Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiarowewartości y α = p(x α ), α ∈ Q n , są równegdzieorazy α = ∑=β∈Q na β x β α =n 1 −1 ∑⎛n∑d −1f β = v β⎝ · · ·γ d =β dn 2 −1 ∑β 1 =0 β 2 =0⎛⎝n 1 −1 ∑n 2 −1 ∑β 1 =0 β 2 =0n∑d −1· · ·∏ df ββ d =0 i=1n∑d −1· · ·∏ da ββ d =0 i=1λ β iα ii ,x β ii,α i(5.20)⎛⎞ ⎞⎞n∑2 −1 n∑1 −1⎝ a γ s γ c 1,γ1⎠−β 1c 2,γ2⎠−β 2· · · c d,γd⎠−β d(5.21)γ 2 =β 2 γ 1 =β 1d∏v β = v i,βi ,i=1d∏s β = s i,βi , s i,j =i=1c i = (c i,0 , c i,1 , . . . , c i,ni −1) ,W konsekwencji⎛ ⎛n∑d −1 ∑y α = ⎝ . . . ⎝lub równoważnieβ d =0⎛n 2 −1 n∑1 −1⎝β 2 =0v i,j = (κ i (1 − λ i ) − δ i ) j,j!β 1 =0j!(1 − λ i ) j ,f β λ α 1β 11⎞⎠ λ α 2β 22c i,j = δj ij! . (5.22)⎞⎠ . . . λ α dβ ddy = ( . . . (( g ˜⊗ 1 h 1)˜⊗2 h 2)˜⊗3 . . . ˜⊗ d h d)· b, (5.23)przy założeniu, że elementy wektorów h i = (h i,0 , h i,1 , . . . , h i,2ni −2) i hipermacierzyg = (g β ) β∈Qnoraz b = (b β ) β∈Qnsą zdefiniowane wzorami⎞⎠b α =g α =d∏i=1b i,αi , b i,j = λ − j2 2i ,{fn−1−α b n−1−α α ∈ Q n ,0 α /∈ Q n ,(5.24)h i,j = λ j2 2i , j = 0, 1, . . . , 2n i − 2.Z powyższych rozważań wynika, że obliczenie wielowymiarowej transformacji Maclaurina-Lagrange’adla punktów spełniających zależności rekurencyjne (5.18) wymagawyznaczenia hipermacierzy f ze wzoru (5.21) i obliczenia wartości wielomianuwielu zmiennych w punktach, które tworzą ciag geometryczny. Algorytm 5.5 prezentujeszczegóły tych obliczeń.44