Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

2. Aktualny stan wiedzyBadania w zakresie szybkiego obliczania transformacji wielomianowych dla specjalnychkonfiguracji punktów były prowadzone przez wiele lat. Szczególnym przypadkiemjest słynny algorytm FFT [Cooley i Tukey, 1965; Mateer, 2008] obliczaniadyskretnej transformacji Fouriera oraz algorytm obliczania transformacji do niejodwrotnej. Algorytmy te pozwalają na przechodzenie pomiędzy reprezentacją wielomianuwzględem bazy Lagrange’a z węzłami interpolacji 1, ω, . . . , ω n−1 , gdzie ωjest pierwiastkiem pierwotnym z jedności stopnia n = 2 k , a współczynnikami rozwinięciatego wielomianu względem bazy potęgowej, nazywanej też bazą Maclaurinalub Taylora. Ważny algorytm ewaluacji wielomianów tj. transformacji z uwzględnieniembaz potęgowej i Lagrange’a dla punktów, które tworzą ciąg geometryczny,został zaproponowany w [Rabiner i inni, 1969] (zob. też [Aho i inni, 1975]). Algorytmten redukuje obliczanie uogólnionej dyskretnej transformacji Fouriera do obliczeniasplotu. Złożoność obliczeniowa wymienionych algorytmów wynosi O (n log n), podczasgdy złożoność obliczeniowa innych, klasycznych algorytmów jest równa O (n 2 )lub w najlepszym przypadku O ( n log 2 n ) [Borodin, 1971; Aho i inni, 2003].Powszechnie znanym algorytmem obliczania wartości wielomianu dla danegopunktu jest algorytm Hornera. Stosując ten algorytm dla n dowolnych, paramiróżnych punktów uzyskuje się algorytm pozwalający na przechodzenie pomiędzyreprezentacją wielomianu w bazie potęgowej (lub Newtona) do reprezentacji tegowielomianu w bazie Lagrange’a, który wymaga wykonania O (n 2 ) operacji arytmetycznych.Algorytmem o mniejszej złożoności obliczeniowej równej O ( n log 2 n ) jestalgorytm typu ”dziel i zwyciężaj” polegający na rekurencyjnym dzieleniu zbiorupunktów na połowy i wykonywaniu obliczeń oddzielnie dla każdej z otrzymanychczęści [Borodin, 1971; von zur Gathen i Gerhard, 2003].Uogólniony algorytm transformacji Maclaurina-Lagrange’a, tzn. algorytm po-10