Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Nowe algorytmy ewaluacji i interpolacji jednowymiarowejgdzieα≠1y i =n−1 ∑k=0f k =a k ((γ (1 − α) − β) α i + β) k n−1 ∑(1 − α) k =((1 − α) γ − β)kk!n−1 ∑r=kPowyższy wzór można zapisać równoważnie jakok=0β r−k r!a r(r − k)! (1 − α) r .f k α ik , (4.16)f k = v n−1−k z k , (4.17)gdzie elementy wektorów z = (z k ) n−1k=0 i v = (v k) n−1k=0są zdefiniowane następująco((1 − α) γ − β)kz k = , k = 0, 1, . . . , n − 1,k!v = w ⊗ t, w = (w k ) n−1k=0 , t = (t k) n−1k=0 ,w k = βkk! , t k = (n − 1 − k)!a n−1−k(1 − α) n−1−k .(4.18)W konsekwencji z (4.14) i (4.16) otrzymuje sięy = ( g ˜⊗h ) · b,gdzie współrzędne wektorów g = (g k ) 2n−2k=0 , h = (h k) 2n−2k=0 i b = (b k) n−1k=0są zdefiniowanewzoramib k = α − k2 2 , k = 0, 1, . . . , n − 1,{fn−1−k bg k =n−1−k , k = 0, 1, . . . , n − 1,0, k = n, n + 1, . . . , 2n − 2,(4.19)h k = k22 , k = 0, 1, . . . , 2n − 2.Zatem obliczenie transformacji Maclaurina-Lagrange’a dla punktów spełniającychzależność rekurencyjną (4.15) wymaga obliczenia splotu - w celu wyznaczenia współczynnikówpewnego wielomianu, a następnie obliczenia wartości tego wielomianuw punktach, które tworzą ciąg geometryczny. Ostatecznie, przy założeniu, że c (dn)jest rzędu O (c (n)) dla d > 0, złożoność obliczeniowa tego algorytmu jest równaO (c (n)). Prowadzi to do następującego twierdzenia:30