Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Nowe algorytmy ewaluacji i interpolacji jednowymiarowejpokazane w algorytmie 4.3. Ponadto przy dodatkowym założeniu, że w ciele K istniejąpierwiastki pierwotne z jedności ψ i ω = ψ 2 , odpowiednio stopni 2n i n, tobezpośrednim wnioskiem z twierdzenia 4.1 jest:Wniosek 4.4. Algorytm obliczania transformacji Lagrange’a-Newtona ma złożonośćobliczeniową c(n) + O(n). W szczególnym przypadku, gdy do obliczania zwiniętegosplotu stosuje się algorytm oparty na wzorze (3.4), ten koszt wynosi O (n log n).Obliczenie odwrotnej transformacji Lagrange’a-Newtona L −1można wykonaćwykorzystując algorytm obliczania dekonwolucji 3.1. Dla tej transformacji możliwejest również zorganizowanie obliczeń w taki sposób, aby nie było wymagane stosowaniedekonwolucji - zostanie to omówione w następnym podrozdziale.4.3. Transformacja Newtona-Lagrange’aTransformacja Newtona-Lagrange’aN : (c i ) n−1i=0 → (y i) n−1i=0 ,odwrotna do transformacji Lagrange’a-Newtona L, opisuje przejście od rozwinięciawielomianu względem bazy Newtona (4.3) do rozwinięcia wielomianu względem bazyLagrange’a (4.2).W celu obliczenia wartości y i (i = 0, 1, . . . , n − 1) można do wzoru (4.3) zastosowaćklasyczny algorytm Hornera w postaciy j = y j+1 (x i − x j ) + c j , j = i − 1, i − 2, . . . , 0, y i = c i , (4.10)gdzie 0 i < n. Złożoność obliczeniowa tego algorytmu, równa O(n 2 ), może zostaćzredukowana do c (n) + O (n), o ile punkty x 0 , x 1 , . . . , x n−1 spełniają zależnośćrekurencyjną (4.1). Wynika to z podstawienia tej zależność do (4.3) i zastosowaniawzorów (4.6) i (4.7):y i ===i∑j−1 ∏c jj=0 k=0i∑ j−1 ∏c jj=0 k=0i−1 ∏ k∑ i∑α νk=0 ν=0 j=0[ (αk ( α i−k − 1 ) γ + βα k) i−k−1 ∑α k [(α − 1) γ + β]j−1 ∏k=0i−k−1 ∑ν=0c j [(α − 1) γ + β] j j−1 ∏26k=0ν=0α να ν ]α k 1 .i−j−1 ∏ k∑α νk=0ν=0