L - Помощь студентам

При 'хl < 1 ря,J, (2) сходится абсолютно, так как его радиус
сходимости R = 1, что легко устанавливается с помощью признака
Д'Аламбера.
I+х
Поскольку "'I'=X'" = 2 при х = 1/3, то, подставив это значение х
в ряд, получим
IП2=2(~+_I_з +-1-5 + ... +---~.,-, + ... ).
3 3·3' 5·3 (2n-I)3'n-
Для вычисления 'П 2 с заданной точностью необходимо найти такое
число n членов частичНой суммы S", при котором сумма остатка Iг,,1 <
< б. В иашем случае
fn=2C2n+I~.32"+' + (2n+3~.32n+J + .. ) (3)
Поскольку числа 2n + 3, 2n + 5, '" больше, чем 2n + 1. то. заменив их
на 2n + 1. мы увеличим каждую дробь в формуле (3). Поэтому
2 (1 1 )
г ,. < 2n + 1 з2,,+1 + з Zn + J + ... =
2 ( 1 1 )
= (2n+I).32n+1 1+9+81+'" =
2 1
(2n+I).3 Z "+' 1-1/9 4(2n+I)·3 Zn - 1
Путем подбора значений n находим, что для n = 3 г" < 0,00015,
при этом Iп 2 = 0,6931. ....
Пример 2. Вычислить -ге с точностью б = 0,001.
~ Воспользуемся разложением в степенной ряд функции е Х (см.
формулу 12.17), в котором примем х = 1/2. Тогда получим
_Г 1 1 1
-уе= 1 + -- + --2 + ... + --" + ...
2 2!·2. n!·2
Остаток этого
ряда
1
----------~< ---------
(n+k)!.2,,+k (n+I)!.2" 2"'= (n+I)!.2 n '
k=1 k=1
так как (n+I)I«n+2)!< ... При n=4 г < -1-