Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Aktualny stan wiedzydwuwymiarowej transformacji Newtona-Lagrange’a na siatce kartezjańskiej zostałzamieszczony m.in. w [Kincaid i Cheney, 2006]. Opis tej transformacji dla dowolnejliczby wymiarów można znaleźć w [Sauer, 1995]. Ponadto, w wymienionej pracy omówionosposób przechowywania w pamięci komputera wielomianu wielu zmiennychw postaci wektora współczynników o ustalonym porządku (np. leksykograficznymlub odwróconym leksykograficznym) oraz wykonywania podstawowych operacji natych wielomianach. Można tam również znaleźć rekurencyjny algorytm Hornera dlawielomianów wielu zmiennych, czyli algorytm obliczania wielowymiarowej transformacjiMaclaurina-Lagrange’a.Algorytmy interpolacji i ewaluacji wielomianu d-zmiennych z uwzględnieniemróżnych reprezentacji wielomianowych (potęgowej, Lagrange’a, Newtona, Beziera-Bernsteina) były i są nadal przedmiotem badań [Pe¨na i Sauer, 2000; Sauer, 1995;Gasca, 1989; de Boor, 2000]. Interesujące, ujednolicone podejście do algorytmówewaluacji wielomianów d zmiennych stopnia n, polegające na zastosowaniu L-bazi B-baz, zaprezentowali w swoich pracach Suresh Lodha i Ron Goldman [1995, 1997,1998]. Proponowane przez nich algorytmy uwzględniają różne reprezentacje wielomianum.in. potęgową, Newtona i Lagrange’a. Złożoność obliczeniowa podanychprzez nich algorytmów ewaluacji wielomianów w jednym punkcie wynosi O ( n d) .Opracowane przez autora niniejszej rozprawy nowe algorytmy obliczania dwuwymiarowychtransformacji wielomianowych z uwzględnieniem baz Lagrange’a i Newtonadla punktów, które spełniają równanie rekurencyjne pierwszego rzędu zostałyzaprezentowane w [Kapusta i Smarzewski, 2007b]. Natomiast uogólnienie tych algorytmówna wiele wymiarów zostało przedstawione w [Kapusta i Smarzewski, 2009].12