Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiarowegdzie C (N) oznacza koszt obliczenia splotu d-wymiarowego (3.7). Tym samym dowódtwierdzenia 5.2 został zakończony.Twierdzenie 5.2 (Kapusta i Smarzewski, 2009). NiechL : f = (f α ) α∈Qn→ c = (c α ) α∈Qnoznacza wielowymiarową transformację Lagrange’a-Newtona dla parami różnych węzłówx α = (x 1,α1 , x 2,α2 , . . . , x d,αd ) generowanych wzorami rekurencyjnymx i,j = λ i x i,j−1 + δ i , i = 1, 2, . . . , d, j = 1, 2, . . . , n i − 1,gdzie λ i ≠ 0, δ i i x i,0 = κ i (i = 1, 2, . . . , d) są stałymi z ciała K. Wtedyc = (. . . ((a ⊗ 1 b 1 ) ⊗ 2 b 2 ) ⊗ 3 · · · ⊗ d b d ) /r, (5.11)gdzie elementy wektorów b i = (b i,0 , b i,1 , . . . , b i,ni −1) oraz hipermacierzy a = (a α ) α∈Qni r = (r α ) α∈Qnsą zdefiniowane wzorami (5.8) i (5.9). Ponadto, jeśli ψ i i ω i = ψ 2 i(ψ i ∈ K) są pierwiastkami pierwotnymi z jedności odpowiednio stopnia 2n i i n i(i = 1, 2, . . . , d), wtedy algorytm obliczania transformacji Lagrange’a-Newtona opartyna wzorze (5.11) ma złożoność obliczeniową C (N)+O (dN), gdzie N = n 1 n 2 . . . n d .5.3. Odwrotna transformacja Lagrange’a-NewtonaOdwrotna transformacja Lagrange’a-NewtonaL −1 : c = (c α ) α∈Qn→ p = (p α ) α∈Qnjest przekształceniem odwzorowującym macierz współczynników wielomianu wieluzmiennych zapisanego w bazie Newtona (5.3) w macierz współczynników rozwinięciatego wielomianu względem bazy Lagrange’a (5.2).Jeśli znane są współczynniki c α rozwinięcia wielomianu względem bazy Newtonap (x) = ∑c α B α (x) ,α∈Q nwtedy wartości p α = p(x α ), α ∈ Q n , w punktach x α = (x 1 ,α 1, x 2 ,α 2, . . . , x d ,α d) postacix i,j = λ i x i , j−1 +δ i i = 1, 2, .., d, j = 1, 2, . . . , n i − 1, x i,0 = κ i ,40