L - Помощь студентам

I
I
~ sin(x2)dx= ~(x2_ ;~ + ~!O _ ... +(_1)"-1
v
( хЗ
О
х 4n - 2 )
(2п _ I)! + ... dx=
х 7 х" х'''-I )11
= Т-7-3!+rт-:Б!-···+(_J)n-1 (4n-I)(2n-I)! + ... 10=
1 1 1 ,,_1 1
=З-7-3!+rт-:Б!-···+(-I) (4n-I)(2n-I)! + ... ;:::;
1 1
;:::; 3 - 7-3! = 0,3333 - 0,0381 = 0,295,
поско,~ьку уже третий член полученного знакочередующегося DЯД3
меньше 6 = 10- 3 .....
r sin х
Пример 6. Найти интеграл) -x-dx в виде степенного ряда и
указать область его сходимости.
~ Воспользuвавшись формулой (12.19), IJОЛУЧИМ ряд для подынтеГРi1льноtl
функцни
1 х 2 х 4 х'2l1- 2
-siпх=I-- з , +-5' - ... +(-IГ 1 (2 _1)1 + ..
х .. n .
Он сходится на !!сей числовой прямой, и, следовательно, его можно
почленно
интегрировать:
( sin х х З х"
) -х- dx = С + х - "3.3! + 5:5! - ... +
х'2l1- I
+ ( - I)n (2п _ 1) (2п _ I)! + .. '
Так как при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости
не изменяется, то IJолученный ряд сходится также на всей
числовой прямой. ....
Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае,
когда точНо проинтегрнровать дифференциальное уравнение с помощью
элементарных функций не удается, его решен не удоБНо искать в Вllде
степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
используется ряд Тейлора
у' = {(х, у), у(хо) = уо,
(12.22)
у(х)=
fl=O
(")(х)
JL_,_O_(x -
fl.
Хо)",
( 12.23)
где у(хо) = уо, у' (Хо) = {(хо, уо), а остальные производные У(n)(Хо) (Il = 2,
3, ... ) находятся путем последовательного дифференцирования уравнения
(12.22) и подстаНОIJКИ начальных даl1НЫХ в выражения для этих
производных.
Пример 7. Найти пять первых членов разложения в степенной
ряд решения днфференциального уравнения !I = х" + у 2 , если у( 1) = 1
31