Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiaroweWiadomo, że wielomian interpolacyjny zdefiniowany przez następujące warunkiinterpolacjip (x α ) = f α , α ∈ Q n ,w węzłach x α = (x 1,α1 , x 2,α2 , . . . , x d,αd ) ∈ K d , gdzie f α = f (x α ) są wartościamifunkcji f : K d → K, istnieje i jest określony jednoznacznie. Może on zostać zapisanyw postaci Lagrange’alub Newtonap (x) = ∑p (x) = ∑α∈Q nf α L α (x) (5.4)α∈Q nc α B α (x) , (5.5)gdzie L α (x) i B α (x) są wielomianami zdefiniowanymi odpowiednio wzorami (5.2) i(5.3). Ponadto współczynniki c α , występujące we wzorze (5.5), oznaczają wielowymiaroweilorazy różnicowe zdefiniowane wzoramic α = f [x 1,0 , . . . , x 1,α1 ; . . . ; x d,0 , . . . , x d,αd ] =∑β∈clQ αd∏ ∏α ii=1 j=0f β, (5.6)(x i,βi − x i,j )j≠β igdzieclQ α = {β = (β 1 , β 2 , .., β d ) : 0 β i α i dla i = 1, 2, . . . , d} .W tym rozdziale zostaną zaprezentowane nowe, szybkie algorytmy obliczaniawielowymiarowych transformacji z uwzględnieniem baz Lagrange’a, Newtona i potęgowejw przypadku, gdy punktyx α = (x 1,α1 , x 2,α2 , . . . , x d,αd ) , α ∈ Q n ,są generowane przez następujące wzory rekurencyjnex i,j = λ i x i,j−1 + δ i , i = 1, 2, . . . , d, j = 1, 2, . . . , n i − 1, (5.7)gdzie λ i ≠ 0, δ i i x i,0 = κ i (i = 1, 2, . . . , d) są stałymi z ciała K. Rząd tych algorytmówwynosi O (C (N)), gdzie N = n 1 n 2 . . . n d i C (N) oznacza koszt obliczeniasplotu d-wymiarowego.36