Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Nowe algorytmy ewaluacji i interpolacji jednowymiarowejAlgorytm 4.6. Transformacja Newtona-Lagrange’a dla parami różnych węzłówx 0 , x 1 , . . . , x n−1 generowanych wzorem x i = αx i−1 + β, i = 1, 2, . . . , n − 1, x 0 = γ.Input: Wektor c = (c 0 , c 1 , . . . , c n−1 ) ∈ K n , skalary α ≠ 0, β i γ ∈ K.Output: y = N(c) ∈ K n .1. Przypisz p 0 = c 0 , r 0 = 1, δ = (α − 1) · γ + β, s = 0, v = 1/α i w = 1.2. Dla k od 1 do n − 1 wykonaj:2.1. v = v · α, w = w · v · δ, p k = c k · w,2.2. s = s · α + 1, r k = r k−1 · s.3. Oblicz y = p ⊗ 1.r4. Wykonaj mnożenie po współrzędnych y = y · r.4.4. Ewaluacja wielomianów w bazie potęgowejTransformacja Maclaurina - Lagrange’aM : (a i ) n−1i=0 → (y i) n−1i=0jest przekształceniem odwzorowującym wektor współczynników a = (a i ) n−1i=0 reprezentacjiwielomianu w bazie potęgowej (4.5) na wektor współczynników y = (y i ) n−1i=0reprezentacji wielomianu w bazie Lagrange’a (4.2). Wyznaczenie tej transformacjijest równoważne obliczeniu n wartości wielomianu (4.5):y i =n−1 ∑k=0a k x k i , i = 0, 1, . . . , n − 1. (4.13)Szczególnym przypadkiem tej transformacji jest dobrze znana dyskretna transformacjaFouriera w punktach x i = ω i (i = 0, 1, . . . , n−1), gdzie ω jest pierwiastkiempierwotnym z jedności stopnia n. Można ją obliczyć słynnym algorytmem FFT o złożonościobliczeniowej O(n log n) [Cooley i Tukey, 1965]. Jeśli punkty x 0 , x 1 , ..., x n−1tworzą ciąg geometryczny x i = γα i (i = 0, 1, ..., n − 1, γ ≠ 0) i istnieje element odwrotnyα −1 ∈ K, to transformację Maclaurina-Lagrange’a można wyznaczyć uogólnionymalgorytmem DFT o koszcie c (2n − 1)+O (n). Jest to konsekwencją poniższej28