Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiarowegdzie x β = (x 1,β1 , x 2,β2 , . . . , x d,βd ) ix i,j = λ i x i , j−1 +δ i , x i,0 = κ i ,s i,j = (κ i (λ i − 1) + δ i ) j , r i,j = s i,j u i,j ,j−1 ∏j−1u i,j = λ k ∏ k∑i , z i,j = λ r i ,k=0k=0 r=0(5.8)Stąd wynika, żegdzie⎛c α = ⎝α 1 ∑β 1 =0b i,j = (−1)j u i,jz i,j, i = 1, 2, .., d, j = 0, 1, . . . , n i − 1.⎛· · · ⎝α∑ d−1β d−1 =0⎛⎝α d ∑β d =0a β b d,αd −β d⎞⎠ b d−1,αd−1 −β d−1⎞⎠ · · · b 1,α1 −β 1⎞⎠ /r α ,a β = f (x β), r β = u β s β ,z βd∏d∏d∏u β = u i,βi , z β = z i,βi , s β = s i,βi .i=1i=1i=1(5.9)Wykorzystując notację cząstkowego splotu hipermacierzowego (definicja 3.2), algorytmobliczania wielowymiarowych ilorazów różnicowych c = (c α ) α∈Qnmożnazapisać wzoremc = (. . . ((a ⊗ 1 b 1 ) ⊗ 2 b 2 ) ⊗ 3 · · · ⊗ d b d ) /r, (5.10)w którymb i = (b i,0 , b i,1 , . . . , b i,ni −1) , a = (a α ) α∈Qni r = (r α ) α∈Qnsą zdefiniowane wzorami (5.8) i (5.9). We wzorze (5.10) dzielenie macierzy wielowymiarowychoznacza zwykłe dzielenie odpowiednich elementów tych macierzy.Algorytm 5.1 przedstawia szczegóły dotyczące obliczania wielowymiarowej transformacjiLagrange’a-Newtona, które ułatwiają jego implementacje i obliczenie złożonościobliczeniowej.38