )
- у ), х ~ о. Ответ. 3 - 9 2'
3. Построить область, площадь которой выражается
интегралом
,,/2 ull+ros'f)
~ dqJ ~ pdp.
-л/2
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
х2 у" ) 2 х2 у! .
( 4 + 2 = 4 - Т· (Ответ. 6.)
а
5. ВblЧИСЛИТЬ площадь фигуры, ограниченной кривыми
(х 2 + у2 _ ах)2 = а 2 (х 2 + у2) И х 2 + у2 = ау-{3. ( Ответ:
за 2 -{3/2.)
6. В каком отношении гиперболоид х 2 + у2 _ Z2 = а 2
делит объем шара х 2 + у2 + Z2 ~ 3а 2 ? (Ответ: з-{3-
- 2/2.)
7. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностями
z = О и z = е-х'-У', равен л.
8. Вычислить координаТbI центра масс однородной
пластины, ограниченной кардиоидой р = а( 1 + COS qJ).
(Ответ: (~ а,
о).)
9. ВblЧИСЛИТЬ момент инерции относительно оси Ох
однородной пластины, ограниченной кривой х 4 + у4 =
= х 2 + у2. (Ответ: Зл/(2-f2).)
10. ВblЧИСЛИТЬ
2 ~2x-x2 а
~ dx ~ dy ~ Z-V х 2 + у2 dz,
О о о
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
(Ответ: 8а 2 /9.)
11. Вычислить
преобразовав его предварительно к Сферическим координатам.
(Ответ: 4лR 5 /15.)
187

12. Вычислить массу тела, ограниченного прямым
круглым цилиндром радиусом R и высотой Н, если его
плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния
от этой точки до центра основания цилиндра.
(Ответ: Л~2Н (3R 2 + 2Н 2 ).)
13. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, ограниченного поверхностями у = -j;, у = 2-j;,
z = О и х + z = б. (Ответ: (14/15, 2б/15, 8/3).)
14. Вычислить координаты центра масс однородного
тела, ограниченного поверхностями х + 2 у2 = Z И Х + у +
+z=o. (Ответ:
(-1/2, -1/2, 5/б).)
15. Найти момент инерции относительно начала координат
однородного тела, ограниченного конусом Z2 =
= х 2 _ у2 И сферой х 2 + у2 + Z2 = R 2 (Ответ: 2л(2-
- -/2) R 5 /5.)
16. Найти момент инерции относительно диаметра
основания круглого конуса, высота которого Н, радиус
основания R и плотность l' = сопst. (Ответ: луН R 2 (2H 2 +
+ 3R 2 )/БО.)
17. Показать, что сила притяжения, действующая со
стороны однородного шара на внешнюю материальную
точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить
в его центре.
18. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентрическими
сферами. Доказать, что сила притяжения
данным сферическим слоем точки, находящейся во внутренней
полости тела, равна нулю.
19. Вычислить массу полушара радиусом R, если плотность
распределения массы в каждой его точке пропорциональна
(k - коэффициент пропорциональности) расстоянию
От нее до некоторой точки О на границе основания
полушара. (Ответ: 4kлR 4 /5.)
20. Вычислить объем V общей части шара радиусом R
и кругового цилиндра радиусом R/2 при условии, что
центр шара лежит на поверхности цилиндра. (Ответ:
~ R З ( ~ - ~))
21. Вычислить площадь части сферической поверхности
радиусом R, которая высекается круговой цилиндрической
поверхностью радиусом R/2 при условии, что центр
сферы лежит н а цилиндрической поверхности. (Ответ:
2R 2 (л - 2).)

14. КРИ ВОЛИ НЕЙ НЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги). Пусть
в пространстве R J задана гладкая дуга L AB кривой L, во всех точках
которой определена непрерывная функция и = {(х, у, г). дугу L AB про·
ИЗВQ.1ЬНЫМ образом разобьем на n частей li длиной дl, (i = т:ti). в каж-
дой элементарной части li выберем
Z А произвольную точку Mi(Xi, Yi, Zi)
х
Рис. 14.1
Таким образом, по определению
у
(рис. 14.1) и составим интегральную
сумму
n
l n = ~ f(Xi, Yi, г,) bli.
i=!
Тогда предел lim l n всегда суще-
Ы,~O
ствует, называется криволинейным
интегралом первого рода или криволинейным
интегралом по длине
дуги L AB от функции {(Х, У, г) и обозначается
\ {(Х, У, г) dl.
LAB
n
\ {(Х, у, z)dl = lim ~ f(Xi, Yi, г,) bli.
LAB mах Л{,---+О i= 1
Если кривая L лежит в плоскости Оху и вдоль этой кривой задана
непрерывная функция {(Х, у), то
\ {(Х, y)dl = lim ~ {(х" у,) д/;. (14.1 )
LAB lТJax ~{,-+O [= 1
в случае, когда гладкая кривая L задана в пространстве R 3 параметрическими
уравнениями Х = x(t), У = y(I), z = z(l) и параметр t
изменяется монотоНно на отрезке [а; 13J (а < 13) при перемещении IJQ
кривой L ИЗ точки А в точку В, верна формула для вычисления
криво.1инеЙного ИIlтеграла
~
\ {(Х, у, z)dl= \f(x(t), y(t), z(I)) ,/(x'(t))"+ (y'(I))" + (z'(1))2dl. (14.2)
"
lR9

В случае плоской кривой формула (14.2) упрощается.
~ .
\ {(к, у) d/ = \ ((K(I), Y(I))-J(Х'(t))'+ (y'(I))'dl. (14.3)
Если уравнение плоской кривой Р = p(!jJ) задано в полярных коор,щнатах
р, Ч" функция p(!jJ) и ее ПРОflЗводная р' = dp/d!jJ непрерывны,
то имеет место частный случай формулы (14.3), где в качестве параметра
1 взят полярный угол ЧJ:
(1'1$
\ f(x, y)d/= \ f(p(!jJ)cos!jJ, Р(!jJ)SiП!jJ)-JР'+Р"d!jJ (14.4)
{Г.l
(tpA If !jJ1J - знаЧСНIfЯ !jJ, опрсделяющие на кривой ТОЧКИ А и В).
Если ff.nо(кая кривая задана flспрерывной и непрерывно дпфференцируемоii
на la; 1)1 функцией у = у (х), где а и Ь - обсциссы точек
А If В, то
(14.5)
Итак, во всех случаях вычисление криволинейных интегралов первого
рода сводится к вычислению определеfiНОГО интеграла (см. гл. 9
во второй части настоящего пособия).
Пример 1. Вычислнть 1 = \ (2г - -{) + у') dl, где L - первый
,-
виток конической винтовой ЛННflИ Х = 1 cos 1, У = 1 siп 1, Z = 1, О ~ 1 ~
~ 2л.
~ Находнм
d/ = -J(X' (1))' + (y'(t))' + (z'(I))' dl =
= -J(cos t - t siп 1)' + (siп t + t cos t)' + 1 dl = -.J2 + l' dl.
Тогда
2л
1 = \ (21 - 1).,)2 + t 2 dl = \ 1..)2 + t' dl =
о
1 I'Л 2-J2
= з(2 + t')'I' О = -3- ((1 + 2л')JJ' - 1) .....
2л
о
Пример 2. ВЬf'IИС'nИТЬ 1 = )
d/
2 ' где L -
Х+ у+5
отрезок прямой
L
у=2х-2, зак,nючснный между точками А(О, -2),8(1, О).
190
~ Находим
d/ = ~ dx = -{l+4dx = ~dХ.

Следовательно,
•./5 1'.J5
= ~ Iп 15х + 11 0= -5-lп 6 .....
Так как, согласно формулам (14.2) - (14.5), криволинейный интеграл
lIepBoro рода выражается через Оl1ределенный интеграл, то укажем
только те его свойства, которые обобщают своиства Оl1ределенного
интеграла.
1. \ dl = 1. ,IJ , где IАН -- длина дуги АВ (геометрический смысл
LAB
криволинейного интеграла первого рода).
2. ЕС.1И f(x, у, z) = 6(х, у, z) - линейная плотность материальной
дуги L .. ,H , то ее масса т ВЫЧИС.lяется по формуле
m= \ 6(х, у, z)dl ( 14.6)
LAB
(механический смысл криволинейного ИNтсграла первого рода).
3. Координаты центра масс материальной дуги L AH , имеющей линеiiную
плотность 6 = 6(х, ч, z), 0I1реде.1ЯЮТСЯ 110 формулам:
х с = ~ ~ х6(х, у, z)dl, y,=~ ~ у6(х, у, z)dl,
LAH
zc = ~ ~ z6(x, у, z) dl,
(14.7)
LAB
4. Моменты инерции относительно начала координат О, осей КООрдннат
Ох, Оу, Oz и координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz материальной
ДУ"и L,'B, имеющей линейную плотность 6 = 6(х, у, z), вычисляются
соответственно по формулам:
LAH
10 =
l-AB
LAB
\ (х" + zz) 6dl, l г = \ (х 2 + у") 6dl,
/.,.18 LAB
\ (у2 + zz) 6dl'!
l ху = ~ y2(jdl, 1 уг = \ x 2 6dl.
L АВ
LAB
(1Н!)
Моменты инерции связаны следующими соотношениями:
21 о = 1 х + 1 у + 1 г, 10 = 1 ху + 1 хг + 1 уг.
Если дуга L AB лежит в плоскости Оху, то рассматриваются только моменты
10, lх , l у (при условии, что z = О).
191

5 Пусть функция г = {(х. у) имеет размерность длнны и {(х. у) > о
во всех точках плоской дуги L AH • лежащей в плоскости Оху. Тогда
\ {(х. у) dl = 5.
LA/j
где 5 - площадь части цилиндрнческои поверхности с образующими,
параллельными оси Ог и проходящими через точки дуги L AB • ограниченной
снизу дугой L AB • сверху - линией пересечения цилиндрическоii
IIоверхнuсти с поверхностью г = f(x. у). а с боков - прямыми. прихоz
z=f(x,y}>O z
1----718
у у.
х
А
Рис. 14.2 Рис. 14.3
дящими через точки А и В параллельно оси Ог. На рис. 14.2 изобраil,ена
описанная часть цилиндрической поверхности АВВ' А'. Если {(К, у\ < О
во всех точках плоской дуги L AlJ • ТО
\ j(x. y)d/=-5
L,ш
(рис. 14.3). И. наконец. в некоторых точках плоской дуги L c1B фУ~jКЦflЯ
f(x. у) меняет знак. тогда интеграл \ f(x. у) d/ выражает раЗIfUСТЬ
площадей частей описанной цилиндрической поверхности. наХОДЯЩllХСЯ
над плоскостью Оху и под ней (рис. 14.4):
L(lFJ
\ j(x. y)d/=51-5~+5J.
L(18
Пример 3. ВЫЧИСJl!1ТЬ массу т и координаты центра масс Х с . ус
2 _('
у = '3 х' -. О ~ х ~ 1. линейная плотносТ[,
плоской материальной дуги
которой Ь (х. у) = у ~
~ Согласно формулам
имеем.
(14.5) и (14.6). для случая плоско"! ДУII1
! 1
т =) Ь(х. У(Х)) -УI + (у' (x))2dx = ~ ) х 3 / 2 ~ ~dx =
• •

z
в '
у
Рис. 14.4
l
= _~.J (х' '+ Х'> ") dx = 16
3 j :)5'
ПО ФОРМУJlам
(14.7) находим:
x c =
l
:)5 ( с, ~, 10
16j1
II
x"+x· ,)аХ=У)
l
~15 ~ 2 ,., ., 35 ~ \, 21
1/ -- -,"Ix"+x")ilx=- (х
. (.' -
+x)llx=-.....
lб J' 24 ~\2 ....
(l
Пример 4. ВLlЧIlс.'IИТЬ 11,·lOща.'l.Ь части ЦII.1l1НДlщческоИ повеРХНОСТI1
х' + !/' =~. заК,lЮЧl'Нlюii между П:IOСКОСТI,Ю Оху 11 повеРХIIОСТЬ\О 2 =
=2+.\""/2 (рис. 14;').
~ I1СIШ\l;1Я Н,10ЩС1:.lЬ S ЦII,llll1.ЧНlчео;оii ПОВl'рХНОСТI1 выражается
НlIтегра.10М
s =
\ (2 + х" /2) dl.
[.
где L - окружность А П,10С;,ОСТI1 Оху: х' + у" = 4, 2 = IJ. уравнеНllе
KOTOpoil в паР3~lеТРllчеl"КОМ BII.'1C х =:2 l"OS 1. !I = 2 sill 1. Тогда d! =
=2dll1
s = ~ (2 + + . 4 cos; ') 2d 1 =
2л
= 4 ~ (1 + со,,' 1) dl = 4 ~ (1 + ~ + ~ cos 21) dl
12л .....
о
7-357
193

2
-2
Р If с. 14.5 Р н с. 14.6
Криволинейные интегралы второго рода (по координатам). Пусть
в пространстве R' задан вектор а = Р(х, у, г) i + Q(x, у' г) j + R(x, у, г) k,
координаты которого - непрерывные функции в точках ориентированной
кривой L,18. Кривую L AB разобьем в направлении от А к В на n эле-
.......
мгнтарных дуг 1, и IIОСТРОИМ векторы .".1, = .".x,i + .".y,j + .".z,k, где ~Xi,
.......
~y" .".г, - проекции векторов .".I i на оси координат. Начала этих векторов
совпадают с началами элементарных дуг 1" а концы - с нх концами
(рис. 14.6). На каждой элементарной части 1, выберем пронзвольную
точку М,(х" Yi, г,) и составим интегральную сумму
1" = L Р(х" у" г,) .\х, + Q(x" у" г,ру, + R (х" у" .(",).".г, =
j=1
L а (Xi, Yi, г,)· М,.
i=J
(14.9)
.......
Преде.l суммы (14.9), найденный при условии, что все fbl,l-+ О,
называется криволинейным интегралом второго рода или крuводинеЙНblМ
интеграло,\! ПО координатам от вектор-функции а (х, у, г) по кривой
LAB И обозначается
! а(х, у, г) ·dl= \ Р(х, у' z)dx+Q(x, у, z)dy+R(x, у, z)dz=
LAB
' •. 4В
n .......
.lim L a(xi, Yi, г,) . bli.
fj/,~O i=J
(14.10)
Если функции Р (х, у, г), Q (х, у, г), R (х, у' z) непрерывны в точках
гладкой кривой L AB , то предел суммы (14.8) существует, т. е. сущестеует
КРИ1Jолинейный интеграл IЗторого рода (14.10).
КРИ1Jолинейные интегралы IЗторого рода обладают ОСНО1JНЫМИ С1JОЙ­
СТ1Jами определенных интеграЛО1J (линейность, аДДИТИ1JНОСТЬ). НепосреДСТIЗенно
из определения КРИ1Jолннейного интеграла IЗторого рода
{:ледует, например, что он зависнт от направления интеГРИРО1Jания
вдоль кривой, т е. меняет знак при изменении ориентации крнвой:
\ а· dl = - \ а· dl.
194

Если кривая интегрирования L замкнута, криволинейные интегралы
второго рода обозначаются фа. dl. В этом случае через кривую L
, L
проводится ориентироваиная поверхность и за положительное направление
обхода по L принимается Такое направление, при котором область
поверхноtти, ограниченная кривой L, находится слева, если двигатьСЯ
вдоль L по выбранной стороне указанной поверхности (т. е. обход
контура L совершается против хода часовой стрелки).
Если плоскую область D, ограниченную кривой L, разбить на части,
не имеющие общих внутренних точек и ограниченные з ~кнvтыми
кривыми L 1 И L2, ТО
фа. dl =
фа. dl + фа. dl,
L L, L,
где направления обхода по контурам L, LI и L2 - всюду либо положительные,
либо отрицательные.
Если гладкая кривая LAB задана параметрическими уравнениями
х = x(t), у = y(I), z = ги), где x(I), y(I), г(О - непрерывно дифференцируемые
функции, А (х(а), у(а), г(а» и 8 (x(!i), у (!i), г(М) - соответственно
начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая
формула для вычислеиия криволинейного интеграла второго рода:
LA8
fI
~ Р (х, у, г) dx + Q (t", у, г) dy + R (х, у, г) dz =
= \ (Р (x(I). У (1), z и) х' (1) + Q (x(I), уи), ги) у' (1) + R (х(ЩI4.1l)
y(t), z(I» г' (1» dl.
Если кривая L AB лежит в плоскости Оху, а = Р (х, у) i + Q (х, у) j,
то R(x, !f, г)==О, z(I)==O и формула (14.11) упрощается:
fI
~. Р (х, у) dx + Q(x, у) dy = ~ (Р (x(I), У (1» x'(I) +
'"
+ Q(x(I), y(I»y'(t» dl. (14.12)
Если кривая LAB Лежит в плоскости Оху и задана уравнением
у =;= Nx), производиая {' (х) непрерывна на отрезке [а: Ь], а = Р (х, у) i +
+ Q (х, у) J, то
ь
.~ Р(х, y)dx+ Q(x, y)dy= ~ (Р(х, {(х)) +
При мер 5. Вычислить
а
-\- Q(x, ((х» "(х» dx. (14.13)
/ = ~ ydx + (х + г) dy + (х - у) dz,
LAB
где LAB - отрезок прямой, соединяющнй точки А(I, -1, 1) и 8(2, 3, 4).
195

~ Запишем пара метрические уравиения прямой АВ: х = 1 + t,
У = - 1 + 4t, z = 1 + 3t. На отрезке IABI паоаметр О';;;; t.;;;; 1 Поэтому,
согласно dJOомvле (14.11),
!
I = \ « - 1 + 4t) + (2 + 4t) . 4 + (2 - 3t) . 3) dt =
о
1
= \ (13 + II t) dt = 18,5. ....
о
Пример 6. Вычислить I = Ф ydx - x 2 d у + (х + у) dz, если L - крн-
L
вая пересечения цилиндра х + 2 у2 = 4 с плоскостью х + у - z = О,
«пробегаемая» в положительном направлении относительно выбранной
верхней стороны данной плоскости.
~ Найдем пара метрические уравнения кривой L. Так как проекция
кривой L на плоскость Оху есть окружность х + 2 у2 = 4, z = О, ТО
можно записать, что х = 2 cos t, У = 2 siп t. Тогда из уравнения плоскости
иаходим, что z = 2 (cos t + siп t). Таким образом,
х = 2 cos t } { dx = - 2 sin tdt
у = 2 sin t =:>- dy = 2 cos tdt
z=2(cost+sint), tE[O; 2л], dz=2(-sint+cost)dt
Отсюда по формуле (14.11) имеем:
2л
2л
1= \ (- 4 sin 2 t - 8 cos 3 t + 4 (cos 2 t - sin 2 t» dt =
О
= \ (-2+2cos2t-8cost+8sin 2 tcost+4cos2t)dt= -4л .....
о
Пример 7. Вычислить 1= \ xydx + (х 2 + у) dy, если линия
LAB
LAB - дуга параболы у = х 2 , расположенная между точками А (О, О)
и В(2, 4).
~ Так как в данном случае {(х)=х 2 , {'(х)=2х, ХЕ[О; 2], то, со·
гласно формуле (14.13), ПО,1учаем
2 2
r r 5 2
1= ) (хх 2 + (х 2 + х 2 ) • 2х) dx = ) 5x 3 dx = Т х 4 ! о = 20 .....
о
о
АЗ-14.1
t. Вычислить [~, если L - отрезок прямой у =
) х-у
L
= -} Х - 2, заключенный между точками А (О, - 2) и
В(4, О). (Ответ: -{51п 2.)
196
2. Вычислить фхуdl, если L - контур прямоугольника

с вершинами в точках А(О, О), 8(4, О), С(4, 2), D(O, 2).
(Ответ: 24.)
3. Вычислить ~ -{2Ydl, если L - первая арка циклоиды
L
х = a(t - siп t), у = а(1 - cos t) (а> О). (Ответ: 4ла-r;;.)
4. Вычислить ~ xyzdl, если L - отрезок прямой между
L
точками A(I, О, 1) и 8(2, 2, 3). (Ответ: 12.)
5. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра
;(2 + у2 = Rx, заключенной внутри сферы х 2 + у2 + Z2 = R 2 .
(Ответ: 4R 2 .)
6. Вычислить ~ (х 2 - 2ху) dx + (2ху + y2)dy, где L AB -
LAB
дуга параболы у = х 2 от точки A(I, 1) до точки 8(2, 4).
(Ответ: 40 ~~-)
7. Вычислить ~ xdx + ydy + (х + у - 1) dz, где L AB -
отрезок прямой, соединяющей точки A(I, 1, 1) и 8(2, 3, 4).
(Ответ: 13.)
8. Вычислить ~ yzdx + zxdy + xydz, где L -- дуга Вин-
L
товой линии Х = R cos t, У = R siп t, z = at/ (2л) от точки
пересечения линии с плоскостью z = О до тоЧКи ее пересечения
с плоскостью z = а. (Ответ: О.)
9. Вычислить ~ xydx + (у - х) dy, если линия L AB , со-
LAB
единяющая тОЧКи А (О, О) и 8(1, 1), задана уравнением:
а) у=х; б) у=х 2 ; В) у' =х; г) у=х 3 • (Ответ: а) 1/3;
б) 1/12; в) 17/30: г) -1/20.)
10. Найти координаты центра масс первой полуарки
циклоиды х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t), t Е lO; лJ.
(Ответ: 4а/3, 4а/3.)
Самостоятельная
работа
1. Вычислить:
а) ~ xdl, если L - отрезок прнмой, соединяющей точ­
L
ки А(О, О) и 8(1, 2);
б) ~ (х + у) dx + (х - у) dy, если L AB - дуга параболы
LAB
197

у=х 2 , лежащая между точкамl'1 А(-I, 1) и ВО, 1}.
(Ответ: а) -{5/2; б) 2.)
2. Вычислить:
а) ~ x 2 ydl, если L - часть окружности х + 2 у2 = 9 лр­
L
жащая в
первом квадранте;
п) ~ (х - у) dx + (х + у) dy, если L AB - отрезок пря-
LA8
мой, соединяющий точки А(2, 3) и В(3, 5).
(Ответ: а) 27; б) 23/2.)
3. Вычислить:
а) (~, если L -
J х+у
отрезок прямой у = х + 2, соеди­
L
няющий точки А(2, 4), В(I, 3);
б) ~ (у + x 2 )dx + (2х - y)dy, если LAB - дуга парабо-
LA8
лы у = 2х - х 2 , расположенная между точками А (1, 1) и
В(3. -3). (Ответ: а) (-{2/2) 'П 2; б) 12.)
14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕИНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
с помощью КРИВOJJииейных интегралов первого рода можно вычнслять
длииу дуги кривой, массу матернальиой дуги, ее центр масс,
площади цилиндрических поверхиостей и другие величииы.
Пример J. Вычислить массу т дуги кривой L, заданиой уравнениями
х = t 2 /2, у = t, Z = t Э /3, о:;::;; t :s:;; 2, если плотность в каждой
ее точке 6 = 1 + 4,r + у2.
~ Согласно формуле (14.6), искомая масса т выражается интегралом
•
2
т = J "';1 + 4х 2 + y 2 dl = J "';1 + t 4 + t 2 "';t 2 + I + t 4 dt =
L
О
2
= J(l +t 2 +t 4 )dt= 116/15. ~
о
+ у2 = R 2 , расположенной в первом квадранте, и моменты
Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной дугн
окружности х 2
ииерции 10, 1., I g•
~ Так как прямая у = х является осью симметрии дуги окружиости,
то Хс=Ус. Для нахождения х с используем первую из формул
(14.7) :
198
х с = J x6d// ~ 6dl = 1 xd/j J dl,
L L L L

поскольку {, = const. Интеграл
~ dl = {лR
L
определяет д.лину четверти рассматриваемои окружности. Вычислим
~ xdl. где х = R cos с; у = R sin 1; О < 1 < л/2;
L
Следовательно,
dl = ....j(x' (1))2 + (у' (1))2 dl = Rdt.
,,(2 л/2
~ xdl = ~ R cos IRdl = R 2 sin 1 I = R 2 .
L О о
Окончательно
имеем:
R'
хс=ус= лR/2
2R
=п'
При вычислении / О, (К, /у воспользуемся формулами (14.8) и (14.3)
для случая плоской дуги (г == О) и учтем, что / к = 1 у:
л(2
[о = \ (х 2 + у2) бdl = б \ R 2 Rdl = R 3 бл/2,
L
о
п(2 :л(2
/к = ~ у 2 бdl = б ~ R 2 sin 2 IRdl = ~б ~ (1 - cos 21) dl = лR З б/4. ~
L О О
Криволннейный интеграл второго рода (14.9) в случае, когда а =
= f - сила, под действием которой перемещается тело, определяет
работу силы F иа пути L AB • В этом заключается физический смылл
криволинейного интеграла второго рода.
Пример 3. Вычислить работу А силы f = yzi + xzj + xyk вдоль
отрезка прямой 8С, если 8(1, 1, 1) и С(2. 3. 4).
~ Запишем параметрические уравнення прямой 8С: х = 1 + 1:
у = 1 + 2/, z = 1 + 31. где 0< 1 < 1. Тогда работа А силы f на путн
ВС вычисляется по формуле
I
А = \ yzdx + xzdy + xydz, =
LBC
'= \(1 + 21)(1 +31) d/ + (1 +1)(1 +3/) 2d/ + (1 +1)(1 +21) 3dl =
()
I
= \(181 2 +221+б)dl=23. ~
о
Теорема (Грина), Если функции Р(х. у) и Q(x. у) непрерывны и
меют непрерывные частные nроизводные в замкнутой односвязной
199

области D, лежащей в плuскости Оху и ограниченной кусочно-гладкой
кривой L, то
ф Pdx + Qdy = )) (~; - ~:) dxdy, (14.14)
L
D
где интегрирование по контуру L выполняется в положительном направлении.
Формула (14.14) называется формулой Грина.
Если в некоторой областн D выполнены условия теоремы Грина,
то равносильны следующие утверждения.
1 Ф Pdx + Qdy = О, если L - любой замкнутый контур L, располо­
L
женный в области D.
2. Интеграл \ Pdx + Qdy не зависит от пути интегрирования,
LAB
соединяющего точки А и В, где L AB Е D.
3. Pdx + Qdy = du(x, у), где du(x, у) - полный дифференциал
функции и(х, у).
4. Во всех точках области D справедливо равенство
aQ
дх
дР
Ту.
(14.15)
Из формулы Грина следует,
что площадь S области D можно также
вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
SD = -}ф - ydx + xdy,
L
где интегрирование QO контуру L производится В положительном направлении.
Приме~ 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной пеТ.lеЙ кривой
xj+x -у =0 (рис. 14.7).
-1
х
рис. 14.7
200

~ Из уравнения кривой получим, что у = ±х -,J;+I, т. е. кривая
симметрична относительно оси Ох и пересекает ее в точках х = О и
x=-I; обе функции y=±x-v:+! определены при x;;'-I,
а у __ ± 00 при х __ оо. Перейдем к параметрическим уравнениям данной
кривой, положив у = xl. Подставив f = хl в уравнение х З + х 2 -
- у2 = О, получим х 3 + х 2 = х 2 1 2 , Х = 1 - 1, У = 13 - 1, где для петли
-1

Пример 6. Показать, что дифференциальиое выражение
-':"dy + (--1-. - ~ +lnY)dx
у I+x" х
будет полным дифференциалом некоторой функции u(х, у)' и найти эту
функцию.
~ Так как
1 1 х
Р(х, У)=--2 --+Iny, Q(x, у)=-,
1 +х х У
дР 1 dQ 1
то -а = - и -д = -. Значит, во всех точках плоскости Оху. ису
у х у
ключая точки" лежащие на осях координат, данное дифференциальное
выражение в силу равенства (14.14) будет полным дифференциалом
некоторой функции u(х, у). Теперь воспользуемся общей формулой
(14.16) или (14.17), где можно взять Mo(l, 1),
По формуле (14.16) имеем
х
u(х, у)= r (_1_2 -~) dx+ r ~dу+С =
J 1 +х х J у
, ,
=(aгctg x-In Ixl)l~ + х In lyll; + С =
= aгctg х - Iп I хl + х In I уl + С,
где С - пр

5. Вычислить работу Силы F = (х 2 + у2 + l)i + 2xyj
ВДОЛЬ дуги параболы у = х З , заключенной между точками
А(О, О) и В(I, 1).
(Ответ: 196/105.)
6. Применив формулу Грина, вычислить
Ф y 2 dx + (х + y?dy,
L
где L - контур треугольника АВС с вершинами в точках
А(3, О), В(3, 3) и С(О, 3). (Ответ: 18.)
7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
~4ХЗУЗ - у2) dx + (3х 4 у 2 - 2ху) dy = О. (Ответ: х 4 у З ~
-:-ху = С.) .
Самостоятельная
работа
1. 1. С помощью криволинейного интеграла второго
рода ВЫЧИСЛИТЬ площадь области D, ограниченной линиями
у = х 2 И У =-Vx. (Ответ: 1/3.)
2. Найти функцию и(х, у), еСли
du(x, у) = (2ху + х з - 5) dx + (х 2 - уЗ + 5) dy.
2. 1. Вычислить площадь фигу~ы, ограниченной осями
координат и дугой эллипса х 2 /а +у2/Ь 2 =1, расположенной
в первом квадранте. (Ответ: лаЬ /4.)
2. Найти функцию и(х, у), если
~~~=~+~-~h+~-~+~4
3. 1. Вычислить работу силы F(x, у) = 2xyi + x 2 j, совершаемую
на пути, соединяющем точки А (О, О) н В(2, 1).
(Ответ: 4.)
2. Найти фуикцию u (х, у), если
du= 2x(l-е У ) dx+(_e_ Y _ + l)dy.
(l+x 2 )2 l+x 2
14.3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАдАНИЯ К ГJl. 14
ИД3-14.1
Вычислить данные криволинейные интегралы.
1
1.1. ~ (х 2 - 2xy)dx + (у2 - 2xy)dy, где L AB - дуга па-
LA8
203

раболы у=х 2 от точки A(-I, 1) до точки 8(1,1). (ОТвет:
-6.)
~
x2dy
y 2 dx
1.2. W - 3 ' где L AB - дуга астроиды х =-=
LAB
х 5 +У у 5
= 2 cos 3 t, У = 2 siп З t от точки А(2, О) дО точки 8(0, 2).
(Ответ:
зi/2л/8.)
1.3. ~ (х 2 + у2) dx + 2xydy, где L OA - дуга кубиче-
LOA
ской параболы у = х З от точки 0(0, О) дО точки A(I, 1).
(Ответ: 4/3.)
1.4. Ф (х + 2у) dx + (х - у) dy, где L - окружность х =
L
= 2 cos t, У = 2 sin t при положительном направлении
обхода. (Ответ: - 4л.)
1.5. Ф (х 2 у - х) dx + (у2 х - 2у) dy, где L - дуга эллип­
L
са х = 3 cos t, У = 2 sin t при положительном направлении
обхода. (Ответ: -7,5л.)
1.6. ф(ху-l)dх+х 2 уdу, где LAb-дуга эллипса
LAfJ
x=cos t, у=2 sin t от точки A(I, О) дО точки В(О, 2).
(Ответ: 5/6.)
1.7. ~ 2xydx - x 2 dy, где L OB ,4 - ломаная ОВА;
Loa 1
0(0, О); В(2, О); А(2, 1). (Ответ: -4.)
1.8. ~ (х 2 - у2) dx + xydy, где L AB - отрезок прямой
АВ; A(I, 1); В(3, 4). (Ответ: II {-.)
1.9. J cos ydx - sin xdy, где L AB - отрезок ПРЯМО!"I
АВ, А(2л, -2л); В(-2л, 2л). (Ответ: О.)
1.10. r yd~+x~y, где LAb-отрезок
) Х' +У'
L,18
A(I, 2); В(3, 6). (ответ: ~ In 3.)
прямой
АВ;
1.11. ~ xydx + (у - x)dy, где L AB - дуга кубической
[-А8
параболы у = х.з от точки А (О, О) дО точки В (1, 1). (Ответ:
1/4.)
204

1.12. ~ (х 2 + у2) dx + (х + у2) dy, где L ABC - ломаная
LABe
АВС; A(I, 2); В(3, 2); С(3, 5). (Ответ: 64 ~ .)
1.13. ~ xy 2 dx+yz 2 dy-x 2 zdz, где L OB - отрезок пря­
LOB
мой ОВ; 0(0, О, О); В( -2, 4, 5). (Ответ: 91.)
1.14. ~ ydx + xdy, где L OA - дуга окружности х =
LOA
= R cos t, У = R sin t; O(R, О); А(О, R). (Ответ: о.)
1.15. ~ xydx + (у - х) dy, где L OA - дуга параболы
LOA
у2=х от точки 0(0, О) дО точки А(I, 1). (Ответ: 17/30.)
1.16. ~ xdx+ydy+(x-y+ I)dz, где L AB -отрезок
LAB
прямой АВ; A(I, 1, 1); В(2, 3, 4). (Ответ: 7.)
1.17. ~ (xy-l)dx+x 2 ydy, где L AB -дуга параболы
LAB
у2 = 4 - 4х от точки А (1, О) дО точки В (О, 2). (Ответ:
17/15) .
1.18. ~ xydx + (у - x)dy, где L OB - дуга параболы
LOB
у=х 2 от точки 0(0, О) ДО точки B(I, 1). (Ответ: 1/12.)
1.19. ~ (ху - у2) dx + xdy, где L OB - дуга параболы
LOB
у = х 2 от точки 0(0, О) дО точки В( 1, 1). (Ответ: 43/60.)
1.20. ~ xdy - ydx, где L AB - дуга астроиды х =
LAB
= 2 соs З t, У = 2 siп З t от точки А (2, О) дО точки В(О, 2).
(Ответ: 3л/4.)
1.21. ~ (xy-х)dх+{х 2 dу,гдеLАв -дуга параболы
LAB
у2 = 4х от точки А (О, О) дО точки В (1, 2). (Ответ:0,5.)
1.22. ~ (ху - I)dx + x 2 ydy, где L AB - отрезок прямой
LAB
АВ; A(I, О); В(О, 2). (Ответ: 1.)
1.23. ~ 2xydx + y 2 dy + z 2 dz, где LAB - дуга одного
LAB
витка винтовой линии х = cos t, У = sin t, z = 2t;
A(I, О, О); B(I, О, 4л). (Ответ: 64л З /3.)
205

1.24. ~ ~ dx + xdy, где LAB - дуга ЛИНИИ у = In х от
LA8
ТОЧКИ A(I, О) до точки В(е, 1). (Ответ: е - 1/2.)
1.25. Ф ydx - xdy, где L - дуга эллипса х = 3 cos t,
L
У = 2 sin t, «пробегаемая» в положительном направлении
обхода. (Ответ: -12л.)
1.26. ~ 2xydx - x 2 dy, где L OA - дуга параболы у =
Lo.4
= х 2 /4 ОТ точки 0(0, О) ДО ТОЧКИ А(2, 1). (Ответ: о.)
1.27. ~ (х 2 + у2) dx + (х 2 - y2)dY, где L AB - ломаная
L.48
линия у = Ixl от точки А( -1, 1) до точки В(2, 2). (ОТвет:
6.)
1.28. ~ 2xydx - x 2 dy + zdz, где LOA - отрезок пря­
LO.4
мой, соединяющий точки 0(0, О, О) И А (2, 1, - 1). (ОТвет:
11/6.)
1.29. Ф xdy - ydx, где L - контур треугольника с вер­
L
шинами А (-1, О), ВО, О), С(О, 1) при положительном направленииобхода.
(Ответ: 2.).
1.30. ~ (х 2 + у) dx + (х + у2) dy, где LACB - ломаная
L.4C8
АСВ; А(2, О); С(5, О); В(5, 3). (Ответ: 63.)
2.1. ~";2 Z2 (2z _";х 2 + у2) dl, где L - дуга кривой
L
х . t cos t, У = t sin t, z = t, О ~ t ~ 2л. (Ответ: 4л·2 (1+
+ л 2 ).)
2.2. Ф (х 2 + у2) dl, где L - окружность х + 2 у2 = 4.
L
(Ответ: 16л.)
2.3. ( . d/ , где L OB - отрезок прямой, соеди-
J -/8 2 z •
L08 V· -х -у
няющий точки 0(0, О) и В(2, 2). (Ответ: л/2.)
206

2.4. ~ (4-V;-3-{Y)dl, где L AB - отрезок прямой АВ;
A(-I, О); В(О, 1). (Ответ: -5.J2.)
2.5. ( d/ , где L AB - отрезок прямой, заключен·
) -Vs(x - у)
LAB
ный между точками А(О, 4) и В(4, О). (Ответ: О.)
2.6. ( у dl, где L -
) -ух. + у2
дуга кардиоиды р = 2( 1 +
L
+cos

2.15. ~ (х + у) dl, где L ABO - контур треугольника с
LABO
вершинами A(i, О), В(О, 1), 0(0, О). (Ответ: --12.)
z2dl L
•• , 2' где -
~ х +У
U
первыи
U
виток винтовои линии
.
L
2 16
х 2cost, у=2siпt, z=2t. (Ответ: 1:-I2лз)
2.17. ~ (х + у) dl, где L OAB - контур треугольника
LOAB
С вершинами 0(0; О), А( -1, О), В(О, 1). (Ответ: О.)
2.18. ~ (х + у) dl, где L - дуга лемнискаты Бернулли
L
р2 = cos 2ер, -л/4 ~ ер ~ л/4. (Ответ: -12.)
2.19. ф.jх 2 +у 2 dl, где L-окружность х 2 +у2=2у.
L
(Ответ: 8.)
2.20. ~ xydl, где L OABC - контур прямоугольника с
LO.4&1:
вершинами 0(0, О), А (5, О), В(5, 3), С(О, 3). (Ответ: - 15.)
2.21. Ф (х + 2 у2) dl, где L - окружность х + 2 у2 = 4х.
1.
(Ответ: 32л.)
2.22. ~ (4Vx - 3:vY) dl, где L,J.В - дуга астроиды
I·АС
x=cos J t, У= siп 3 t между точками A(I, О) и В(О, 1). (ОТвет:
1.)
2.23. \ xydl, где L - контур квадрата со сторонами
1.
х = + 1, У = + 1. (Ответ: О.)
2.24. \ y 2 dl, где L - первая арка циклоиды х = t -
1.
- siп [, У = 1 - cos [. (Ответ: 17 l~.)
2.25. \ xydl, где L ABCD - контур прямоугольника с
LABCD
вершинами А(2, О), В(4, О), С(4, 3), D(2, 3). (Ответ: 45.)
2.26. ~ ydl, где L - дуга параболы у2 = 2х, отсечен­
L
ная параболой х 2 = 2у. (Ответ: (5.[5- 1) /3.)
208

2.27. ~
dl
где L AB - отрезок прямой, заключенх-у'
ный между точками А(4, О) и В(6, 1). (Ответ: -f5lп (5/4).)
2.28. ~ (х + 2 у2? dl, где L -- первая четверть окруж­
L
ности р=2. (Ответ: 16л.)
2.29. ( dl , где L AB - отрезок прямой, соеди-
J -Vx' + у' + z'
LAB
няющий точки A(I, 1, 1) и В(2, 2, 2). (Ответ: In2.)
2.30. Ф (х - у) dl, где L - окружность х + 2 у2 = 2х.
L
(Ответ: 2л.)
3
3.1. Ф .J2y 2 + Z2 dl, где L - окружность х 2 + y~ + Z2 =
L
=а 2 , х=у. (Ответ: 2ла 2 .)
3.2. ~ xyzdl, где L - четверть окружности х + 2 у2 +
L
+ Z2 = R 2 , х + 2 у2 = R 2 /4, лежащая в первом октанте.
(Ответ: R 4 -!3/32.)
3.3. ~ arctg ~ dl, где L - часть дуги спирали Архи­
L
меда р = 2

3.7. ~ x..jx 2 - y 2 dl, где L - кривая (х + 2 у2)2 =ц2~x2_
L
- у2), Х ~ о. (Ответ: 2а 3 .у2/з.)
3.8. ~ (х + y)dl, где L - первый виток лемнискаты р2 =
L
= а 2 cos 2ср. (Ответ: а 2 .у2.)
3.9. ~ xydl, где L - первая четверть эллипса х 2 /а 2 +
L
+ у2/Ь 2 = 1. (Ответ: аЬ(а 2 +аЬ+Ь 2 )/(З(а+Ь».)
3.10. ~ (х + y)dl, где L - четверть окружности х: 2 +
L
+ у2 + г2 = R 2 , У = х, лежащая в первом октанте. (Ответ:
R 2 -/2.)
3.11. (_d_l_, где L AB - отрезок прямой z = х/ -2,
) x-z
LAB
у= О, соединяющий точки А(О, О, -2) и В(4, О, О). (Ответ:
-(5 Jn 2.)
3.12. ~ ~dl, где L - первая арка циклоиды х =
L
= а(! - sin t), у = а(1 - cos t). (Ответ: 4ла--.{а.)
3.1з.ф(х-у)dl, где L-окружность х 2 +у2=ах.
L
(Ответ: ла 2 /2.)
3. J 4. r 2 d~ , где L - первый виток винтовой
)X+Y+Z2
L
линии Х = а cos t, у = а sin t, Z = ы.
(
~a2+b2 2лЬ )
Ответ: аЬ а rctg -· ā
r z 2 dl
u
3.15. J 2' где L - пеРВblИ виток винтовой лих
2 +у
L
нии Х = а cos t, у = а sin t, Z = at. (Ответ: 8ал З -{2/з.)
3.16. ~ -.j х 2 + у2 dl, где L - развертка окружности
L
x=a(cost+tsint). y=a(sint-tcost),
(Ответ: а 2 (( 1 + 4л }З/2 - 1 )/3.)
210
0~t~2л.

3.17. ( ~, где
) х2 + у2
L AB - отрезок прямой, соеди-
LA8
НЯЮЩИЙ точки А(О, -2) и 8(4, О). (Ответ: Iп((з-{5-7)/2).)
3.18. ( 2 d~ 2' где
) х +У +z
L - первый виток винтовой
L
линии x=5cost, у=5sшt,
. z=t. (
Ответ:
.j26
-5-агсtg"б.
2л )
3.19. ~ yzdl, где L OABC - контур прямоугольника с
LOA8C
вершинами в точках 0(0, О, О), А(О, 4, О), 8(0, 4, 2),
С(О, О, 2). (Ответ: 24.)
3.20. ~ x 2 dl, где L - дуга верхней половины окруж­
L
ности х 2 +у2=а 2 • (Ответ: ла 3 /2.)
3.21. ~,(x2 + у2 + z2)dl, где L - первый виток винтовой
L
линии Х -:- 4 cos t, У = 4 sin t, z = 3t. (Ответ:
+ 36л 2 )/3.)
10л(48 +
3.22. ~ ydl, где L - дуга параболы у2 = 6х, отсечен­
L
ная параболой х 2 = 6у. (Ответ: 3(5-{5 - 1).)
А(2,
3.23. ~ xdl, где L AB - дуга параболы у = х 2 от точки
LA8
4) до точки 8(1,1). (Ответ: (17-{l7-5-{5)/12.)
3.24. ~ (х + y)dl, где L - первый виток лемнискаты
L '
(>2 = 7 cos 2ср. (Ответ: 7-{2.)
3.25. ф(z2 + y2)dl, где L - окружность г2 + у2 = 4.
L
(Ответ: 256л.)
3.26. ~ y 2 dl, где L - первая арка циклоиды j( =3(1 -
," 'L'" '
- sin t}, у =:= 3( 1 - cos t). (Ответ: 458 : .)
3.27. ~ -v х 2 + y 2 dl, где L - развертка окружности х =
L
=6(cost+tsint), у=6(siпt-tсоst), О~t~2л. (ОТвет:
12«1 + 4л 2 )3 1 2 - 1).)
2Н

~
z2dl
3.28. -2--2' где L '- первый виток винтовой линии
х +у
L .
Х = 9 cos t: у = 9 siп t, z = 9t. (Ответ:
24л З .fi.)
3.29. Ф (х + 2 y2)2dl, где L - окружность х = 3 cos t,
L
у=3siпt. (Ответ: 48бл.)
3:30. ) ydl, где L - дуга параболы у2 = 12x, отсечен·
L
ная параболой х 2 = 12y. (Ответ: 12(S-ГБ - 1).)
4.
4.1. ) (ху - y2)dx + xdy, где L OA - дуга параболы
LOA
у = 2х 2 от точки 0(0, О) ДО точки А (1, 2). (Ответ: 31/30.)
4.2. ) 2yzdy - y 2 dz, где L OBA - ломаная ОВА; 0(0,
LOBA
О, О); В(О, 2, О); А(О, 2, 1). (Ответ: -4.)
4.3. f ~ dx + _1_ dy, где L - дуга циклоиды х =
J у
у-а
L
= a(t - siп t), У = а( 1 - COS t), л/б ~ t ~ л/3. (Ответ:
~~2 + ~ (1 --Уз) _ ~ Iп 3-)
4.4. ) yzdx + г..у R 2 - y 2 dy + xydz, где L - дуга кривой
L
х = R cos t, У = R siп t, z = аt/(2л), «пробегаемая» от точки
пересечения ее с плоскостью z = О до точки пересечения
ее с плоскостью z = а. (Ответ: о.)
4.5. ) 2xzdy - y 2 dz, где L OA - дуга параболы z =
LOA
=х 2 /4 от точки 0(0, О, О) до точки А(2, О, 1). (Ответ: о.)
4.6. ) (х - I/y)dy, где L AB - дуга параболы у = х 2
L4/J
от точкиА(I, l)доточкиВ(2,4). (Ответ: 14/3-lп4.)
4.7. ) cos zdx - siп xdz, где L AB - отрезок прямой,
LAB
соединяющий точки А(2, О, -2) и В( -2, О, 2). (Ответ:
-2 siп 2.)
4.8. ) ydx - xdy, где L - четверть дуги окружности
L
Х = R cos t, У = R siп t, лежащая в первом квадранте и
«пробегаемая» против хода часовой стрелки. (Ответ: о.)
212

4.9. ~ (ху - x)dx + : dy, где L OA - дуга параболы
LOA
у = 2';-; от точки 0(0, О) дО точки А (1, 2). (Ответ: 1/2.)
4.1G. Ф ydx - xdy, где L - дуга эллипса х = а cos t,
L
У = ь sin t, «пробегаемая» против хода часовой стрелки.
(Ответ: - 2лаЬ.)
4.11. фхdу, где L - контур треугольника, образован­
L
ного прямыми У = х, х = 2, У = О при положительном
направлении обхода контура. (Ответ: 2.)
4.12. ~ xdy, где L - дуга синусоиды у = sin х от точКи
L
(л, О) до точки (О, О). (Ответ: 2.)
4.13. ~ y 2 dx + x 2 dy, где L - верхняя половина эллипса
1.
х = а cos t, у = ь sin t, «пробегаемая» по ходу часовой
стрелки. (Ответ: 4аь 2 /3.)
4.14. ~ (ху - y~)dx + xdy, где LO/J - дуга параболы
у = 2';-; от точки 0(0, О) дО точки 8(1, 2). (Ответ: -8/15.)
4.15. ~ xdx + xydy, где L - дуг а верхней половины
L
окружности х + 2 у2 = 2х при положительном направлении
обхода контура. (Ответ: - 4/3.)
4.16. ~ (х - y)dx + dy, где L - дуга верхней ПОЛОВИНЫ
1.
окружности х 2 + у2 = R~, «пробегасмая» в по:roжите.1ЫIО:v1
направлении обхода контура. (Ответ: лR 2 /2.)
4.17. Ф (х 2 - y)dx, где L - контур прямоуголышка,
1.
образованного ПРЯМЫl\1И х = О, !J = О, х = 1, У = 2 при
положительном направлении обхода контура. (Ответ: 2.)
4.18. ~ 4х sil1 2 ydx + у cos 2xdy, где L 01i - отрезок пря-
LOH
мой, соединяющий точки 0(0, О) и 8(3, 6). (Ответ: 18.)
4.19. ~ ydx - xdy, где L - дуга эллипСа х = 6 cos t,
L
У = 4 siп t при ПО.l0жительном направлении обхода контура.
(Ответ: - 48л.)
213

4.20. ~ 2xydx - x'ldy, где LOt) -'- дуга параболы х =
LOA
= 2у 2 ОТ точки 0(0, О) до точки А(2, 1). (Ответ: 2, 4.)
4.21. ~ xyeXdx + (х - l)eXdy, где L AB - любая линия,
LAB
соединяющая точки А(О, 2) и B(I, 2). (Ответ: 2.)
4.22. ~ (х 2 + y2)dx + (х 2 - y2)dY, где L - контур тре-
-
угольника с вершинами А(О, О), B(I, О), С(О, 1) при положительном
направлении обхода контура. (Ответ: -1/3.)
4.23. ~ (ху - x)dx + х; dy, где L ABO - ломаная АВО
LABO
(0(0, О); A(I, 2); B(I/2, 3» при положительном направлении
обхода контура. (Ответ: -1/2.)
4.24. ~ (ху - y2)dx + xdy, где L OA - отрезок прямой
LOA
от точки 0(0, О) ДО точки А (1, 2). (Ответ: 1/3.)
4.25. ~ xdy - ydx, где L OA - дуга кубической пара­
LOA
болы у = х 3 от точки 0(0, О) до точки А (2, 8). (Ответ: 8.)
4.26. ~ 2у siп 2xdx - cos 2xdy, где L AB - любая линия
LAB
ОТ точки А(л/4, 2) до точки В(л/б, 1). (Ответ: -1/2.)
4.27. ~ (ху - x)dx + ~ dy, где L OB - дуга параболы
LOB
у = 4х 2 ОТ точки 0(0, О) ДО точки B(l, 4). (Ответ: 3/2.)
4.28. ~ (х + y)dx + (х - y)dy, где L AB - дуга пара-
LAB
болы у = х 2 от точки А (-1, 1) до точки B(I, 1) (Ответ: 2.)
4.29. ~ xdy, где L AB - дуга правой полуокружности
[АВ
х 2 +у2=а 2 от точки А(О, -а) до точки В(О, а). (Ответ:
ла 2 /2.)
4.30. ~ y 2 dx + x 2 dy, где L - дуга верхней половины
L
эллипса х = 5 cos " У = 2 siп t, «пробегаемая»
часовой стрелки. (Ответ: 80/3.)
по ходу
214

РеШf;ние типового варианта
Вычислить данные криволинейные
интегралы.
1. Ф (х 2 + y 2 r dl, где L - окружность х 2 + у2 = а 2
L
~ Запишем уравнение окружности х 2 + у2 = а 2 в параметрическом
виде: х = а cos {, у = а siп t, О ~ t ~ 2л.
Тогда
х; = -а siп t, у; = а cos {, dl =-VX ;2 + у;2 dt,
Следовательно,
dl =-Va2 siп 2 t + а 2 cos 2 t dt = adt.
~ (х + 2 y2)ndl = а 2n + 1 ~ dt = 2ла 2n + 1 .....
L
О
2л
2. ~ xdt, где L 08 - отрезок прямой от точки 0(0, О)
[ов
до точки 8(1, 2).
~ Находим уравнение прямой 08 по двум точкам:
у = 2х. Далее имеем:
dl=-V1 + (y;)2dx, dl=.y5dx,
~ xdl .y5~ xdx=.y5. ~2 '~= f .....
[ОВ
О
3. 1 = ф2х(у - 1 )dx + x 2 dy, где L - контур фигуры,
L '
ограниченной параболой у = х 2 И прямой у = 9 при положительном
направлении обхода.
~ В

4. 1 =~ (-Ух + y)dx -(-{{у + x)dY, где L - верхняя
L
дуга астроиды х = 8 cos 3 t, У = 8 sin 3 t от точки (8, О) до
точки (-8, О).
~ Находим:
dx = 24 cos 2 t( - sin t)dt, dy = 24 sin 2 t cos tdt, О ~ t ~ л.
Тогда
"
1 = ~ (2 cos t + 8 sin 3 t) ( - 24 sin t cos 2 t)dt -
о
- (2 sin t + 8 cos 3 t). 24 sin 2 t cos tdt =
"
= ~ (-48 sin t cos 3 t - 192 sin 4 / cos 2 / - 48 sin 3 / cos t-
о
"
- 192 sin 2 / cos 4 /)d/ = ~ (-48 sin / cos /­
"
- 192 sin 2 t cos 2 t)d/ = ~ ( - 24 sin 2/ - 48 sin 2 2/)d/ =
о
"
= 12 cos 2/1~ - 24~ (1 - cos 4t)d/ =
= -24( t - 1- sin 4t) 1: = -24л ....
о
о
ИДЗ-14.2
1. Показать, что данное выражение является полным
дифференциалом функции и(х, у). Найти функцию и(х, у).
1.1. (2х-3у2+ l)dx+(2-6xy)dy. (Ответ: х 2 +х+
+2у-3ху2+с.)
1.2. 2ху2 ) (2х 2 У )
22
( -3 dx+ 22 -5 dy.
l+xy
l+xy
(Ответ: lп (1 + х 2 у 2) - 3х - 5у + С.)
1.3. -( --} cos 2у + у sin 2х) dx + (х sin 2у + cos 2 Х +
+ 1) dy. ( Ответ: у cos 2 х - ~ cos 2у + у + С.)
1.4. (у2 е Ху' + 3) dx + (2хуеХУ' - 1 )dy. (Ответ: 3х + е ХУ '_
-у+ С.)
216

1.5. (_1_ + cos х cos у - зх 2 )dх + (-+1 - siп х siп У +
х+у х у
+ 4y\dy. (Ответ: Iп (х + у) + siп х cos У - х + 3 2у 2 + с.)
1.6. (у/х + Iп у 2x)dx + (lп х + х/у + I)dy. (Ответ·
х + 2 у Iп х + х Iп У + У С.)
1.7. (е Х + У - cos x)dx + (е Х + + У siп у) dy. (Ответ: е Х + У _
- cos у - siп х + с.)
1.8. (y/.jl -X 2 y2+2x)dx+(x/.j1 -x 2 y2+6y)dy.
(Ответ: агсsiп ху + х + 2 Зу~ + с.)
1.9. (еХУ + хуеХУ + 2) dx + (х 2 еХУ + 1) dy. (Ответ: x~Y +
+2х+у+ с.)
1.10. (y~Y + y2)dx + (x~Y + 2xy)dy. (Ответ: ~Y +
+ ху2+С.)
1.11. (у cos (ху) + 2х- Зу) dx (х cos (ху) - Зх + 4y)dy.
(Ответ: siп (ху) + х 2 - 3ху + 2у2 с.)
1.12. (у sin (х+у) ху cos (х + у) -9x 2 )dx+ (х siп (х +
+ у) ху cos (х + у) + 2у) dy. (Ответ: ху siп (х + у) -
_ Зх + 3 у2 + с.)
1.13. (5у + cos х + 6xid dx + (5х + 6х 2 у) dy.
(Ответ: siп х + 5ху + 3х у + с.)
1.14. (у2 е ХУ - 3) dx + е ХУ (1 + ху) dy. (Ответ: уе ХУ _
-3х + с.)
1.15. (1 +cos(xy))ydx+(1 +cos(xy))xdy. (Ответ:ху+
+ sin (ху) + с.)
1.16. (у - sin х) dx + (х - 2у cos у2) dy. (Ответ: cos х +
+ху - sin у2 + с.)
1.17. (sin2x-- I -)dx-- 1 - 2
dy. (Ответ: _1_-
х'у ху ху
- ~ cos 2х + с-)
1.18. х+у dx+ y~x dy. (Ответ: In (ху)+х/у+ с.)
ху
у
1.19. (20х 3 - 21х 2 у + 2y)dx (3 + 2х - 7х 3 ) dy.
(Ответ: 5х 4 - 7х 3 у + 2ху 3у + с.)
1.20. (уе ХУ - 2 sin х) dx + (хеХУ + cos у) dy.
(Ответ: е + ХУ 2 cos х + sin у + с.)
1.21. У (еХУ + 5) dx + х (е + ХУ
+5ху + с.)
5) dy. (Ответ: е ХУ +
1.22. (х- ~)dX+( ~-У)dу.(Ответ:х22 +
х-у)
х-у
+ arctg.J!.... _ у' + с.)
х 2
217

1.23. xlny+y dx+ ylnx t-x dy. (Ответ: ylnx+
х
у
+xlny+C.)
1.24. eX-У(1 +x+y)dx+e x - Y (I-x-y)dy.
(Ответ: eX-У(х + у) С.)
1.25. (3х 2 - 2ху + у) dx + (х - х 2 - 3у 2 - 4у) dy.
(Ответ: х з - х 2 у _ уЗ + ху - 2у 2 + С.)
. 1.26. (2x"e xl y2
- - sin x)dx + (sin у - 2ye Xl - У ')dу.
(Ответ: е Х -У + cos х - cos у + С.)
1.27. (y/-V 1 - х 2 у 2 + х 2 ) dx +(x/-V I - х 2 у 2 + у) dy.
(Ответ: х з /3 + arcsin (ху) + у2/2 + С.)
1.28. J..--;- у dx + 1- ,2х dy. (ответ: 2х - 1 + J.. + С.)
х у ху ху х
1.29. (_1_ _ у , -2)dх+(_I- _ х , +
у-1 (x-I) х-I (у-1)
+ 2у) dy. (Ответ: х!!.- I + у ~ I - 2х + у2 + с.)
1.30. (3х 2 - 2ху + ~2) dx + (2ху - х 2 - з у 2) dy.
(Ответ: х з - х 2 у + ху + уЗ + С.)
2. Решить следующие задачи.
2.1. Вычислить длину дуги цепной линии у = (~ +
+е- Х )/2, хЕ[О; 1]. (Ответ: (е 2 - 1)/(2e).)
2.2. Вычислить моменты инерции относительно осей
координат отрезка однородной прямой 2х + у = 1, лежащего
между этими осями. (Ответ: I x =-/5/6, I y =-/5/24.)·
2.3. Найти координаты центра масс четверти однородной
окружности х 2 + у2 = а 2 , лежащей в первом квадранте.
(Ответ: (2а/л, 2а/л).)
2.4. Вычислить массу дуги кривой у = Iп х, заключенной
между точками с абсциссами х =.j3 и х =.j8, если
плотность дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы
этой точки. (Ответ: 19/3.)
2.5. Вычислить момент инерции относительно оси Оу
дуги полукуБИL~еской параболы у2 = х 3 , заключенной между
точками с абсциссами х = О и х = 4/3. (Ответ: I y =
=107.21°/(105.36);:::::1,13.) ..
2.6. Вычислить момент инерции относительно начала
координат контура квадрата со сторонами х = +а, у =
= +а. Плотность квадрата считать постоянной. (Отиет:
10 = 32/3.)
218

2.7. Вычислить длину дуги кривой х = 2 - /"/4, У =
= t 6 /6, ограниченной точками пересечения ее с осями
координат. (Ответ: 13/3.)
2.8. Вычислить коо~динаты центра масс однородной
полуокружности х 2 + У = 4, симметричной относительно
оси Ох. (Ответ: (4/ л, О).)
2.9. Вычислить координаты центра масс однородной
дуги одной арки циклоиды х = t - sin t, у = 1 - сos t.
(Ответ: (л, 4/3).)
2.10. Вычислить момент инерции относительно начала
координат отрезка прямой, заключенного между точками
А (2, О) и В (О, 1), если линейная плотность в каждой его
точке равна 1. (Ответ: 10 = 5-{5/з.)
2.11. Вычислить координаты центра масс однородного
контура сферического треугольника х 2 + у2 + Z2 = 1,
х ~ О, У ~ О, z ~ О. (Ответ: (4/3л, 4/3л, 4/3л).)
2.12. Вычислить статические моменты относительно
координатных осей дуги астроиды х = 2 соs З t, У =
= 2 siп З t, расположенной в первом квадранте. (Ответ:
Мх =2, 4, Му =2, 4.)
2.13. Вычислить массу отрезка прямой у = 2 - :'
заключенного между координатными осями, если линеиная
плотность в
каждой его точке пропорциональна квадрату
абсциссы в этой точке, а в точке (2, О) равна 4.
(Ответ:
s-J2/з.)
2.14. Найти статический момент относительно оси Оу
однородной дуги первого витка лемнискаты Бериулли
р2 = а 2 cos 2ЧJ. (Ответ: М у = а2-У2.)
2.15. Найти работу силы F = xi + (х + ун при перем~щеиии
точечной массы т по дуге эллипса х 2 /16 +
+ у2/9 = 1. (Ответ: 12лm.)
2.16. Вычислить момент ииерции относительно оси
Oz однородной дуги первого витка винтовой линии х =
= 2 cos t, У = 2 sin /, z = t. (Ответ: I z = s-{5л.)
2.17. Вычислить массу дуги кривой р = 3 sin ЧJ, qJ Е
Е [О; л/4], если плотность в каждой ее точке пропорциональна
расстоянию до полюса и при qJ = л/4 равна 3.
(ОТ8ет: 9(2 --J2) /2.)
2.18. Вычислить координаты центра масс однородной
дуги первого витка винтовой линии х = cos /, У = sin t,
z = 2t. (Ответ: (О, О, 2л).)
219

2.19. Вычислить моменты инерции относител ьно коор,
динатных осей дуги четверти окружности х = 2 cos t, У =
= 2 sin t, лежащей в первом квадранте. (Ответ: I x = 2л,
I y = 2л.)
2.20. Вычислить координаты центра масс дуги первого
витка винтовой линии х = 2 cos t, У = 2 siп t, z = t, если
линейная плотность в каждой ее точке пропорциональна
аппликате точки и в точке t = л равна 1. (Ответ: (О, - 2/л,
4л/3). )
2.21. Вычислить массу дуги четверти эллипса х 2 /4 +
+ у 2 = 1, лежащей в первом квадранте, если линейная
плотность в каждой ее точке равна произведению координат
этой точки. (Ответ: 14/9.)
2.22. Вычислить работу силы F = xyi + (х + У) j при
перемещении материальной точки по прямой У = х от
точки (О, О) ДО точки (1, 1). (Ответ: 4/3.)
2.23. Вычислить статический момент относительно оси
Ох однородной дуги цепной линии У = (~ + е- Х )/2, х Е
Е[О; 1/2]. (Ответ: (е- l/е+2)/8.)
2.24. Вычислить работу силы F = (х - У) i + xj при пе·
ремещении материальной точки вдоль контура квадрата,
образованного прямыми х = + 1, У = + 1. (Ответ: 8.)
2.25. Вычислить статический момент относительно оси
ОХ однородной дуги кардиоиды р = а(1 + cos ер). (Ответ:
32а 2 /5.)
2.26. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды
x=3(t-sin t), у=3(1 -cos t). (Ответ: 24.)
2.27. Вычислить работу силы F = (х + У) i - xj при перемещении
материальной точки вдоль окружности х =
= 2 cos t, У = 2 sin t по ходу часовой стрелки. (Ответ: 8л.)
2.28. Вычислить работу силы F = yi + (х + У) j при перемещении
материальной точки из начала координат в
точку (1, 1) по параболе у=х 2 • (Ответ: 17/12.)
2.29. Вычислить работу силы F = (х - У) i + 2yj при
перемещении материальной точки из начала координат
в точку (1, -3) по параболе У= -3х 2 • (Ответ: 10,5.)
2.30. Вычислить моменты инерции относительно осей
координат однородного отрезка прямой У = 2х, заключенного
между точками (1, 2) и (2, 4). (Ответ: I x = 28-{5/з,
I y = 7-{5/з.)
220

Решение типового варианта
L Показать, что выражение
( 1 +Ух 2у' - l)dX +( 1 +Хх'У" - 10)dy
является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти
. функцию и(х, у).
~ Проверим, выполняется ли условие полного дифференциала
(дР = a Q ) для функции и(х, у). Имеем:
ду
дх
Р(х, у)= у" -1, Q(x, у)= Л 22 -10,
I+xy
I+xy
дР _ д ( у _ 1)-
ту - ту 1 + х 2 у 2 -
1 + х 2 у 2 _ у. 2х 2 у
(1 + х 2 у 2)2
1 _ х 2 у 2
1
aQ = ~ ( х _ 1 о) = + х 2 у2 - Х. 2 ху 2 1 _ х 2 у 2
дх дх 1 + х'у' (1 + х 2 у 2? .
(1 + х'у')'
(1 +х 2 у 2)" ,
Данное выражение является полным дифференциалом
функции и(х, у). Положив хо = О, уо = О, по формуле
(14.16) найдем и(х, у):
х
у
и(х, у)=~(-I)dХ+~ С+ Х х 2у 2 -IО)dУ+С=
О
о
= -xl~ + (arctg ху - 10y)l~ + С = -х + arctg ху­
-IОу+С.
iультат вычислений верен, если
дU~; у) = Р(х, у)' дU~; у) = Q(x, у).
Сделаем
проверку:
~ (-х+ arctg ху-l0у+ С)= - 1 + --,,-удх
1 + х'у' '
~ (- х + arctg ху - 10y + С) = х. , - 10.
ду
1 + х'у
Итак, и(х, у) = arctg ху - х - 10y + С .....
2. Вычислить моменты инерции относительно осей
координат однородного отрезка прямой 4х + 2у = 3, лежащего
между точками (О, 3/2) и (2, - 5/2).
221

.~ Используя общие формулы для вычисления моментов
инерции, последовательно находим:
где
L: 4х+2у=3, у= -2х+ ;, dl=-!5dx,
2 2 _ С (_ 2х + ~)З /2
/ х = vf5 ~ ( - 2х + ;) dx = - {- 3 2 о =
о
= _ .;s (125 +!:!.-) = 49.;s
6 8 8 24'
2
/ у = -J5 r x 2 dx = -J5 ~ ,2 = 8.;s. ...
J 3 о 3
о
14.4. ДОПUJIНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( ГЛ. 14
t. Найти длину дуги конической ВИНТОВОй линии
х = afl cos t, у = ае/ sin t, Z = ае/ от Точки 0(0, О, О) до
точки А(а, О, а). (Ответ: а-{3.)
2. Найти массу участка цепной линии у = а ch (х/а)
между точками с абсциссами х\ = О И Х2 = а, если плотность
линии в каждой ее точке обратно ПрОПQрщюнальна
ординате точки, причем плотность в точке (О, а) равна
у. (Ответ: уа.)
3. Определить массу эллипса х 2 /9 + у2/4 = 1, если
линейная плотность в каждой его точке равна Iyl. (Ответ:
'IS-Ys .. .;s )
4 + -, 5-. - агсslП -3-'
'4.'наити координаты центра масс первого полу~ю:ка
винтовой линии х = а cos t, у = а sin t, z = Ы, считая плотность
в каждой ее точке постоянной. (.ответ: (О, 2а/л,
Ьл/2).) .
5. Вычислить моменты I-!нерции относительно координатных
осей и начала координат четверти однородной
окружности у = 2 cos t, Z = 2 sin t, лежащей в первом
квадранте плоскости Oyz. (Ответ: lх = /11 = 2л, /0= 4л:)
222

6. Найти момент инерции относительно оси Ох первого
витка винтовой линии х = а cos t, у = а siп t, z = ht/(2;r,).
(Ответ: (а 2 /2 + h 2 /3)"; 4л 2 а 2 + h 2 .)
7. Проверить выполиимость формулы Грина для интеграла
ф (х+ y)dx -
L
2xdy,
если L - контур треугольника со сторонами х = О, У = О,
х+у=а.
8. Применив формулу Грина, вычислить интеграл
Ф y 2 dx + (х + y)2dy
[Аве
по контуру треугольника АВС с вершинами А(2, О), В(2, 2)
и С(О, 2). (Ответ: 16/3.)
9. Доказать, что
~ (ух З + е У ) dx + ( ху3 + хе У - 2у) dy = О,
L
если L - замкнутая линия, симметричная относительно
начала
где L -
координат.
10. Доказать, что численное значение интеграла
замкнутый контур, равно площади области, orpaниченной
этим
тде L -
} (2ху - у) dx + x 2 dy,
L
t 1. Доказать,
контуром.
что интеграл
Ф xdy-ydx
х 2 +у2 '
L
любой замкнутый коитур, «пробегаемый:ов положительиом
направлении и охватывающий начало координат,
равен 2л.
12. Найти функцию по данному полному дифференциалу
du = ey/zdx + ( х ~ I . еУ/' + zeY/Z) dy + (yell z + е- '
- (X~21)Y eY/~) dz.
(Ответ: aY/Z(x + 1) + e Yz - e- z .)
_

15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
15.1. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА.
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ГРАДИЕНТ
Отображение, которое каждому числу t Е Т Е R ставит в соответствие
по некоторому правилу единственный вектор г, называется векторной
функцией или вектор-функцией скалярного аргумента '. Ее
принято обозначать г = r(I). Множество Т называется областью определения
функции r(l). В качестве Т обычно берут некоторый отрезок
[а; ы или интервал (а; Ь) чнсловой оси. Число I также называют
параметром.
Как и любой постоянный вектор, вектор-функцию скалярного
аргумента r(t) при любом фиксированном значении I можно однозначно
разложить по .базису i, j, k:
г = г (1) = х (1) i + У ии + 2 (1) k. (15.1)
Очевидно, что координаты х, у, 2 вектор-функции г = r(t) в этом
базисе являются функциями: x(I), y(t), 2(1), область определения которых
совпадает с Т. Поэтому имеют место три скалярных равенства:
х = хи), у = y(l), 2 = 2(1). (15.2)
Если вектор г откладывать из одной точки О при различных
значениях I Е Т, то его конец M(I) опишет в пространстве, вообщt'
говоря, линию, которая называется годографом вектор-функции г =
= r(l). Точка О называется полюсом годографа. Равенство (15.1) называют
в этом случае векторно-nараметрическим уравнением годографа,
а равенства (15.2) - его nара.иетрическимu уравнениями (рис. 15.1).
Приведt'М несколько примеров.
z
z(tJ
X/tlY'----"'"'
х
Рис. 15.1
у
11. Годографом, задаваемым
векторно-параметрическим
уравнением
вида г = r(l) = го + sl, где
го - радиус-вектор точки мо(хо, Уо,
20), S - некоторый заданный вектор,
является прямая в пространстве,
проходящая через точку М о , с направляющим
вектором s (см. уравнение
(3.6) и рис. 3.1 в первой
части настоящего пособия).
2. Годограф, задаваемый параметрическими
уравнениями х =
=acosl, у=аsiпl, 2=Ь! (tE
(- 00; (0), а, Ь - постоянные),
являt'тся винтовой линией, расположенной
на круговом цилиндре
радиусом а с осью 02 (см. также
§ 4.3 в пt'рвой части пособия).
в случае, когда t - время, а x(t), уи), 2(1) имеют размерность
длины, равенства (15.1) и (15.2) называются соответственно век-
224

торно-nарамстри'lески,и И nараАlетричсскими уравнения,ии движения
точки, а соответствующий им годограф - траекторией се движеНIIЯ.
ECJII1
lilП х(/) = хо, lim y(l) = Уо, lim г(!) = го,
/"~/, /-./" /-/.,
то вектор го = xoi + Yoj + zok называется пределом веКТОР-фУНКЦl/1/
r(t) в точке / = /0" В этом случае пишут: lim г (1) = го.
l __ /11
ЕС.1И lil1l г(!) = Г(/о), то векторная функция г(/) называется неnреl->--!'I
рывной в точке / = /0.
Если 11/ "*' О - ПРОИЗВО,lьное приrащение параметра, то Лг(/) =
= r(l + "\1) - r(t) lIазывается npиpan~CHlleM вектор-фУ!iКЦllll г(/).
Ес.ти Су ЩСL'ТВУС1 преде.~
lim ~\r(t) = lilll г(/ + Л/) - г(1)
L'.I_O,l,,/ ,~I_O 11/
ТО он называется производной всктор-функции г(/) в точке / и обозначается
г'и), или г(/), или dr(/)/d/.
Вектор г' (1) всегда HЮ к кривой в
этой точке, а Се ypaBH"lIlle вмеет вид
х'(/о) (х - х(/о)) + у'(/о) (у - y(lo)) + z'(lo) (2 - z(loJ) = О. ( 15.5)
Для векторных Функцнй скалярного apl'YMCHTa Сliраве,l,.lИВЫ следующие
lIраВИJlа днффСРСIIЦllрования:
1) (ГI (/) + r,(I)), = г, (/) + r2(I):
2) (Cr(t))' = Cr'(t), с = COllst;
3) (ГI (/) • Гl(/п' = ritI)· 1',(1) + ГI (1) • r,(/);
4) (rl(l) Х Г2(/))' = г,(/) Х r2(1) + rl(/) Х г,(I).
Пример 1. Найти IIРОИЗВОДНУЮ beKTOP-фУI1КЦНИ г(/) = (cos / - I)i +
+ sin" /j + tg /k в точке /0 = ,,/4.
• Из формулы (15.3) следует, что
г' (1) = - sin /i + 2 siп / cos /j + __ 1_, - k.
cos' t
8- 351
225

Ilштому г' ( ; ) = - ~ i + j + д. ...
,,2
Пример 2. Составить канонические уравнеllllЯ КdсатеЛЫJОЙ и урав,
нение нормалыlйй П.l0СКОСТН к КрIIВОЙ, заданноii параметрическими
уравнеJНJЯШJ х = (' + [ - 1, у = 2!' + :31 + 2, z = l' + 1, в точке М а ,
опреде.lяс~оii ЗJlаЧ('lJие~J параметра 10 = 1 .
• Находим вектор r'(Io)=(x'(I), у'О), z'(I»=(4, 7, 2). Параметру
1" = I JJd J\РИВОЙ соответствует точка l\I1o(x(I), y(I), z(I», т. е.
м"О;··7,2). Cor:JaCHO ф()Р~lулarvf (15.4), (15.5), ураВJJеШJЯ кас

имеем
d -(~ ~ ~)-~. ~. ~k
gra и - ах' ау' аг - дх I + ау J + аг .
( 15.8)
ЕСЮI 5" = (С05 а, С05/3, С05 у)' то 113 формул (15.6) 11 (15.8)
ди(М)
--- = grad II • s~ = пр,' grad и (М).
US
Из этой связи между нроизводноil по направлению н градиентом ФУНК­
ЦIIИ U = [(х, у, г) (нли z = {(х, у)) С.lедует, что:
1) градиент функции 11 (или г) направлен в сторону маКСимального
возрастания ее значений, т. е. du/ds (или dz/ds) имеет наибольшее
зиачение в направлении градиента (рис. 15.2);
2) есЛи единичный вектор s" перпеllдику.lярен к grad It (ИЮI
grad г), то auIrls = о (ИJ1Н dzjдs = ()) (см. рис. 15.2);
3) 110i.-rop--·grad u{М)' (И.II!t grad г(М») ,имеет НЭflравлеШ

у
I
пu(М,) z I
--(j-z- = -Jx' + у? + Z2\1<
:3
7'
6
Т
Единичный вектор, совпа;.tаЮll\liii 110 Н3I1р,iВЛt'lllIЮ с вектором
---+
M,M~, равен
5
-----+
м ,,'\11,
=(+,
IUI
Тогда по форчум (] 5.6) получаем
да (М ,) = _ 2 -..!... + 2 . (_ 2) + ~ . (_ 2) = _ ~. .....
Ис> 7:3 7 :3 7 J 21 ....
Пример 4. 8ычнс.1ИТЬ пронзводную ФУНКЦИИ z = arctg (ху) в точке
М О ( 1, j), принадлежащеii IIзрабо.lе у = х', 110 напрзвлеНI1Ю этой кривой
(в напраВ.lеНИI1 возрастаннн абсциссы).
~ За напраВ.lеНllе 51) параболы у = х 2 В точке М,,( 1, 1) бt'рем
направление касательной к параболе в этой точке, задаваемоt' углом
а, который касаТСJIЫlая составляет с осью Ох. Тогда IIмеем:
cos а = = -.
у'(х) = 2х, tg а = y'(I) = 2",
1 1. tg а
_, slП а = --:0=====
-У1 + tg 2 а ~5УI + tg" а
Находиы частные производные ФУJlКЦИI1 z в точке М О :
дг(М';) у I 1 дг(Мо) х I
-----;;;- = 1 + х'у' А/, = 2' ---;;;;- = 1 + х 2 у 2 М О 2
Подставив полученные значения в формулу (15.7), имеем
дu(М о ) 1 1 1 2 :3
--- = --. ----= + --. - = --о -

3. Дано уравнение движения материальной точки:
r = 2 cos ti + 2 siп tj + 3tk. Определить траекторию движения,
вычислить скорость I v I и ускорение I w I движеНИ51
этой точки в любой момент времени t. (Ответ: х = 2 cos "
У = 2 siп t, Z = 3t (винтовая линия); Ivl =щ Iwl = 2.)
4. Записать канонические уравнения касательной
прямой и нормальной плоскости к кривой r = ti + t 2 .i +
з _ ( . х - 1 _ У - 9 __ 2 -- '27
+ t k в точке t - 3. Ответ. -1- - -6- - -27-' х +
+ бу + 27z = 786)
5. Записать канонические уравнения касательной прямой
и нормальной плоскости к кривой, заданной уравнениями
z = х 2 + у2, У = х в точке М о ( 1, 1, 2). (Ответ:
х-I у-I 2-2 10)
-1- =-1- =-4-' x+y+4z= .
6. Доказать, что вектор r перпендикулярен к вектору
г', если I rl = сопst.
7. Вычислить производную функции u = Iп (3 - х 2 ) +
+ xy2z В точке M,(I, 3, 2) по направлению к точке М 2 (О, 5,
О). (Ответ: -11/3.)
8. Вычислить производную функции z =.; х 2 + у2 В точке
М о (3, 4) по направлению: а) вектора a=(I, 1); б) радиуса-вектора
точки М о ; в) вектора s = (4, 3). (Ответ:
а) 7-{2/2; б) 1; в) о.)
9. Вычислить производную функции z = arctg (у/х) в
точке М о (2, -2) окружности х 2 + у2 = 4х вдоль дуги этой
окружности. (Ответ: + 1/4.)
10. Вычислить производную функции u = Iп (ху + xz +
+ yz) в точке Мо(О, 1, 1) по направлению окружности
х = cos t, У = siп t, z = 1. (Ответ: +2.)
11. Вычислить координаты единичного вектора, направленного
по нормали к поверхности (Z2 - x 2 )xyz - у" = 5 в
точке Mo(l, 1, 2). (Ответ: +(_2 __ , _1_, ~).)
зF4 з -fl4 З-У 14
12. Найти gradu в точке Mo(l, 1, 1), если u=x 2 yz­
-ху2Z+хуz2. (Ответ: gradu=2i-2j+2k.)
13. Найти угол ер между градиентами функций u =
= ~ х 2 + 3у 2 - 2z 2 И V = x 2 yz В точке М о (2, 1/3, -{З/2).
(Ответ: ер = 31/2.)
229

14. Найти наибольшую крутизну подъема

Если в каждоii точке М (Х, у, г) пространства R \ (НЛII его чаСТfI V)
определен вектор а = (Р, Q, R), где Р = Р(х, у, г), Q = Q(x, у, г),
R = R(x, у, z) - скалярные фУНIЩИII, то говорит, ЧТО в этом ПРОСТР через точку МО( 1, О, О),
то легко находим, что постоянные интегрирования С, = 1, С 2 = О.
Уравнения векторной JIИНИИ векторного поля а = а(М) имеют вид х =
= cos " у = siп (, z = Ы (винтовая линия).

!'Овальны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного поля и(М)
(или z(M».
Дифференциальные уравнения для определения векторных линий
grad u(М) имеют вид
(15.10)
Пример 2. Найти векторные линии поля grad и, еС,lИ u = (х" +
+ уС + z")/2 .
• Согласно определению (15.8), grad u = xi + yj + zk, а из формул
(15.1 О) следует, что векторные линии этого поля удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений
dx
Находнм решения этой системы:
х
dy
у
dx dy
-=-, In Iyl =In Ixl +Iп С" у=С,х,
х
у
dz
z
dz
z
Полученные решения у = С,х, z = С 2х можно представить в виде
х у z
т = с; = С
2
' т. е. векторные линии заданного поля grad u (М) вредставляют
собой совокупность ПРЯМblХ, проходящих через начало координат
и ортогонаЛЬНblХ множеству поверхностей уровня х' + у2 +
+ Z2 = 2С (сфеРbl) данной функции.

5. Найти векторные линии векторного поля а(М) =
=шуi+шхj, где шЕR, ш=l=-О. (Ответ: X 2 _ y2=C J ,
Z= С 2 .)
6. Найти векторные линии векторного поля, если:
а) a(M)=5xi+10yj; б) a(M)=4zj-9уk.
(Ответ: а) x 2 =C Jy, z=C2; б) 9y2+4z 2 =Cr, х=С 2 .)
7. Найти векторные линии поля grad и, если u =
= х 2 - 2у + Z2. (Ответ: х = С/е-У, z = С 2 е- У .)
Самостоятельная
работа
1. 1. Найти векторные линии векторного поля а(М) =
= (х + y)i - xj - xk. (Ответ: х 2 + у2 + Z2 = С§, у - z =
=C J .)
2. Вычислить координаты единичного вектора,
перпендикулярного к поверхности z = х 2 + у2 В точке
М о (-I, 1,2) и образующего с осью Оу острый угол. (ОТвет:
(-2/3,2/3, -1/3).)
2. 1. Найти векторные линии поля grad и, если u =
-:-х+у2. (ответ:
x=-}lпу+СJ, Z=C2.)
2. Вычислить координаты единичного вектора пО,
перпендикулярного к поверхностям уровня скалярного
поля u = 2х - 3у + 6z - 5 и образующего с осью Oz тупой
угол. (Ответ: по = (-2/3, 317, -617).)
3. 1. Найти векторные линии векторного поля а(М) =
= 2xi + 8zk. (Ответ: z = CJx 4 , У = С 2 .)
2. Записать единичный вектор пО, ортогональный к
поверхностям уровня скалярного поля u = х 2 + у2 +
+ Z2 + 4. (Ответ: по = (x/l/x 2 + у2 + Z2, Y/VX2 + у2 + Z2,
zrJ х 2 + у2 + Z2).)
15.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть f(x, У, 2~ - непрерывная функция в точках некоторой глаДКО!"1
поверхности 5 Е R. С помощью кусочно-гладких линий разобьем поверхность
5 на n элементарных площадок 5" площади которых обозначим
через fl,.5; (i = т-n), а диаметры - через 10 5,. На каждой площаДJ,е
5, выберем ПРОИЗВQЛьную точку Мо(Хо, Уо, 2о), вычислим f (х;, У" 2i) и составим
интегральную сумму
n
I n = ~ f(Xi, Уо, 2i)fI,.Si.
i~J
233

Тогда сущеСТБуЕ'Т предел ЭТОЙ интеграоlЬНОЙ суммы, который называется
поверхностны,',! интегралом первого рода от фуикции {(х, у' z) по [юверхности
5 и обозначаЕ'ТСЯ
\\{(Х, у, z)dS = liП1L {(х" у" z,)~S,.
s
CS,~O i= I
(15.II)
Поверхностные ннтегралы первого рода обладают свойствами линейности.
аддитивностн, для ннх справедлива теорема о среднем, их
IJc-личина не зависит от выбора стороны поверхности.
Очевидно. что интеграл \\ dS равен площади поверхности, а \\ 6(х.
s
s
у. z)dS, где 6(х, у. z) - поверхностная плотность поверхности 5, - массе
поверКliOСт.и S.
Если проекция О поверхности 5 на плоскость Оху однозн.ачна.
т. е. всякая прямая, параллельная оси Oz. пересекает поверхность 5
лишь в одной точке, то поверхность можно задать уравнением z =
= Р(х, у) и справедливо равенство. с помощью которого вычисление
поверкностного иитеграла первого рода сводится к вычислению двойного
интеграла:
\\f(X. у. z)dS = \\ {(х, у). Р(х, y))-JI + (Р:)" + (р;)2 dxdy. (15.12)
S
D
Пример 1. Вычислить \\-Vx" + у" dS. где 5 - часть конической
s
поверхности х" + у2 = Z2. расположенная между плоскостяМи z = О и
z=2.
~ Из уравнения данной поверхности иаходим. что для рассматри'
ваемой ее части z = -Jx" + у2 И проекцией ее на плоскость Оху является
~;pyг х 2 + у" ~ 4. Так как
то ИЗ формулы (15.12) получим
p~ = x/-Vx' + у", Ру = y/-Vx' + у2.
х" +у'
2 -, dxdy =
х +уs
s
= -J2П -Jx 2 + y'dxdy = I Х = р cos qJ I = -J2ff p"dpdqJ =
)) У = Р SП1 qJ ))
D
D
2" 2
= -J2~ drl'}p2dP = -J2. 2л· ~ = Iбз-J2 л ....
о
IJ
Сторона гладкой новерКlЮСТИ 5, из каждои точки которой восставлен
вектор нормали п, называется положительной, а другая ее
сторона (если она существует) - отрицательной. Если, в частности,
поверхность 5 является замкнутой и ограничнвает некоторую область
пространства V, то положительной или внешней Стороной поверхности
234

называется та се сторон;]. НОРМl]ая (внутрснняя)
СТОРОIIЫ, называется двухсторонней. двухсторонние поверхностн характеризуются
следующим CBOIkTBOM: еС,1И основание вектора норма,,]]! n
Рис. 15.4 Рис. 15.5
непреРЫВIIО персмещать по .lюбому замкнуто.~у контуру L, Jlежзщую ]]3
'Г'акой поверхности, то пр]] ВОЗВР3ЩС]iИ]! В ПСХОДНУЮ точку направ.lt'IlИС
n совПадст с исходны~! (рис. 15.4). Двухсторонними поверхностями
являются ПJlОС]{ОСТII, ВСС поверхности второ]-о lIоряд!-;а, тор и многие
лругие.
ДЛЯ ОДНОСТОРОНIJИХ HOBCpXHocTeii указанное перс-меЩN]ие нормат]
n ври возвращении в исходную точку приводнт К «антннормалн», Т е.
к вектору -11. Классическим примером односторонней J!оверх]юсг!!
является ЛI]СТ Мёбиуса (рис. 15.5 i.
ПОВl'рхность S L выбра]iНОЙ c-rороноii называется oРllеНТЩJOваЮlOlf.
ЕСJIИ !lOBCPXHOCTb S заД

n
lim 2: а(х" у" z,)· по (х" у., z,)i'l.5"
0AS,~O ;= I
(15.13)
который называется noaepXHOCТHblM интегралом второго рода от функции
а по поверхности 5 и обозначается \\а . по d5. Таким образом, по опреs
делению
\\а. по dS = \\(Р cos а + Q cos В + R cos y)dS. (15.14)
s
s
Поверхностные интегралы второго рода обладают СRойствами линейности
и аддитивности. При изменении стороны поверхности на противоположную,
т. е. при замене по на -пО, интеграл (15.14) измеН5il'Т
знак.
Так как cos ad5 = dydz, cos Bd5 = dzdx, cos yd5 = dxdy, то ИНтеграл
(15.14) моЖно записать и в виде
\\a.nod5= \\Pdydz+Qdxdz+Rdxdy. (15.15)
s s
Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интегра.lа
(15.14) к вычислению двойного интеграла:
\\а - nOd5 = \\ а(х, у, г)· п(х, у, z)dxdy, (15.1б)
s й,
где область О, является проекцией поверхности 5 на плоскость Оху;
n = ± grad(z - tз(х, у»; поверхность 5 задается функцией z = tз(х, у).
в дIюйном интеграле переменную z следует заменить на tз(х, у). Приведем
еще две формулы, которые можно применять для вычисления
поверхностного интеграла второго рода:
\\а - nOd5 = \\ а(х, у, z). n (х, у, z)dydz =
S й.
= \\а(х, у, г)·п(х, у, z)dzdx, ( 15.17)
й,
где области ОХ и Оу - соответственно проекции поверхности 5 на
плоскости Огу и Охг; !lоверхность 5 задается функциями х = " (у, г)
и у = '2(Х, г). В двойном интеграJlе по области ОХ следует в подынтегральном
выражении :Jаменить х функцией ,,(у, г) и принять n = ±grad(x­
- " (у, z», а в двойном интеграле по Оу - заменить у функцией '2(Х, г)
и взять n = ± grad (у- '2(Х, г». Отметим, что в выражениях для n знак
«+» или «-» ставится в зависимости от выбранной ориентации (стороны)
поверхности 5.
Интегралы в правых частях формул (15.14) и (15.15) рассматривают
как сумму трех интегралов, д.~я вычисления каждого из которых
можно применить одну из формул (15.16) или (15.17).
Пример 2. Вычислить
1 = \\ zdydz - 4ydzdx + 8x 2 dxdy,
s
где 5 - часть поверхности z = х 2 + у" + 1, отсеченной ПЛОСКОСТhЮ
z = 2, если нормаль n к поверхности 5 составляет с осью Oz тупой
угол у.
236

~ с помощью градиента находим вектор норма.~и к выбранной
стороне данной поверхности: n = (2х, 2у, - 1), так как cos у < о.
По условию а = (г, -4у, 8х'), 1I0ЭТUМУ, сuгласнu формулам (15.15),
(15.16), IIMQCM (рис. 15.6):
/ = \\ а . nJxdy = \\(2xZ - 8u' - 8x')dxdy =
D, LJ,
= \\(2х(х + 2 у' + 1) - 8(х' + y2))llxdy =
LJ.
х = р cos ,{, О ~ '~ ~ 2:т, d d d i
I У = Р sin '[, О ~ Р ~ 1, х у = р 'Н 'р
\=
= \\(21' cos '1 (,,' + 1) - 8( 2)pl/plj

Област!! О Х , О у и О г являются четвертям!! кругов единичного радиуса,
расположенными в соответствующих координатных ПJlОСКОСТЯК,
поэтому интеграл 12 = SD, = л/4 (площадь четверти круга). Для вычисления
интегралов 1, If 1, перейдем к полярным координатам, ноложив
y=pcos'l', z=рsiп'l', dydz=pdpd

~ Из формулы (15.18) следует, что
1 = \\\( 1 + 1 + I)iixdydz = 3 \\\i[xdydZ = 18,
v
v
так как последний тройной интеграл равен объему· теlраэдра
(рис. 15.7) ....
z
г
у
Рис. 15.7
АЗ-15.3
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
)~.J x~ + у2 dS, если S - часть поверхности конуса
s
х2 у2 _ г2
+ Р асположенная между ПЛОСКОСТЯМИ 2 = О
16 16-9'
И 2 = 3. (Ответ: 160л/3.)
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
~~ xyzds, где S - часть плоскости х + у + z = 1, лежащая
s
в первом октанте. (Ответ: -JЗ/120.)
3. Вычислить массу полусферы z =F- х 2 _ у2,
если поверхностная плотность в каждой ее точке о .
=х 2 у 2. (Ответ: 128л/15.)
4. Вычислить м ассу полусферы z =.J а 2 - х 2 _ у2,
если поверхностная плотность в каждой ее точке О =
= х 2 + у2. (Ответ: 4ла~ /3.)
5. Вычислить поверхностный интеграл второго po:z..
~~ xdydz + ydxdz + 2dxdy,
s
если S - верхняя часть поверхности х + 2у + 2 - 6 =, О,
расположенная в первом октанте. (Ответ: 54.)
6. Вычислить
~) (х + y)dydz + (у - x)dxd2 + (2 - 2)dxdy,
s
239

если 5 - часть поверхности конуса x~ + у" - г2 = О, отсекаемая
плоскостями z = О и z = J, нормаль к которой
образует тупой УГО.1 с осью Ог. (Ответ: 8л/3.)
7. Вычислить
если 5 -
32л/J5.)
8. ВЫЧИСЛИТЬ
~) xdydz + z!dxdy,
s
внешняя сторона сферы х" + у" + г~ = J. (Ответ:
~) xdydz + ydxdz + zdxdy,
s
если 5 - внешняя сторона цилиндра х" + у" = R 2 С основаниями
z = О и z = Н. (Ответ: 3лR 2 Н.)
9. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью
5,
v = ~ )) xdydz + ydxdz + zdxdy,
s
где 5 - внешняя сторона поверхности 5.
10. Вычислить
~) yzdxdy + xzdydz + xydxdz,
s
еСJlИ 5 - внешняя сторона поверхности, раСПОJJоженно'й
в первом октанте и состоящей из цилиндра х 2 + у2 = k'
и плоскостей х = О, У = О, z = О, .2 = Н. ( Ответ: R~ Н"С:: +
+ ~H))
11. Вычислить
~~ yzdxdy + xzdydz + xyd;~dz,
s
если 5 -~ внешняя сторона пираМИДLI, гранями которой
являются ПЛОСКОСТI1 х=О, у=О, г=О, х+у+г= J.
(Ответ: J 18.)
Самостоятельная
работа
1. Вычислить ~~ (у + 2z)dxdy, если 5 - верхняя часть
s
плоскости 6х + Зу + 2г = 6, расположенная в первом
октанте. (Ответ: 8/3.)
~40

2. Вычислить \\ xyzdS, если S - часть поверхности
s
параболоида z = х + 2 у2, отсекаемая ПЛОСКОСТЬЮ z = 1.
(Ответ: О.)
3. Вычислить
\\ zdydz + (Зу - x)dxdz - zdxdy,
s
если S - внешняя часть повеРХIIОСТИ тела, ограНl1ченного
поверхностями z = О, х:! + y~ = 1, z = х" + у" + 2.
(Ответ: 5л.)
15.4. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ.
ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
ПОТОКОМ векторного поля а(М), М (Х, у, г) Е 5 через поверхность 5
в сторону единичного вектора нормали по = (С05 а, cos ~, С05 у) поверхности
5 назы вается поверхностный интеграл второго рода (15.14).
Если вектор а = (Р, Q, R) определяет векторное поле скоростен
текущей несжимаемой ЖИj!КОСТИ, то интеграл (15.14) равен объему
П жидкости, протекающей через поверхность 5 в напраВJгении нормали
по за единицу времени (в этом заключается физический СМЫСЛ ин·
теграла (15.14)), т. е.
П =
\\а(М). nOdS.
s
(15.20)
Из формулы (15.20) ясно, что П - скаляр, и есл!! угол 1jJ =
А
= (а, ПО) < л/2, то П> О, если же 1jJ > 11/2. то П < О, если 1jJ = л/2,
то П = О.
Прн изменении ориеНтации поверхности знак П меняется на про·
тивоположный (вследствие свойств поверхностных интегралов второ' J
рода).
Пусть 5 -- ззмкнутая кусочно-г ла:!ка~ г!ОперхносТl" еДИИНЧII!·!ii
вектор внеlllней нормали к которой ПО. Тогдз НОТОК П вектора а =
= (Р, Q, R) через поверхность 5 можно ВЫЧИС:IИТЬ с г!Омощью ФОI)МУЛbl
ОСТРОГ'радского -- Гаусса (15.18):
се ((( ( дР dQ cJR )
П = )) а· nOdS = jjj dx + ау + dz dxcfYilz. (1521 )
S
с'
пусть а(М) - поле скоростей НССЖ!1мае:чоii )!(Иllr;ости. ЕСЛII П> О,
то ИЗ формулы (15.21) следует, что из облаСТII V вытекает бол ыlle
жидкости, чем втекает. Это 03Н3'lзет, что внутрн области V имеЮ1'СЯ
источники, т. е. точки, из которых жидкость BbITCl\aeT. ЕCJШ II < О, то
из области V вытекает мены!!е жндr;оспг, чем втекает в нее. 13 ЭТОМ СJгучае
говорят, что внутри области V имеются CTOKll, т. е. точки, в которые
жидкость втекает. При П = о в область V втекает столько же жидкости,
СКОЛI,КО
вытекает.
Пусть в области V задано векторное поле а(М) = (Р, Q, R), где
функции Р(х, у, г), Q(x, У, г), R(x, У, г) имеют частные IlРОИЗВОДllые
241

в точке М (х, у, г) Е V по х, у, z соответственно. Тогда дивенгенцuей
IJ:I!И расходимостыо векторного поля а(М) в точке М, обозначаемой
div а(М), называется величина, равная сумме указанных частных производных,
вычисленных в точке /\11, т. е. по определению
dlva(/vl)= . (дР - +-+_ dQ dR) I .
(! 5.22)
дх ду дг м
С.,физическоЙ ТОЧIШ зрении div а(М) хар;жтернзует плотность I1СТОЧ­
НИI{QВ ИJIИ стоков векторного ноля а(М) в точке М. Если div а (М) > О,
то точка М юзляется 11СТОЧIIИКОМ, еСJIИ div а(М) < О - стоком. В СJIучае,
когда div а(М) = О, в точке М нет ни источников, НИ стоков.
ПереЧIIСЛИМ осно[шые свойства ДlIвснгеНЦIIИ векторного поля:
1) div(a + Ь) = cliv а + div Ь;
2) div с = О, есл" с - ПОСТОЯНIIЫЙ вектор;
3) div(fa) = {tJiv а + а· gгad {, ГJ\e r = {(х, у, 2) - СI О, т. е. точка М О является источником
ПОJIЯ .....
Пример 2. Вычисю!Ть поток векторного ПО.1Я а = xi - 2yj + zk через
верхнюю часть IIЛОСКОСТИ х + 2у + 3г - 6 = О, расположенной в первом
октанте.
1 2
~ Из уравнения плоскосТl! находнм z = 2 - "3 х - "3 у. Нормальным
вектором к этой плоскости, составляющим острый угол с осью Ог,
является n = (1/3,2/3, 1). Тогда из формул (15.20) и (15.16) следует, что
242
П = \\ а, по dS = \\ а . n dxdy =
s О,
)) (6 - 6y)dxdy =
0.' D.
:) б-'2!} 3
=2\dy \ (1 -y)dx=2\(! -y)(6-2y)dy=
о о u
n
=)) ~ (х - 4у + 3z)dxdy = +
= 2 \ (2у 2 - Ву + 6)dy = 36 .....
о

f,lример 3. Вычислнть поток ~eKTopHOГc:, 1l0Л~ а(М) = xz'i + yx"j +
+ zy~k чере:: ПОВl'рхность шара ,Г + у- + г = а- во ВllеlllНЮIO

п = \\ а· nOdS = \\ а . n?dS + \\ а . n~dS + \\ а . n~dS =
5 5, 5, s.,
= \\ RdS + \\ HdS + \\ OdS = R· 2.-с,RН + НлR.' = ЗлR'Н.
51 SJ SJ
Вычисления можно значительно
сократить, воспользовавшись форму.10Й
Остроградского - Гаусса
(15.18). Так как объем цилиндра
v = \\\ dX1iydz = лR'Н,
v
у
имеем
п = ш (1 + 1 + l)dхdуdz=ЗлR 2 н . ....
~ .
Рис. 15.8
АЗ-15.4
1. Вычислить дивергенцию векторного поля а(М) =
= (ху + Z2) i + (yz + х 2 ) j + (zx + у2) k в точке М (1, 3, - 5).
(Otbet:-l.)
2. Вычислить поток векторного поля а(М) = (х­
- Зz) i + (х 2у z) j + (4х + у) k через верхнюю часть
плоскости х + у + z = 2, лежащую в первом октанте. (Ответ:
26/3.)
3. Вычислить поток векторного поля а(М) = 2xi + Y.i +
r'
у'
+ 3zk через часть поверхности эллипсоида ~ + ""9 +
г'
+ 16 = 1, лежащую в первом октанте, в направлении
внешней нормали. (Ответ: 24л.)
4. Вычислить поток векторного поля а(М) = (х -
- у) i + (х + у) j + z 2 k через поверхность цилиндрического
тела, ограниченного поверхностями х 2 + у 2 = 1, z = О и
z = 2, в направлении внешней нормали. (Ответ: -4л.)
5. доказать, что поток П радиуса-вектора r = xi + yj +
+ zk через внешнюю сторону поверхности, ограничивающей
тело V объемом и, равен 3и.
6. Вычислить дивергенцию вектора напряженности
магнитного поля Н = (21/г) (-yi + xj), создаваемого то-
244

ком 1, проходящим по бесконечно длинному проводу.
(Ответ: div Н = О.)
7. Найти поток П векторного поля а(М) = x:Ji + yjj +
+ z 3 k через поверхность шара х 2 + у2 + Z2 = R 2 В направлении
внешней нормали. (Ответ: 12лR,i /5.)
8. Вычислить поток П векторного поля а(М) =
= 8xi + 11 yj + 172k через часть плоскости х + 2у + 32 =
= 1, расположенной в первом октанте. Нормаль составляет
острый угол с осью 02. (Ответ: 1.)
9. Найти поток П вектора а = xi - 2yj - 2k через замкнутую
поверхность S, ограниченную поверхностями 1-
- z = х + 2 у2, Z = О, в напраВJ1ении внешней нормали.
(Ответ:
-л.)
10. Найти поток П вектора а = x 2 i + 2 2 j через часть
поверхности 22 = 4 - х - у, лежащую в первом октанте,
и части координатных плоскостей, отсекаемых этой поверхностью,
в направлении внешней нормали. (Ответ: 19 1 5 О 3 5 -)
Самостоятельная работа
2
1. 1. Найти дивергенцию поля grad и, если u = 'п (х +
+ у2 + Z2).
2. Вычислить поток П векторного поля а(М) =
= xi + 3yj + 22k через верхнюю часть плоскости х + у +
+ z = 1, расположенную в первом октанте. (Ответ: 1.)
2. 1. Найти дивергенцию векторного поля а(М) =
= xy 2 i + x 2 yj + zзk в точке М (1, - 1, 3).
2. Вычислить поток векторного поля а(М) = 3xi -
- yj - 2k через поверхности 9 - z = х 2 + у2, Х = О, У = О,
z = О, ограничивающие некоторое тело, в направлении
внешней нормали. (Ответ: 81л/8.)
3. 1. Найти div (grad -V х + 2 у2 + Z2).
2. Найти поток векторного поля а(М) = 2xi + zk в
направлении внешней нормали к пове~хности тела, ограниченного
поверхностями 2 = 3х + 2 2у-, х + 2
(Ответ: 20.)
у2 = 4, z = О.
15.5. ЦИ РКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.
РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть l' - замкнутая KYC04ho-гладкая кривая в пространстве
R 3 и S - гладкая поверхность, краем которой служит кривая Г За
положительное направление обхода кривой r принимается такое на-
245

правление, при котором об.lасть, ограниченная этой кривоii, будет
оставаться слева на положительной стороне поверхности 5, т. с. на
стороне, И3 точек которой ВОССТавлен еДННИЧflЫЙ вектор нормалн " О '=
= (С05 а, СО5 (), С051') поверхности 5. ПУСТЬ, ДJлее, в окрестности 110-
верхности 5 задан вектор а = (Р, Q, Я), КООРДИНаТЫ которого Р, Q, R
z
s
~--------------------~~
о
у
у
х
х
Рис. 15.9 Рис. 15.10
являются непрерывными функциями от х, у, z вместе со своими первыми
частными ПРОИЗВОДНblМИ. Тогда нмеет место формула Стокси.
СВЯЗЫВаЮЩаЯ КРИНО,1ИНСИШ,1Й и 1I0ВСРХНОСТНЫЙ интегралы (pIIC. 15.9):
ф Pdx + Qdy + Rdz =
г
((
~~ dR d Q ) ( дР d R ) _
ду дг дг дх
s
= -- - -- cos а + -- - -- СОБ (j +
+ -- - -- cos у d5,
( d Q дР) )
дх
ду
(15.24)
где направление обхода по замкнутой кривой Г выбираСТС51 положи­
TeJlbIlbIM.
Формула Грина (14.14) 51вляется чаСТНblМ СJ'lучаем формулы Сто!{­
са, когда I

ности
_X'l,
s возьмсм круг С краем ['; х' + у2 ~ 4, z = 2. Далее, Р = г2"_
Q = х 2 _ у", R = у' - г2,
.!!!l _ dQ = 2 ~ _ .!!!l = 2г dQ - ~ = 2х
иу дг у, дг дх 'дх иу .
Тогда в соответстВlШ с формулой Стокса и условием задачи возьмем
n u = (О, О, 1) (этим обеспечивается [lOложителыюе направление движения
по [' (см. рис. 15.10)). Имеем
1 = С( 2xdxdy = I х = р COS

Ротором ИЛИ вихрем векторного поля а(М) = (Р, Q, R) называется
вектор
rota(M)=(aR _ aQ)i+(aP _ aR)j+(a Q _ aP)k,
ду az az дх дх ду
(15.26)
Используя понятия ротора и ЦИРКУЛЯЦИИ, формулу Стокса (15.24)
можно заllисать в векториой форме:
с = фа. ;Odl = \\ rot а . nOdS, (15.27)
]'
S
т. е. циркуляция векторного 110ЛЯ а(М) вдоль залtкнутого контура l'
равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность
S. краем которой является Г. Направление обхода по Г и СТОРОllа
поверхиости S одновременно или положительные, или отрицате,lьные.
Число
С(iИ) =
npn' rot а(М)
называется плотностью циркуляции векторного поля а(М) в точке М
в направлении вектора по Плотность достигает максимума в направлении
rot а(М) и равна тах С(М) = I rot a(M)I.
Отметим некоторые свойства ротора векторного поля:
1) rot (а + Ь) = rot а + rot Ь;
2) rot С = О, если С - постояиный вектор;
3) rot (

2л 2л 2л
= 8 \ COS J tdt - 4 \ sin 2 tdt = 8 \ (1 - sin 2 t) d (sin t) -
о u о
2л
-2 \ (1- cos 2t) dt = -4л.
2. В качестве поверхности 5, краем
которой является кривая Г, возьмем
круг r+y2':;;;4, г=3 (рис. 15.11).
Тогда по = k. далее, rot а = (2х­
- l)k и
С = \\ rot а . n"d5 = \\ (2х - 1) dxdy =
S
D
о
= \\ (2р СОБ 'Р - !) pdpd

6. Найти циркуляцию векторного поля а(М) = y2j +
+ xyj + (х 2 + у2) k по контуру, вырезаемому в первом
y~ = Rz ПJJОСКОСТЯМИ Х = О,
октанте из параболоида х + 2
У = О, z = R в ПОJJожительном направлении обхода относитеJJЬНО
внешней нормали поверхности параболоида. (ОТвет:
R J /3.)
7.' Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) =
= zy2j + xz 2 j + yx 2 k по контуру пересечения параболоида
х = у2 + Z2 С плоскостью Х = 9 в положительном направлении
обхода отНосительно орта по = j. (Ответ: 729n.)
8. Вычислить циркуляцию векторного поля a(MJ =
= -у; + 2j + k по линии Г пересечения конуса х +
+ у2':"'" Z2 = О С плоскостью z = 1 в положительном направлении
обхода относительно орта п и = k. (Ответ: n.).
Самостоятельная
работа
t. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л'Ч =
= yi - xj + zk вдоль линии Г пересечения сферы х + 2 У +
2 _~')
+ z = 4 с конусом -v х + у- = z в положительном направ~
лении обхода относительно орта п и = k.
2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) =
= yzi + 2xzj + y 2 k по линии r пересечения ПОJJусферы
z =у25 - х 2 - у2 С цилиндром х 2 + у2 = 16 в ПОJJожитеJJЬном
направлении обхода отноСитеJJЬНО орта ПО = k.
3. ВЫЧИСJJИТЬ циркуляцию векторного поля а(М) =
= (х - у) i + xj - zk вдоль JJИНИИ Г пересечения ЦИJJиндра
х + 2 у2 = 1 с ПJJОСКОСТЬЮ Z = 2, если по = k.
15.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
кЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕй
Дифференциальные операции. Введенные выше осНОвНые понятия
векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор - удобно описывать
с помощью дифференциального оператора, который обозначается
символом \1 (читается «набла»):
д .+ д. д k
\1=-1 -J+дх
ду дг
и называется оператором Гамильтона,
Выразим основные дифференциал ьные операции с помощью оператора
\1:
250
ди. ди. ди
\1 и(М) = ах I + ау J + 7iZ k = grad и(М),

иР cJQ дR .
v . а(М) = -и + -- + -- = (II\' а(М),
х ИУ иz .
v Ха(М)=
k
и д rJ
дх иу 7ii
р Q R
= rot а(М).
ОпераЦИII нахождения граДllента, дивеРГ"IJЦИИ, ротора наЗLJВ

Так как при выполнении условий ([5.28) криволинейный интеграл
второго рода не зависит от линии, соединяющеii точки М О и М 1, то
для потснциа.7ЬНОГО поля а(М) = Pi + Qj + Rk справедлива формула ДJlЯ
нахождения потеНциальной функции:
и(х, у, г) = \ Pdx + Qdy + Rdz + С, ( [5.2~))
Мр.'Н
где Мо(Хо, УIJ, го) - некоторая фиксироваlfrrая точка 06.7аСТII V.
М(х, у, г) - лю6ая точка 06ласти V; С - произвольная постоянная.
Из формулы ([5.29) следует формула ДЛ51 вычис.7еlfиЯ КРИВО,1инеиного
интеграла второго рода, не зависящего от пути интегрирования:
\ Pdx + Qdy + Rdz = и(В) - и(А),
АВ
(13.30)
где и(А) и и(В) - значения потенциала и в начальной А и конечноi'l
В точках пути.
Гармоническое векторное поле. Векторное поле а(М), удовлетворяющее
двум условиям: div а(М) = О и rot а(М) = О, называется гарл1Оническим.
Потенциал и гармонического поля является р('шеНJ\ем
уравнения
Лапласа
/',.и
д'и д'и д'и
= -- + -- + -- = о
дх' ду' дг' .
(15.31)
Функция и = и(х, у, г), удовлетворяющая уравнению Лапласа
(15.3 [), иызываетСя гармонической.
Пример 1. Показать, что поле а(М) = (2ху + г) i + (х" - 2у) j +
+ xk является потенциальным, но не соленоидальным. Найти потенциал
и данного поля.
~ Имеем: Р = 2ху + г, Q = х' - 2у, R = х. Тогда
= (О - О) i + (1 - 1) j + (2хrot
а(М) =
j k
д д д
дх ду дг
2ху +г х 2 - 2у х
-2х) k = О,
т. е. поле а(М) - потенциальное.
Далее
имеем
. дР dQ dR
dlva= - + -- + - =2у-2 +0* О,
дх ду дг
поэтому поле а(М) не является соленоида,Пьным.
Согласно формуле (15.29),
и(х, у, г) = \ (2ху + г) dx + (х' - 2у) dy + xdz + С
М •.\1
Так как функции Р(х, У, г), Q(x, у, г), R(x, у, г) непрерывны и имеют
HerlpepbIBHbIe чаСТllые производные во всех точках пространства R',
то в качесто(' точки Мо(хо, Уа, го) можно ВЗять начало координат
0(0, О, О), а в K~'leCTBe М(х, у, г) - произвольную точку пространства.
Как отмечал ось раиее, криволинейный интеграл второго рода ие зависит
252

ОТ пути интегрирования, поэтому его можно ВЫЧIIСЛИТЬ по ломаной
ОАВМ (рис. 15.12):. . .
U(X,Y,Z)= \ +с= \ + \ + \ +с=
И.\1 И.1 АВ В.\1
_ I Ok у = О, z =:. о, dy =:. О, d~ =:. О, О ~ х ~ Х, 1_
-, АВ .. х= Х, z -=- О,. dx -=-0, d~ -=-0. О ~ У ~ У, -
ВМ .. у=Х, у-}, dx-O, dy-O, O~z~Z
.\ У L
= \о.ах+ \(X'-2Y)1Iy+ \Xi/z=X 2 }:-У'+ХZ.
о ,i ()
z
NIX,Y,Z)
O}-_+--~_--..._
A.Ji--_~
v
х
Рис. 15.12
Заменив в последнем равенстве Х, У, Z на х, у, z, запишем выражение
ДJlЯ ГlОтенциала поля:
и(х, у, z) = х 2 у - у" + х;: + с .....
Пример 2. Проверить, является ли потенциальным поле а = (уг -
- ху) i + (х;: - х' /2 + yz2) j + (ху + y'z) k, найти его потенциал и ВЬГЧIJСлить
соответствующий криволинейный интеграл второго рода по .~инии,
соединяющей точки А(I, 1, 1) и В(2, -2, Э).
~ Учитывая, что Р = у;: - ху, Q = х;: - х 2 /2 + yz2, R = ху + y'z,
находим
rot а(М) =
а
ах ду а;:
у;: - ху х;: - х' /2 + yz' ху + у';:
= (х + 2у;: - х - 2yz) i + (у - у) j + (г - х - z + х) k = О.
Следовательно, поле а - потенциаJ\ьное и существует потенциаjj (см.
формулу (15.29) и пример 1)
и(Х, У, Z) = \ Pdx + Qdy + Rdz + С =
М,.М
Х У l
= ~ О . l/Х + ~ ( - ~2) dy + ~ (ху + у'г) dz + С =
{) () ()
= -Х'У/2 + XYZ + y 2 Z'/2 + с.
j
а
k
а
!53

Замснив Х, У, Z на х, у, 2, ОIШllчателыlO flо.1УЧИМ
а = хуг - х'у/2 + у'г'/2 + С.
Так как в lIоТСНl(иаЛЬНО.\1 ноле КРИВОJlннсiiныii интсграл ВТОрСН'О
рода I1е заВИСIН ОТ нути интегрировання, соеДИНflющего точки А 11 В,
то, COI"JIaCI!O формуле (15.30). нмеем
\ (уг - ху) с/х + (хг - х' /2 + уг') с/у + (ху + у'г) d? =
AlI
= а(В) - Il(А) = 9 .•
Пример 3. доказать, что ФУНКЦIIЯ 1/ = 1 /г, где г = "jx' + у' + г'.
является гаРМОНIIЧССКОИ iI BCI(TOpHOe [1 0,1 С а(М) = grad а(М) - гармо­
Нl1ческое.
~ Прежде всего следуст [lровернть, справеДЛlIВО Лlf. ддя. д·аннОЙ
Ф!"К!t'!И y!}aBlfeHlle Jlанл,н:а (15.:J!). вычнслfl('м д-и/дх", c)1[1/d!1.
д u/дг- и /11/:
dll Х d'll ! 3х'
-;;; = - 7' дх 2 = - 7 + 7;
d'lI 1 :Iy'
-=--+ду'
,.1 " ,
да г d'll 1 Зг'
д; = - 7' дг' = - -;< + 7:
;3 х' + у' + 2' :з з
Ilu = - -" +::;, . = - -. + - = О.
r I r· j r j r"\
Следовательно, уравиеНllе пап,nаса Illl = О удовлетворястсн и данная
функция II = j /, - гаРМОНllческаfl.
Далсе
наКОДllМ
а(М) = grad u(М) = - ,'(xi + yj + zk).
Как известно, го! а(М) = rot grad Il(M) = О ддя любоii функции
и, т е. одно нз условий в опрсделеНlI11 гармонического поля а(М)
ВЫПОЛIlt'НО. Другое условие div а(М) = О также выполняется, поскольку·
cli\' а = di\ grad II(M) =
i~II(M) = О .•
АЗ-15.6
1. Доказать с помощью формулы Стокса, что
Ф yzdx + п-dу + xydz == О,
l'
где l' - любой замкнутый KOIITYp. Результат проверить
путем вычисления интеграла по контуру треугольника
АВС с вершинами А(О. О, О), 8(1, 1, О), С(I, 1, 1).
2. Найти grad div а(М), если а(М) = х 3 ; + y3j + z 3 k.
3. Среда вращается как твердое тело вокруг оси Ог с
254

угловой скоростью w = шk. Найти ротор поля линейных
скоростей V = ~ х г, где г - радиус-вектор двюкущеЙся
точ!ш М(х, у, г). (Ответ: 2шk.)
4. Найти ЦИРКУЛЯЦИЮ поля скоросТ

Самостоятельная
работа
Про верить потенциальность векторного поля а(М),
найти его потенциал и вычисюпь значение соответствующего
криволинейного интеграJJа второго рода по дуге JJИнии,
соединяющей точки А и 8 (А - начаJJО дуги, 8 -
ее
конец).
1. а{М) = 2xyzi +x~zj +x~yk, A(I, -1,2),8(-2,4,2).
(Ответ: 34.)
2. а(М) = (х 2 - 2уг) i + (у2 - 2хг) j + (г~ - 2ху) k, А ~ 1,
-1, 1), 8( - 2, 2, 3). (Ответ: 92/3.)
3. а(М) = (2ху + г2) i + (2ху + х 2 ) j + (2хг + у2) k, А (и,
1, -2), 8(2, 3, 1). (Ответ: 25.)
15.7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 1( ГЛ. 15
ИДЗ-15.1
1. Дана функция и(М) = и(х, у, г) и точки M 1, М 2 . Вы­
ЧИСJJИТЬ: 1) производную этой Функцни В точке М I по на-
~
праВJJению вектора M 1M 2; 2) grad u(M 1).
1.1. и(М) = х 2 у + у2 г + г2 х , M1(1, -1,2), М 2 (3, 4, - 1).
1.2. и(М)=5ху 3 г 2, M 1(2, 1, -1), М 2 (4, -3, О).
1.3. u(M)=II1(x 2 +y2+ z2),M1(-1,2, 1),M2(3, 1, -1).
1.4. u(M)=zex"+y'+z', M1(O, О, О), М 2 (З, -4,2).
1.5. и(М) = Iп (ху + уг + хг), МI (-2; 3, - 1), А1 2 \2,
1, -3). .
_/ 2 2 2
1.6. и(М)= уl +х +у +г, Л-1J(I, 1, 1), М
2 \
2 (3, ,1/.
1.7. и(М)=х

1.14. u(M)=ln(l+x+y 2 +2 2 ), M1(1, 1, 1), М 2 (3,
~I).
1.15. и(М)=х 2 +2у2_42 2 -5, M1(1, 2,1), М 2 (-3,
-2,6).
1.16. u(M)=ln(x 3 +У' 'J +2+ 1), M 1(, 13М ,0),.2(-, 4
1, 3).
1.17. и(М)=х-2у+е г , M 1(-4, -5, О), М 2 (2, з, 4).
1.18. ЩМ)=Х У -3ХУ2, MI(2, 2, -4), M 2 (I, О, -3).
1.19. u(м)=зх 2 У2 3 , M 1(-2, -3, 1), М 2 (5, -2, О).
1.20. u(M)=e"l+ ,M 1 (-5, О, 2), М 2 (2, 4, -3).
1.21. u(M)=X'I:, M 1 (3, 1, 4), J'vЦI, -1, -1).
1.22. и(М) = (х 2 + у2 + 22)3, М I (1,2, - 1), М 2 (О, - 1, 3).
1.23. и(М)=(х-у)', M1(I, 5, О), М 2 (3, 7, -2).
1.24. ЩМ) = х 2 у + у2 2 - 32, M 1 (О, -2, - 1), /\!1 2 ( 12,
-5, О).
1.25. и(М)= 10/(x 2 +y2+ 22+ 1), M1(-I, 2, -2),
М 2 (2, О, 1).
1.26. и(М) = Iп (1 + х 2 - У" + 22), АЧ1, 1, 1), М 2 (5,
-4,8).
1.27.
и(М)= ~ +.J!... -~, M 1( -1, 1, 1), M~(2, 3, 4).
у z х
1.28. и(М)=х 3 + ху 2_6ХУ2, M;(I, 3, -5), М 2 (4,
2, -2).
1.29. и(М)= ~ -.J!... -~, M 1 (2, 2, 2), М 2 (-3, 4, 1).
у z z
1.30. и(М) = е х - уг , M1(I, О, 3), М 2 (2, -4,5).
2. ВЫЧИСJlИТЬ поверхностный интегра"l первого рода по
поверхности S, где S - часть 1U1Oскости (р), отсеченная
координатными
ПJlОСКОСТЯМИ.
2.1. \\(2х+Зу+22)dS, (р): х+зу+z = з. (01'-
5
вет: 15-V~112.)
2.2. \\ (2 + У - 7 х + 92) dS, (р): 2х-у-22 = -2.
5
(Ответ: 12.)
2.3. \\ (6х + У + 42) dS, (р): 3х + ЗУ + 2 = з. (Ответ:
5
9-357 257

8-f3.)
2.4. ~) (х + 2у + Зz)dS, (р): х + у + z = 2. (Ответ:
s
2.5. ).\ (Зх -
s
2у + 6г) dS, (р): 2х + у + 2г = 2. (Ответ:
5/2.)
2.6.~) (2x+5y-z)dS, (р): 5--·=I:::.2y+z=2. (Ответ:
s
7-{6/з.)
2.7.)~(5х-8у-z)(IS, (р): 2х-Зу+z=6. (Ответ:
s
25-Y14.)
2.8.)) (Зу-х-z)(lS, (р;: х - у + z = 2. (Ответ:
s
-20-{З/З.)
2.9.~) (Зу-2х ~'2z)(iS, (р): 2х-!)-2г= -2. (Отs
вет:
З.)
2.10. JJ(2x-Зу+z){iS,
s
!р): х+2у+г=2. (Ответ:
-fб.)
вет:
2.11. \] (5х + У - z)dS, (р): х + 2у + 2г = 2. (Ответ: 5.)
s
2.12. JJ (:3х+2у+ 2z)(iS, (р): Зх+2у+2z=6. (Отs
9y"17.)
2.13. JJ (2х + Зу -
s
z) (IS, \р): 2х + У + z = 2. ( Ответ:
2-{6.)
40-у6.)
258
2.14. JJ(9x+2y+z)dS, (17): 2х+у+г=4. (Ответ:
s

вет:
2.15.~\\:)x+t)!f+8z:L!S, (pi: x+4y+~г=ё. (ОТs
96-{2l.)
2.16.\\(4y-x+4z)d5, (р):
s
х-2у+2г=2. (ОТ6С1":
-1.)
2.17. ~\(7x+y+2z)LI5, (/)): Зх--2у+2z=G. (ОТ-
.\
ВСТ: 17 {17/2.)
2.18. ~\ (2х+Эу+z)d5, (р): 2х +:Зу + z = ti. (ОТs
вет: 18-{14.)
6-{6.)
2.19. \\ (1х -!! + г) d5, (е): х--у +':' = 2. (ОТ6СТ: 8.yJ.)
.\
2.20. ~\ (6х - у + Ьг) а5, (р): Х +!I + 2:; = 2. (ОТ6СТ:
.s
2.21. ~\ (4х - 4u - г) а5, (р): х + 2у + 2г = 4. (ОТs
вет: 44.)
5..)6.)
2.22. \\ (2х + 5у + z) а5, (р): х + у + 2.: = 2. (ОТВСТ:
.~
2.23. ~\ (4х -!I + 4г) (15,
s
(р): 2х + '2у +:; = 4. (ОТ-
вет: 44.)
2.24. \\ (5х + 2у + 2г) (15, (р): х + 2у + z = 2. ( От-
5
вет: 16{3/6.)
2.25. \\ (2х + 5у + 10г) d5, (р): 2х +!! + ~~г = 6. (От-
.s
ВСТ: 56-у'14.)
2.26. ~\(2x+ 15y+z)d5, (р): х+2у+2г = 2. (01'-
.)
вет: 10.)
259

2.27. \\(Зх+ 10y-z)dS, (р): х+Зу+2z=6. (Отs
г--
вет: З5-У 14.)
2.28. \\ (2х + Зу + г) dS,
s
(р): 2х + 2.11 + z = 2. (От-
вет: 7/6.)
2.29. j\ (5х -
s
у + 5z)dS, (р): Зх + 2.11 + z = 6. (Ответ:
З7-{14.)
2.30. j\ (х + Зу + 2г) dS, (р): 2х + у + 2г = 2. (Ответ:
.'>
9/2.)
3. ВЫЧИС"1ИТЬ поверхностный интеграл второго рода.
3.1.\\ (.112 + z2)dydz, где S - часть поверхности парабоs
ЛОllда х = 9 - .112 - г2 (норма"1ЬНЫЙ вектор n которой
образует острый угол с ортом i), отсеченная плоскоСтью
х=О. (Ответ: 81.:1:/2.)
3.2. )\ z 2 dxdy, где S - внешняя сторона поверхности
s
ЭJIлипсоида х 2 + .11:2 + 2г 2 = 2. (Ответ: О.)
3.3. j\ zdxdy + ydxdz + xc!yciz, где S - внешняя стоs
рона поверхности куба, ограниченного плоскостями х = О,
.11=0, 2=О, х= 1, .11= 1, г= 1. (Ответ: З.)
3.4. \\ (г + 1) (!xciy. где S - внешняя сторона поверх-
.,
ности сферы х 2 + .112 + г2 = 16. (Ответ: 256л/З.)
3.5. \\ yzdydz + xzdxdz + xyc!xdlj. где S - веРХIIЯЯ сто­
.s
рона п"~оскости х + у + z = 4. отсечеНlIОЙ координатными
плоскостями. (Ответ: 32.)
3.6. \\ x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy, где S - внешняя стоs
рона сферы х 2 + .112 + г2 = 16, лежащая в первом
октанте. (Ответ: 96л.)
3.7. \\ xciyc!z + ydxdz + zdxciy, где S - внешняя сто­
.'>
рон а сферы х:2 + .112 + г2 = 1. (Ответ: 4л.)
260
3.8. \\ x2dxdy + xydydz + yzdxdz, где S-верхняя часть
.s

плоскости х + у + z = 1, отсеченной координатными плоскостями.
(Ответ: 1/8.)
3.9. ~~ yzdxdy + xzdydz + xydxdz, где S - наружная
s
поверхность цилиндра х 2 + у2 = 1, отсеченная плоскОСтями
z = О, z = 5. (Ответ: 25л.)
3.10. ~~ y2zdxdy + xzdydz + x 2 ydxdz, где S - часть поs
верхности параболоида z = х 2 + у2 (нормальный вектор
n которой образует тупой угол с ортом k), вырезаемая
цилиндром х 2 +у2= 1. (Ответ: л/8.)
3.11. \~ (х 2 + у2) zdxdy, где S - внешняя сторона НИЖ­
.s
ней половины сферы х 2 + у2 + г2 = 9. (Ответ: 324л/5.)
3.12. ~~ x 2 (iydz+ z 2 dxdy, где S - часть повеРХНОСТJI
s
конуса г2 = х 2 + у2 (нормальный вектор n которой образует
тупой угол с ортом k), лежащая между плоскостями
z = О, z = 1. (Отвст: -л/2.)
3.13. \\ (2у 2 - г) (ixdy, где S - часть поверхности паs
раболоида z = х 2 + у2 (нормальный вектор n которой образует
тупой yrO,l с ортом k), отсекаемая ПЛОСКОСтью
г=2. (Ответ: О.)
3.14. (( "dXif!: ' где S - часть поверхности гипер-
J) 'У[ +у"- 1
болоида х 2 + у2 = г2 + 1 (нормальный вектор n которой
образует тупой угол с ортом k), отсекаемая ПЛОСКОСТЯМII
z = О, z =-{З. (Ответ: -2-{З::r..)
3.15. ~~ xydy(iz + yzdxdz + xzdxc!y, где S - внешняя
s
сторона сферы х 2 + у2 + г2 = 1, лежащая в первом октанте.
(Ответ: 3л/ 16.)
3.16. ~\ x 2 dyliz + zdxdy, где S - часть lювеРХНОСТlI
s
параболоида z = х + 2 у2 (НОрУ1зльный вектор n которой
образует тупой угол с ортом k), отсекае:-.1ая плоскостыо
z = 4. (Ответ: 8::r..)
3.17. ~~ x 2 dydz + y 2 dxdz - zdxliy, где S - часть поверхs
ности конуса г2 = х 2 + у2 (нормальный вектор n которой
261

образует острый угол с ортом k), отсеl(аемая плоскостями
z = О и z = З. (Ответ: - 18л.)
3.18. \\ x 2 dydz - z 2 dxdz + zdxdy, где S - часть поверх-
5
ности параболоида z = 3 - х 2 - у2 (нормальный вектор n
которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая
плоскостью z = О. (Ответ: 9лj2.)
3.19. \\ yzdydz - x 2 (lxdz - y 2 dxdy, где S - часть поs
? .) 1) ( U
верхно

ванной конусом x~ = у2 + г2 И плоскостью х = 1. (ОТвет:
л.)
3.27. ~~ 3x~dydz -
s
y 2 dxdz - zdxdy, где 5 - часть по-
верхности параболоида 1 - z = x2~'+ y~ (нормальный вектор
n которой образует острый угол с ортом k). (ОТвет:
-л/2.)
3.28. ~\ (1 + 2x~) dyd2 + y 2 dxdz + zdxdy, где 5 -- часть
s
поверхности конуса х 2 + у2 = г2 (нормальный вектор n
которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостями
z = О и z = 4. (Ответ: 128.:1/3.)
3.29. ~~ x 2 dyd2 + z 2 dxdz + ydxdy, где 5 - часть поверхs
HOCТiI параБОJIонда х 2 + уl = 4 - z (нормальный вектор n
которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая
плоскостью z = О. (Ответ: О.)
3.30. ~~ (у2 + г2) dyd2 - y1dxdz + 2yz 1 dxdy, где 5-
s
часть поверхности конуса x~ + г2 = уl (нормальный вектор
n которой образует тупой угол с ортом j), отсекаемая
плоскостями у = о и у = 1. (Ответ: л/2.)
4. Вычислить поток векторного поля а(М) через внешнюю
поверхность пирамидыI, образуемую ПJ!ОСКОСТЬЮ
и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав
определение потока; б) с помощью формулы
Остроградского - Гаусса.
4.1. а(М) = 3xi + (у + г) j + (х - г) k, (17): х + 3у +
+ z = 3. (Ответ: 9/2.)
4.2. a(M)=(3x-l)i+(у-х+z)j+4zk, (р): 2х­
- у - 2г = 2. (Ответ: 8/3.)
4.3. а(М) = xi + (х + г) j + (у + г) k,
+ z = 3. (Ответ: 1.)
(р): 3х + 3у +
4.4. а(М) = (х + г) i + (2 - х) j + (х + 2у + г) k, (р): х +
+у+г=2. (Ответ: 8/3.)
4.5. а(М) = (у + 2г) i + (х + 2г) j + (х - 2у) k, (р): 2х +
+ У + 2г = 2. (Ответ: О.)
4.6. а(М) = (х + г) i + 2yj + (х + у - г) k, (р): х +2у +
+г=2. (Ответ: 4/3.)
-
4.7. а(М) = (3х - у) i + (2у + гН + (22 - х) k, (р): 2х­
3у + z = 6. (Ответ: 42.)
4.8. а(М) =(2у + г) i + (х - y)j - 2zk, (р): х - у +
+г=2. (Ответ: -4.)
(р)
263

-
4.9. а(М) = (х + у) i + 3yj + (у - z) k, (р): 2х - у­
2z = -2. (Ответ: -1.)
4.10. а(М) = (х + у - z)i - 2yj + (х + 2z) k, (р): х +
+2y+z=2. (Ответ: 2/3.)
4.11. a(M)=(y-z)i+(2х+у)j+zk, (р): 2х+у+
+z=2. (Ответ: 4/3.)
4.12. a(M)=xi+(y-2z)j+(2х-у+2z)k, (р): х+
+2у + 2z = 2. (Ответ: 4/3.)
4.13. a(M)=(x+2z)i+(y-3z)j+zk, (р): 3х+2у+
+2z=6. (Ответ: 9.)
4.14. a(M)=4xi+(x-у-z)j+(3у+2z)k, (р): 2х+
+y+z=4. (Ответ: 80/3.)
4.15. а(М) = (2z - х) i + (х + 2y)j + 3zk, (р):
+ 2z = 8. (Ответ: 128/3.)
х·+ 4у +
-
4.16. a(M)=4zi+(x-у-z)j+(3у+z)k, (р): х­
2у + 2z = 2. (Ответ: О.)
-
4.17. a(M)=(x+y)i+(y+z)j+2(z+x)k, (р): 3х­
2у + 2z = 6. (Ответ: 12.)
4.18. a(M)=(x+y+z)i+2zj+(y-7z)k, (р): 2х+
+3y+z=6. (Ответ: -36.)
-
4.19. a(M)=(2x-z)i+(у-х)j+(х+2z)k, (р): х­
у + z = 2. (Ответ: 20/3.)
4.20. a(M)=(2y-z)i+(х+у)j+хk, (р): х+2у+
+ 2z = 4. (Ответ: 8/3.)
4.21. a(M)=(2z-х)i+(х-у)j+(3х+z)k, (р): х+
+y+2z=2. (Ответ: -2/3.)
4.22. а(М) = (х + z) i + (х + 3у) j + yk, (р): х + у +
+2z=2. (Ответ: 8/3.)
4.23. а(М) = (х + z) i + zj + (2х - у) k, (р): 2х + 2у +
+ z = 4. (Ответ: 8/3.)
4.24. а(М) = (3х + у) i + (х + z) j + yk, (р): х + 2у +
+ z = 2. (Ответ: 2.)
4.25. а(М) = (у + z) i + (2х - z) j + (у + 3z) k, (р): 2х +
+ у + 3z = 6. (Ответ: 18.)
4.26. а(М) = (у + z) i + (х + 6у) j + yk, (р): х + 2у +
+ 2z = 2. (Ответ: 2.)
4.27. а(М) = (2у - z) i + (х + 2у) j + yk, (р): х + 3у +
+2z=6. (Ответ: 12.)
4.28. а(М) = (у + z) i + xj + (у - 2z) k, (р): 2х + 2у +
+z=2. (Ответ: -2/3.)
4.29. а(М) = (х + z) i + zj + (2х - у) k, (р): 3х + 2у +
+ z = 6. (Ответ: 6.)
4.30. a(M)=zi+(x+y)j+yk, (р): 2x+y+2z=2.
(Ответ: 1/3.)
264

Рещение типового варианта
1. Дана функция и(М) = -Vx/z - -{у/х + 2xyz и точки
М, (1, 1, - 1), М2( - 2, - 1, 1). Вычислить: 1) производную
~
этой функции в точке М, по направлению вектора М,М 2 ;
2) grad и(М,).
~ 1. Вычислим производную функции и(М) = и(х,
У, z) в точке М, по
-2,2):
~
направлению вектора М,М2 = (-3,
du(M,) = ди(М) I . cos (х + ди(М) I . cos ~ +
д~ дх M 1 ду М I
+ ди(М) I . cos у,
dz м,
ди(М) = _'_ + ,(у + 2yz ди(М) I = - 2
дх 2z,J; х" ' дх м, 2'
ди(М) = __'_ + 2xz ди(М) I
ду 2х,{у , ду\!, 2'
ди(М) = _ f + 2ху, ди(М) I = 1,
az z az м,
3 -2 2
cos (х = - --=, cos ~ = --, cos у = ~,
-{'7 -{l7 -У'7
ди(М,) = _ 2( __ 3_) _ ~( __ 2_) + 1. _2_ =~.
дЦ 2 -{li 2 -fli. -fli 2-fli
2. Согласно определению,
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
JJ (3х - У + z) dS по поверхности S, где S - часть плоs
скости (р): х + z - 2у = 2, отсеченная координатными плоскостями.
~ Из уравнения плоскости находим:
z = 2 - х + 2у, z~ = - 1, z~ = 2,
265

_ 1"
r;;
dS = V 1 + г/, + г~- dxdy = y6dxdy.
Сводим вычисление поверхностного интеграла к ВЫЧl1слению
двойного интеграла по области D, где D - треУГОоlЬннк
АОВ, являющнйся проекцней поверхностн 5 на ПJIOскость
Оху (рис. 15.13) . Тогда
)\(3х - у + г) dS = \) (Зх - у + 2 - х + 2у) .[6dx(ly =
s
и
() 2 + 'l.ч
= \\ (2х + у + 2)-[6{lxdy =[6 \ dy )' (2х + У + 2)dx=
u -1 П
11 2 +~!I О
=-[6) dy(x 2 + (у + 2)Х)/о =.[6 ) (4 + 8у + 4y~ +
- 1 -1
11
+ 2у + 2у 2 + 4 + 4y)(iy =.[6 \ (6y~ + 14у + 8)dy =
-1
3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
)) (х 2 + г2) dxdz + x 2 (ly{fz - 2z 2 dxdy,
s
г.те 5 - часть поверхности параболоида 4 - У = х 2 + ;гС
(нормальный вектор n которой образует острый угол
с ортом j), отсекаемая плоскостью у = О.
~ Представим данный !IOверхностнь!й интеграл по координатам
в виде суммы трех интегралов и, I1СПОJ1ЬЗУЯ
уравнение параболоида, преобразуем каждый нз них в
двойной интеграл по области D y Су' = 1, 2, 3) (рис. 15.14):
1 = )\ (х 2 + г2) dxdz + x 2 dydz - 2z 2 dxdy = 11 + 12 +1з,
S
где
1, = \\ (х 2 + ;(2)dxdz; 12 =)\ x 2 dydz; 1з =)\ (-2z 2 )dxdy.
s s s
Вычислим последовательно интегралы 1" 12, 1з:
1, = )) (х 2 + г2) dxdz = Ix = р cos ер, z = р siп ер,
и,
'), :г
dxdz = pdpdep I = -~ dep ~ р' dp =

где область DI - круг х 2 + Z2 = 4, У = О, явл.яющиi1ся
проекцией поверхности параболоида на плоскость Oxz. Перед
интегралом /1 ставитСЯ знак «+ », так как нормаль n
к поверхности образует острый угол ~ с осью Оу.
z
z
5
2
4 У
}]
х
р JI С. 15.13 р 11 С. 15.14
Даjlсе,
/2 = \\ x"clyciz = \\ (.}4 - У - z~Ycfyclzs
п.
- \~ (--,)4 - У -z'У(!уdz = \\ (4 - У - Z2) dydz-
V~ п:
- \\ (4 - у - z") dydz = О.
iJ
Координатная плоскость Oyz разбивает поверхность параболоида
на две части х =--/4 - У - Z2 И Х =
= -";4 - У - 22, проекция каждоЙ из которых на плоскость
Oyz есть область D2. Поэтому интеграл /2 можно
представить в виде суммы двух интегралов, перед первым
IIЗ которых надо взять знак «+ », так как нормаль n
к этой части повеРХНОСТII параболоида образует OCTPЫ~
угол с осью Ох, а перед вторым интегралом - знак «- »,
поскольку HopMa.~ь n образует с осью Ох тупой угол.
Аналогично
/3= \\ -2z 2 dxdy= -2\\ (-V4-y-X2)~dxdy+
S
j) j
+ 2 \\ (--V4 - у - x 2 )2dxdy = О.
iJ,
267

Итак,
JJ (х 2 + г2) dxdz + x 2 dydz - 2z 2 dxdy = 8л. ....
.s
4. Вычислить поток векторного поля а(М) = (х + г) i +
+ (2у - х) j + zk через внешнюю поверхность пирамиды,
образуемую плоскостью (р): х - 2у + 2г = 4 и координатными
плоскостями, двумя способами: 1) использовав
определение потока; 2) с помощью формулы Остроградского
- Гаусса.
~ 1. Вычисляем поток векторного поля с помощью
поверхностного
интеграла
п= JJ a·n')dS,
s
где S - внешняя сторона поверхности пирамиды Авео
(рис. 15.15).
Вначале вычислим поток через каждую из четырех
граней пирамиды. Грань АОС лежит в плоскости у = l),
у
Рис. 15.15
4
А "­
х
нормаль к этой грани пn = j, dS = dxdz. Тогда поток Bt:'I

Грань АОВ лежит в плоскости z = О, нормаль к этой
грани ng = - k, dS = dxdy,
П 2 = \\ O·dxdy =0.
/',,~о/З
Грань вое лежит в плоскости х = О, нормаль к данной
грани п~ = -i, dS = dydz,
2 IJ
П З = - \\ zdydz = - \\ zdz \\ dy =
[о/30е () г-2
И, наконец, грань Аве лежит в плоскости х - 2у + 2z­
- 4 = О, нормаль к этой грани
п~ = i - 2j + 2k =
-Уl + 4 + 4
i -
2j + 2k
3
dS=-V 1 +Z~2 +z~' dxdy, z= -
+х+у+2,
z'r = - ~, z~ = 1.
110ЭТОМУ
П 4 = +
_~ ~~ ((х + z) - 2 (2у - х) + 27) dxdy =
_ / 1 3
dS = V I + 4 + I dxdy = :2 dxdy,
= -} ~~ (х + z - 4у + 2х + 2z) dxdy =
=-} ~) (3x-4у+Зz)сlхdу=-} ~~ (3х-4 У -
L\,\/JC
L\'\O/3
') ) 1 (( () )
- -iг х + Зу + 6 dxdy = 2 jj -i2 х - у + 6 dxdy =
/',),0/З
о 2у + '1
= --} ~ dy ~ (~ х - у + 6) dx =
-2 1)
269

n
= ~ ~ dy( ~ х 2 + (б _ у) х) I ,~" 1 =
2
= ~ ~ (~ (2у + 4/ + (6 - YH~) -:- i) (ly =
-~
= ~ ~ З(у2+ 4у + 4 )+12у+24-2у"-4У)(fу=
-2
()
=+ ~ (y2+20y+J6)dy= ~ (~;' + IО!/+З6у)I~~=
!
-')
,)-
далее находим поток через ПО"lНУЮ [юверхность Ш[­
pa~1[[ДЫ АВСО:
2. ВЫЧИСJlИТЬ поток через поверхносТ!~ [iilра~I!!ДЫ АВСО
по формуле Остроградского - Гаусс,]:
Находим
п = rfr (~ + ,)(2 +~) (ixc{Yliz.
JJJ dx I!у д,
I
()р _ д(Х+2) = 1, dQ = д(2у-х) =2, ~ = d" = 1.
их дх dy dy (" (),
ной
Так как интеграл ШdХdуdz равен оБN~'\jУ rrрн:\lOУГОЛЬ­
I ~
пирамиды АВСО, то
П = ~~~ (1 + 2 + 1) dxdydz = 4 ~~~ (!xliydz = з;- ....
l' I ~
ИДЗ-15.2
1. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) по
контуру треугольника, полученного в реЗУ"lьтате пересечения
плоскости (р): Ах + Ву + Сг = D с координатными
270

плоскостями, при положительном направлении обхода
относительно нормального вектора n = (А, В, С) этой
плоскости двумя способами: 1) использовав определение
циркуляции; 2) с помощью формулы Стокеа (15.27).
1.1. a(M)=zi+(x+y)j+yk, (р): 2х+у+2г=2.
(Ответ: 5/2.)
1.2. a(M)=(x+z)i+zj+(2x-у)k, (р): 3х+2у+
+ z = 6 (Ответ: - 24.)
1.3. а(М) = (у + 2) i + xj + (у - 2г) k, (р): 2х + 2у +
+г=2. (Ответ: 2.)
1.4. а(М) = (2у - г) i + (х + 2у) j + yk, (р): х + 3у +
+2г=6. (Ответ: -12.)
1.5. а(М) = (y+z)i+(x+6y)j+yk, (р): х+2у+
+2г=2. (Ответ: 3/2.)
1.6. а(М) = (у + г) i + (2х - г) j + (у + 32) k, (р): 2х +
+ у + 3г = 6. (Ответ: 24.)
1.7. a(M)=(3x+y)i+(x+z)j+yk, (р): х+2у-+
+ z = 2. (Ответ: О.)
1.8. а(М) = (х + г) i + zj + (2х -
+ z = 4. (Ответ: - 12.)
у) k, (р): 2х + 2у +
1.9. a(M)=(x+z)i+(x+3y)j+yk, (р):х+у+2г=
= 2. (Ответ: 4.)
1.10. a(M)=(2y-z)i+(х+у)j+хk, (р): х+2у+
+2г=4. (Ответ: -12.)
1.11. a(M)=(2z-х)i+(х-у)j+(3х+z)k, (р): х+
+у+2г=2. (Ответ: 1.)
1.12. а(М) = (2х - г) i + (у - х) j + (х + 2г) k, (р): х­
-у+г=2. (Ответ: 2.)
1.13. a(M)=(x+y+z)i+2zj+(y-7z)k, (р): 2х+
+ 3у + z = 6. (Ответ: О.)
-
1.14. a(M)=(x+y)i+(y+z)j+2(x+z)k, (р): 3х­
2у + 2г = 6. (Ответ: -3/2.)
-
1.15. a(M)=4zi+(x-у-z)j+(3у+Z)k, (р): х­
2у + 2г = 2. (Ответ: - 1.)
1.16. a(M)=(2z-х)i+(х+2у)j+3zk, (р): х+4у+
+ 2г = 8. (Ответ: 40.)
1.17. a(M)=4xi+(x-у-z)j+(3у+22)k, (р): 2х+
+ у + z = 4. (Ответ: 36.)
1.18. а(М) = (х + 2г) i + (у - 3г) j + zk, (р): 3х + 2у-+
+ 2г = 6. (Ответ: 39/2.)
1.19. а(М) = xi + (у - 2г) j + (2х - у + 2г) k, (р): х +
+ 2у + 22 = 2. (Ответ: -3/2.)
1.20. a(M)=(y-z)i+(2х+у)j+zk, (р): 2х+у+
+ 2 = 2. (Ответ: О.)
271

1.21. a(M)=(x+y-z)i-2уj+(х+2z)k, (р): Х+
+ 2у + z = 2. (Отвст: -5.)
1.22. а(М) = (Х + у) i + 3yj + (у - г) k, (р): 2х - у -
- 2г = - 2. (Ответ: - 2.)
1.23. a(M)=(2y+z)i+(x-у)j-2zk, (р): х-у+
+ z = 2. (Ответ: -4.)
1.24. а(М) = (3x-y)i+(2y+z)j+(2z-x)k, (р):
2х - Зу + z = 6. (Ответ: 12.)
1.25. a(M)=(x+z)i+2yj+(x+y-z)k, (р): Х+
+ 2!) + z = 2. (Отвст: 1.)
'.~6. а(М) = (у -+ 2г) i -+ (Х -+ 2г) j + (Х - 2у) k, (р):
2х + у -+ 2г = 2. (Ответ: -7/2.)
1.27. а(М) = (Х + г) i -+ (г - х) j -+ (х + 2у -+ г) k, (р):
Х -+У + z = 2. (Отвст: О.)
1.23. а(М) = xi + (х --i-- z)j + (у + г) k, (р): 3х + Зу-+
+ z =-= 3. (Ответ: 3/2.)
i .29. а(М) = (3х - 1) i + (у - Х + г) j + 4zk, (р): 2х­
- у - 2г = -2. (Ответ: О.)
1.30. а(М) = 3xi + (у + г) j + (Х - г) k, (р): Х + Зу +
+ z = 3. (Ответ: -6.)
2. Найти величину и направ.'!С'НИС Н3!1боm,Ulего изме·
нения функции u(М) = u(х, !), г) в точке Л1()(хu, Уа, го).
272
2.1. u(M)=xifz, J\ilo(O,' 1, -2). (OTв~T: 2.)
2.2. u(М) = Х уг, М о (2, О, 2). (Ответ. 12.)
2.3. u(М)= ху 2 г , Mu(l, -2, О). (Ответ: 4.)
2.4. и(М)=ХifZ:' М о (3, 0,1). (Ответ: 3.)
2.5. и(М) = Х у'г, М о ( - 1, О, 3). (Отвст: О.)
2.6. u(М) = x~yг2, М о (2, 1, - 1). (Ответ: 4у6.)
2.7. u(М)=ху2 г 2, М о (-2, 1,1). (Ответ:у33,)
2.8. u(М)=у"г-х 2 , лцо, 1,1). (Ответ: -{5.)
2.9. u(М) = х 2 у -+ у2 г , Мо(О, - 2, 1). (Ответ: 4/2.)
2.10. u(М)=х(.ч+z), Мо(О, 1, 2). (Ответ: 3.)
2.11. u(M)=xy-хг, MIJ(-I, 2,1). (Отвст: -/3.)
2.12. u(М) = х 2 уг, M,J( 1, - 1, 1). (Ответ: -{6.)
2.13. u(М)=хуг, М о (2, 1, О). (Отвст: 2.)
2.14. u(М) = хуг2, М о (4, О, 1). (Ответ: 4.)
2.15. u(М) = 2х 2 уг, М о ( - 3, О, 2). (Ответ: 36.)
2.16. u(М)=х 2 уг, МаО, О, 4). (Ответ: 4.)

2.17. u(M)=(X+Y)Z2, Мо(О, -1,4). (Ответ: 24.)
2.18. u(М) = (х + z) у2, М о (2, 2, 2). (Ответ: 12-у;г.)
2.19. u(M)=X 2 (y2+ Z), М о (4, 1, -3). (Ответ: 16-у'6.)
2.20. u(M)=(X 2 +Z)y2, М о (-4, 1, О). (Ответ: -У33.)
2.21. u(M)=x 2 (Y+Z2), М о (3, 0,1). (Ответ: 21.)
2 2 О О
2.22. u(М)=(х -y)z, Mo(l, 3, О). ( твет: .)
2.23. u(М) = х(у2 + Z2), М о( 1, - 2, 1). (Ответ: -fl5.)
2.24. u(М)=х 2 +зу 2_ z 2, Мо(О, О, 1). (Ответ: 2.)
2.25. u(M)=X 2 Z- у 2, Mo(l, 1, -2). (Отвст: -y'2l.)
2.26. u(M)=xz 2 +y, М о (2, 2,1). (Ответ: з-{2.)
2.27. u(M)=x 2 y-z, М о (-2, 2,1). (Отвст: 9.)
2.28. u(M)= xy2- z, Mo(-I, 2, 1). (Отвст: .):з:3.)
2.29. u(М) = у(х + z), Мо(О, 2, - 2). (Отвст: 2-{З.)
2.30. u(М) = z(x + у), М о ( 1, -- 1, О). (Ответ: 2.)
3. Найти наибольшую плотность ЦИРКУjJЯlЩИ векторного
поля а(М) = (х, у, z) в точке Мо(Хо, Уо, zo).
3.1. а(М) = x 2 i - xy2j + z 2 k, Мо(О, 1, - 2). (Отвст: 1.)
3.2. а(М) = xyi + yzj + xzj + xzk, М о (2, О, :3). (ОТвет:
-{13.)
3.3. а(М) = xy 2 i + yz2j -
2{S.)
x 2 k, М о ( 1, - 2, О.) (Ответ:
3.4. a(M)=xzi+zj+yzk, М о (3, О, 1). (Ответ: ].)
3.5. а(М) = xyi + xyzj - xk, М о ( -1, О, 3.) (Отвст:-У2.)
3.6. а(М) = yzi - z2j + xyzk, М о (2, 1, - 1). (Отвст:
-v2!.)
3.7. а(М) = y 2 i - xyj + z 2 k, М о ( - 2, 1, 1). (Ответ: 1.)
3.8. а(М) = xzi - xyzj + x~zk, Мо(О, 1, 1). (Ответ: 1.)
3.9. а(М) = xyi - y2 z j - xzk, Мо(О, - 2, 1). (Ответ:
-{t7.)
3.10. а(М) = xzi - yj - zyk, Мо(О, 1, 2). (Ответ: 2.)
3.11. a(M)=y2i.-ху2).+z:\.Мо(~I, 2,1). (Ответ: 8.)
3.12. а(М) = хуl - ХУ'] - ху-] + z'k, М о ( 1, - 1, 1).
(Отвст: 2.)
3.13. а(М) = (Х + у) i + yzj + xzk, М о (2, 1, О). (ОТвет:
-{2.)
273

3.14. а(М) = xyi - (у + z)j + xzk, М о (4, О, 1). (ОТвет:
з-{2.)
3.15. a(M)=xi-zуj+х 2 zk,Мо(-3,0,2). (Ответ: 12.)
3.16. a(M)=(x+y2)i+yzj-х 2 k, Mo(l, О, 4). (ОТвет:
2.)
3.17. а(М) = xzi - yj + yzk, Мо(О, - 1, 4). (Ответ: 4.)
3;18. а(М) = xyi - xj + yzk, М о (2, 2, 2). (Otbet:-fI3.)
3.19. а(М) = (х + у) i + xyzj - xk, М о (4, 1, -3). (ОТвет:
-[33.)
3.20. a(M)=(x-у)i+уzj-уk, М о (-4, 1, О). (ОТвет:
-/5.)
3.21. а(М) = (у - z) i - z"j + xyzk, М о (3, О, 1). (ОТвет:
з-{З.)
3.22. а(М) = yzi - z2j + (х + у) zk, iV1 0 (1, 3, О). (ОТвет:
3.)
3.23. a(M)=z 2 i-хzj+z 2 k, Mo(l, -2, 1). (ОТвет:
.)6.)
3.24. а(М) = xyi + (х - z) j + (у - x)k, Мо(О, О, 1). (ОТвет:
-{6.)
3.25. a(M)=xzi+(x-у)j+х 2 zk, М о (l, 1, -2). (ОТвет:
1/26.)
3.26. а(М) = (х - z) i + xyj + y2z k, М о (2, 2, 1). (ОТвет:
-{il.)
3.27. а(М) = (х - z) i + xyzj + xk, М о ( -2, 2, 1). (ОТвет:
1/24.)
3.28. a(M)=(y-z)i+уj-z 2 k,М о (-I, 2, 1). (Ответ:
-{2.)
3.29. a(M)=(x-у)i-хj+хzk, Мо(О, 2, -2). (ОТвет:
2.)
3.30. a(M)=(x-z)i-уj+хуk, М о (l, -1, О). (ОТвет:
О.)
4
Выяснить, является ли векторное поле а(М) = (х, у, z)
соленоидальным.
274
4.1. а(М) = (а - (:J)xi + (у - а)п + (/3 - y)zk.
4.2. а(М) = x"yi - 2xy"j + 2xyzk.

4.3. а(М) = (uг - 2x)i + (xz + 2уН + xyk.
4.4. а(М) = (х 2 - z~)i - Зхуj + (уС + z")k.
4.,,). а(М) = 2xyzi - у(уг + l)j + гК.
4.6. а(М) = 2х - Зцi + 2хцj - z 2 k. ~
4.7. а(М) = (х:! - y-)i + (у- - Z2)j + (г-: - x 2 )k.
4.8. а(М) = yzi + (х - y)j + z"k.
4.9. а(М) = (у + z)i + (х + z)j + (х + y)k.
4.10. а(М) = Зх~уi - 2xy~j - 2xyzk.
4.11. a(M)=(x+y)i-2(у+z)j+(z-х)k.
Выяснить, ЯВ,1яется ли вскторНОС ПО.1С а(М) = (х, у, г)
потеНЦI1 ал ьны\].
4.12. а(М) = (уг - 2x)i + (хг + zy)j + xyk.
4.13. а(М) = yzi + xzj t xyk.
4.14. а(М) = 6xyi + (Зх" - 2y)j + zk.
4.15. а(М) = (2х - yz)i + (2х - xy)j + yzk.
4.16. а(М) = (у - z)i + 3xyzj + (z - x)k.
4.17. a(M)=(y-z)i+(х+z)j+(х"-у")k.
4.18. а(М) = (х + y)i - 2xzj - J(y + z)k.
4.19. а(М) = 2~i + (п + y)j + x"yk.
4.20. а(М) = ху(3х -- 4y)i + x~(x - 4y)j + зz 2 k.
4.21. а(М) = 6x~i + З cos (Зх + 2гН + cos (Зу + 2z)k.
4.22. а(М) = (х + y)i + (г - y)j + 2(х + 2)k.
4.23. а(М) = З(х - z)i + (х:' - y:')j + 3zk.
4.24. а(М) = (2;,; - yz)i + (хг - 2y)j + 2xyzk.
4.25. а(Л1) = Зх"i + 4(х - y)j + (х - z)k.
Выяснить, являстся ЛИ ВСКТОРНОС ПОЛС а(М) = (х, У, г)
гармоничсским.
4.26. а(М) = x"zi + y2j - xz"k.
4.27. а(М) = (х + y)i + (у + z)j + (х + zjk.
4.28. а(М) = ~ i + L j + !..- k.
у z х
4.29. а(М) = yzi + xzj + xyk.
4.30. а(М) = (у - z)i + (2 - X)j + (х - у) k.
Решение типового варианта
1. ВЫЧИСJIIJТЬ ILI1РКУЛЯЦИЮ вскторного ПОi]Я а(М) =
= (х - 2z)i + (х + Зу + z)j + (5х + y)k по контуру ТРСугольника,
получснного в рсзультате псресечения пло­
СКОСПI (р): х + у + z = 1 С КООРДlIнатными плоскостями,
при ПОЛОЖ!1теЛЬНОI\1 напраВЛСНИI! обхода относительно
НОРМ3ЛЬНОI'О всктора n = (1, 1, 1) этой ПЛОСКОСТИ двумя
275

способами: 1) использовав определение циркуляции;
2) с помощью формулы Стокса (15.27).
~ в результате пересечения плоскости (р) с координатными
плоскостями получим треугольник Аве
z
1 С
1
в
у
х
Рис. 15.16
(рис. 15.16) и укажем на нем положительное направление
обхода контура АвеА в соответствии с условием задачи.
1. Вычислим циркуляцию е данного поля по формуле
(15.25), в которой обозначим dl = -;°dl:
е = фа. dl = J а· dl + J а· dl + J а· dl.
AIJ!.'.4 М! не 1;,1
На отрезке АВ имеем: z = О, х + у = 1, У = 1 - х,
dy= -dx,
а = xi + (х + Зу)j + (5х + y)k, dl = dxi + dyj,
а· dl = xdx + (х + Зу) dy,
J а· dl = \ xdx + (х + Зу)dу =
()
J (х - х - З(I - x»)dx =
Al! .IIJ I
(: .' . ( :3х" ) 1 о :)
=J(.3х-З)dх=~-Зх 1=2'
I
I-Iа отрезке ве верны соотношения: х = О, У + z = 1,
z = 1 - у, (1г = -dy,
а = -2zi + (Зу + z)j + yk, dl = dyj + dzk,
а· dl = (Зу + z)dy + ydz,
J a·dl= J (Зу+ z)(1y+ydz=
jj(.'
IJC'
=\ (Зу+ I-y-y)dy=( (у+ I)dy= (у+
J J
1/1° =-2
2 I 2 .
I
I
276

На отрезке СА имеем: у = О, х + z = 1, dz = -dx,
а· d1 = (х - 2z)dx + 5xdz,
) а· d1 = ) (х - 2z)dx + 5xdz =
СА
СА
2 I
= ) (х - 2 + 2х - 5x)dx = ) (- 2х - z)!ilx =
u
о
= (х" - 2x)lb = -3.
Следовательно,
3 3
С=- -- -3= -3.
2 2
2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью
формулы Стокса (15.27). Для этого определим
rot а(М) =
i
j
k
д
д
д
дх
ду
дг
х-2г х + 3у + z 5х+у
= -7j + k.
в качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем
боковую поверхность пирамиды ОАВС:
где
S = SOCA + SOAB + SOBC.
По формуле Стокса имеем
Следовател ьно,
С =)) rot а· по dS =)) rot а· dS,
s
s
dS = dydzi + cixdzj + dXdyk, (rot а· dS) =
= - 7 dxdz + dxdy.
С =)) - 7 dxdz + dxdy = - 7 )) dxdz + )) dxdy = - 3. ...
.) 51),1С SOll8
2. Найти велнчину и направление наибольшего изменения
функции и(М) = 5x~yг - 7xy~г + 5 хуг 2 В точке
М о (l, 1, 1).
~ Находим частные производные функции и(М) в
любой точке М(х, у, г) и в точке М о :
ди(М) = 10хуг -7 у 2 г + 5уг" ди(М о ) = 10 - 7 + 5 = 8,
дх ' дх
277

ди(М) 2 14 ,)
-- =5х z- xyz+5xzду
,
ди(М о ) =5-14+5= -4,
ду
дu(М) ., ,) ди(

2. ВЫЧИСJ!l1ТЬ массу попсрхности куба О ~ х ~ 1, О ~
~ у ~ 1, О ~ z ~ 1, если поверхностная плотность в точке
MI,X, у. г) равна хуг. (Ответ: 3/4.)
3. Вычислить координаты центра масс конической поверхности
г2 = х + 2 у2, О ~ Z ~ 1, если ее плотность в
каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки
до оси конуса. (Ответ: (О, О, 3/4).)
4. В каких точках пространства градиент скалярного
поля u(М) = к' + у3 + г'3 - 3хуг: а) Гlерпендикулярен к
оси Ог; б) равен нулю? (Ответ: а) г2=ху; б) х=у=г.)
5. ВЫЧИСЛНТL наибо.~ьшую скорость возрастания скалярного
поля u(М) = х 2 у + у2 г + г2 х В точке М о (2, 1, 2).
(Ответ: -{209.)
6. Показать, что в точке А(4, -12) производная функции
z = Х\ + 3х + 2 6ху + у2 по любому направлению равна
нулю.
7. Уравнения движения материальной точки: Х = t,
У = { 2 , Z = ,3 С I

ПРИЛОЖЕНИЕ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ,. (2 ЧАСА)
J. Изменить порядок интегрирования.
2 4-х:'> 3 >/25-Х'
1.1. \dx \ Ь(х, y)dy. 1.2. \dx \ Ь(х, y)dy.
IJ 4-2х' О './9_х 2
4 '1125 _ у2 1 4-у'
1.3. \dy
1 Ь(х, y)dx. 1.4. \dy \
о З>/у/2 U 2у+ 1
Ь(х, y)dx.
4 7-у 4 >/25-Х'
1.5. \dy \ Ь(х, y)dx. 1.6. \dx \
Ь(х, y)dy.
IJ у/4+ 1 О О
2 2';-; 4 у+4
1.7. \dx \ Ь(х, y)dy. 1.8. \ dy \
u х"/4 -2 ~/ /2
1 4 2 у'+2
1.9. \ dy \ Ь (х, у) (lx. 1.10. \dy \
-2 1/ О у'
2 х" /2 + 2 1 2-х
1.11. \dx \
Ь(х, y)dy. 1.12. \dx \
о 2х х'
~/4 л/2-у 2 12х
1.13. \ dy \
Ь(х, y)dx.
Ь(х, y)dx.
Ь (х, y)(ly.
Ь(х, y)dx. 1.14. \ dx \ Ь (х, y)dy.
IJ у О зх 2
1 I-y 1 х"+ 1
1.15. \dy \
Ь(х, y)dx. 1.16. \ (lx \
'! - VI-y' II -1
1.17.
J 1
dx \
2 х+'2 1 х'
Ь (х, y)(ly.
ь (х, Y)liy. 1.18. Jdx \,Ь(х, y)dy.
x~ о -х
1 3-ц О I+y
Ь(х, y)dx.
'2у2. -1 -I-y
1.19. \ (/у \ Ь(х, y)dx. 1.20. \ dy \
I-y 1 З-х
1.21. \dY \
Ь(х, y)dx. 1.22. \dx \
о -~ о 2х 2
Ь(х, y)dy.
1 2-2у :Jy/2 +4
1.23. \dy \ Ь(х, y)dx. 1.24. \dy \
Ь(х, y)dx.
280
о I-y U у/2+ 1

l+х 4/5 З-:Jу/2
1.25. \ dx \ Ь (х, y)dy. 1.26. \ dy \
Ь(х, у) (lx.
-1 -~
О l+у
1 у 1 "';1_1

2.17. ((( ге{7+;' dxdYllz, ~': х" + у' + г' = 1, г;::? о.
ЧJ 'Vk+y'+z 2 )1
2.18. \\\y 2 dxdydz, ~f: /+9"= 1. г'~=x'+y'. г;::?О.
~.
2
2.19. (се z dxdydz , V: x"+y'+z';::?I,x'+9"+z2~4,z;::?O.
Ч J -V x ' + у' + г 2
2.20. Ш dxdydz, 1/: х' + у' = 4. г = 5 - (х' + у"), г;::? О.
v
zdxdydz
2.21. .
))~
~. 'УI - х' - у'
2.22. \\\ (х - 2)dXllydz,
1!
2.23. \\\ (у + 1 )dxdYllz. V: у=З-Ух'+г? х'+г'=36. у=О.
~'
2.24. Ш zdxdydz, ~;: г = 5 + у'), х' + у' = 2, г = О,
v
2.25. Ш (х + З)dхсlуdг. 1/: 2х=у'+г'. у'+г'=4. х=О.
~ .
2.27. Ш (у" + z')dxcl!Jdz, V: х =, у' + г', х = 9.
l'
2.28. \\\(x' + y')clxdydz. 1/: 2z=.l'+y'. х'+у'=4. z=O.
v
2.29. \II(х + 4)dxdYlfz.
v
2.30. Ш (у - 3)dxdydz,
l'
1': 2x=y'+z'. у'+г'=4, х=О.
V: 4у=у/х'+г'. х 2 +г'= Iб. у=о.
3. Проверить, нвляетсн ли Даllное ВЫРJжеНfrе ПО.1НЫМ дифференциалом
функции u = u (х. у). I-IJипr ФУНIщrrю u = 11 (х, у).
282
3.1. (sirl" У - У siп 2х + 1 /2)dx + (х siп 2у + С05' Х + I)dy.
3.2. (у/х + Iп у + 2x)dx + (Iп х + х/у + I)dy.
3.3. (х' - 2xy)dx + (у" - 2ху) (ly.
3.4. (y/-V1 - х'у' + x')dx + (x/-V1 - х'у' + y)dy
3.5. ( ,х " + 2Х) dx + ( ,У, - 2 У ) dy.
х- + У- х- + у-
3.6. ( У 2) - 1) (lx + ( х " - 1 о) dy.
1 + х у- 1 + х' у-
3.7. (у'е'" + З)dх + (2хуе'" - I)dy.
3.8. (siп х + cos х cos у/siп' x)dx + (sin у/siп х - cos y)dy.

1 -у 1 - 2х
3.9. -0- (lx + --"- dy.
Х'у
ху'
3.10. ( у2 ., _..!..) dx + ( х" о
(х + У)' х (х + ц)'
3.11. (:3х'у - y')dx + (х' + 3xy")dy.
3.12. (..!.. - У,) dx + (..!.. - ~~) dlj.
у Х' х у'
3.13. ( " У, _ 1) dx _ -" _Х_, dy .
. С + !Г х" + У'
3.14. (3.

4.6. \ xdy + ydx, L ABe - контур треУГОЛЬНIlка с вершннами
LAHC
A(-I, О), 8(1, О), С(О, 1).
4.7. \ .!Ldx+xdy, L Mi : У= In х от точки А(I, О) до точ[{и 8(е, 1).
1".~B х
4.8. \ xeX'dy + ydx, I~Иl: у=х 2 ОТ точки 0(0, О) до точки A(I, 1).
LOA
4.9·. \ (х 2 + y)dx + (х + у2) dy, L AB - отрезок прямой, заК.lюченныЙ
'~/1B
между точками A(I, 2) и 8(3, 5).
4.10. \ (ху - I)dx + x 2 ydy, L AB - отрезок прямой, заключенный
LAB
между точками A(I, О) и 8(0,2).
4.11. \ cos ydx - sin xdy, L AB - отрезок прямой, заключенный
I·АВ
между точками А(2, -2) и 8(-2, 2).
4.12. \ xdy + ydx, LOAB - контур треугольника с веР"Iннами
I.O.4fi
0(0, О), А (3, О), 8 (О, 2).
4.13. \ (х + y)dl, L OAB - контур треугольника с вершинами
LOAfi
0(0, О), А (2, О), 8(0, 2).
4.14. \(х + y)dl, L - первый лепесток ЛСМIIнскаты БеРНУЛJrи fJ2 =
L
= а 2 cos 2,р.
4.15. Ф ух' + у' dl, L - окружность х 2 + у2 = ах.
L
4.16. \ y"dl, L - первая арка циклоиды х = аи - siп t), У =
= а(1 - cos '" t).
8(1, 1).
4.17. \ x!Jdx + (у - x)d!J, L on : У = х' ОТ точки 0(0, О) до ТОЧЮI
LOB
~
dl L .. ..
4.18. , () 1 - отрез()к прямон, соединяющии точки
1'()А
0(0, О) И А(I, 2).
-{;'+ у' + 4
4.19. \ 2xdy + ydx, L 48 : х=у' от ТО'IКИ A(I, 1) до точки 8(4, 2).
Clli
4.20. r -.)-~, 1" - первый виток винтоВой линии x=4cosl,
jг+у+г
f-
у = 4 Sil1 t, Z = 31.
284
4.21. фуе'dl, L --- окружность / + у' = 3.
,.

4.22. ф(2х + y')d/, L --- ОКРУЖНОСТI, х' + у' = 1.
4.23. ф(х' + у') lll, L - окру,кность х = 2 cus {, У = :2 siп {.
1.
~
х'{1I
4.24., . L - эл.~ИПС х= 4 cus 1, У = sin {.
L -Ух' + 16у '
4.25. \ (х' + y')dx + (х" - Y')lfy, L,).1В - "онтур треугольника с
LПА/J
вершннамн О(О. О). А (1. о). 8(0, 1)_
4.26. \(аГСSiП у - x 2 )d/. L - дуга ОhРУЖНОСТII х = cos 1, У =
1.
=sin 1(0";; (,,;; :1/4)_
4.27. \ x'ydx + ye,+2dy, С1В - отрезок прямой, заключенный
LAB
между точками A(l, 1) и 8(2, 3)_
4.28. r y,lx + ~ dy. L.-IB дуга hрИВОЙ у = е- Х от точки А (о, 1)
) У
I-АЛ
до Т04 КI1 lЗ (1. 2)_
4.29. \ 2xydx + x 2 dy, L п . 1 : у = х 3 от TO'IKII 0(0, О) до ТОЧЮI А (1, 1).
I.OA
4.30. \ (ху + x')ll/, L IП - UrfH.':J()K нрямuii, заключенныii между
1 .. 18
точками A(I, 1) и В(:), :3)_

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Учебники и учебные пособия
1. БуерОВ П. с., НUКО.1ЬСlillil С. ;\1. ДllффС!1С111(1"!ill,НЫС y:)"r,lIl·!lIIH.
К[1атны(' III1ТСГ[1алы. РНДLI. ФУНIЩIIII К(ШП.'IС"СIIОГ() II('PC~ICIII!()I ().- ,\l.:
Наука, 1981. - 448 С.
2. ЖСВНflli Р. М., lI.аРI1УК А. А. 81,IС!llая MCITCMaTJlKa: В 5 '1.- MII.:
ВЫlll. 1111(., 1984 1988.- Ч. ;'.- 191-;;) ... 2,18 С.; Ч. 4.- 19Ю ... 24() с.
З. ИЛЫLН Н. А., fIO::N.(lh- Э. Г. ОСIJОВ!)! :,l~!Тl':\I~IТI!Чl'СhОI (3 (l!!а,:НIЗ~I:
В 2 ц.- М.: fl

ОГЛАВЛЕНИЕ
п р е Д и с ,1 О IJ 11 (' . :3
МСТОДIlчеСI(lIе рекомендаЦI1И 5
12. РЯДЫ
12.1. ЧНС'\оВI,IС рЯДЫ. ПРl1знаЮI СХО111МОСТI1 ЧИСJlОВЫХ ряд-в 9
]2.2. ФУНКllНОI11l.1L!!ые и CТl'lleBllble РЯДЫ. 18
12.:3. Фор~;улы и ряды TCfi"lopa 11 MaK:lopella. РаЗJiOженне ФУIJlщиii
в

15.6. Дифференциальные операции второго порядка. Классификация
векторных полей . 250
15.7. Индивидуальные домашние задания к гл. 15. 256
15.8, ДОПОЛlIительные задаЧII к гл. 15 278
При Jl О Ж е н I1 С
Рекомендуемая литература
280
286
Учебное
издаl!ие
Рябушко Антон ПСТРОIJИЧ, Бархатов Виктор В.'lаДН\lИjJОВНЧ,
Державец Вера Владимировна, Юруть Иван Ефимович
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
ПО
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В трех
частях
11 а ё т ь 3
Заведующий редаКl(ией П. д. Духвалов. Редактор М. С. Молчан
о в а. МлаДIllИЙ редактор В. М. К у ш и Jl е в и ч, ХуДОЖНИК переплета
и художеСТlJенный редактор Ю. С. с е р г а ч е в. Технически;'; редактор
Г М, Р о м а н ч у к. Корректор Т. К. Х в а Jl ь
СЛ:~]1!О В Нt)бор 1804.90. П{))!IJНС3IЮ н fll"131!> I t.tH 91 ФОР'V1