Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд<br />
\' (_ 1)" - 1 2n + 1 .<br />
n(n+l)<br />
L<br />
п=1<br />
~ Так как члены данного знакочередующсгося ряда монотонно<br />
убывают и<br />
2n+ 1<br />
lim<br />
п-оо n(n + 1)<br />
= О, то, согласно пр"з"аку Лейбница, ряд<br />
(1) сходитСя.<br />
Рассм'отрим теперь ряд, составленный из абсолютных величин членов<br />
ряда (1), т. е. ряд<br />
(1 )<br />
2n+ 1<br />
n(n+ 1)'<br />
(2)<br />
2х+ 1<br />
общий член которого задается функцией [(х) = х(х + 1) при х = п.<br />
Найдем<br />
( 2х+ 1 dx= lim ((~ + _1_)dX=<br />
) х(х+ 1) В_оо) х х+ 1<br />
I<br />
I<br />
= lim (In \х\ + IIl\Х + 1\) I~ = lim (In В(В + 1) -In 2) = 00.<br />
8 __ 00 8--+00<br />
в<br />
Следовательно, ряд (2) расходится, и поэтому ряд (1) сходится<br />
условно. ~<br />
Пример 10. Вычислить сумму ряда·<br />
1 1 (1)2 1 ( 1 )3 1 ( 1 )"<br />
"2+2Т "2 +31 "2 + ... +;;т "2 + ...<br />
с точностью б = 0,001.<br />
~ Всякая п-я частичная сумма схоДящегося ряда является приближением<br />
к его сумме с точностью, не превосходящей абсолютной<br />
величины остатка этого ряда. Выясним, при каком количестве членов<br />
n-й частичной суммы выполняется неравенство I г" I ~ б.<br />
Так<br />
Для данного<br />
ряда<br />
1 (-21 )"+1 + (1 )n+2<br />
Г n = (n + ')! -;(-n -:+-2""')-:-!"2 + ...<br />
как (n + I)! < (2n + 2)! < (2n + 3)! < ... , то<br />
Г" ~ (n ~ I)! (+)"+1 (1 + ~ + (~y + .. .) = -:-(n-+--I)"-:-! (iY·<br />
Путем подбора легко найти, что г ,. < < 0,001 при n = 4. Сле-<br />
120·16<br />
Довательно, сумма данного ряда (с точностью б = 0,001)<br />
14<br />
1 1 1 1<br />
S ~ 54 = 2' + "8 + 48 + 384 = 0,648. ~
Change language