Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Модуль</strong> <strong>11.</strong> <strong>Геометр<strong>і</strong>я</strong> <strong>прямої</strong> <strong>і</strong> <strong>площини</strong><strong>11.</strong>2. Площина<strong>11.</strong>2.1. «Означення» <strong>площини</strong>. Площиною P , що проходить через точку M 0 компланарнодвом некол<strong>і</strong>неарними векторам u,v (позначатимемо P( M0; u, v )), звутьмножину точок M , для яких вектори M0 M, u,v — компланарн<strong>і</strong> (рис. <strong>11.</strong>3):defM P( M ; u, v ) M M u v.0 0M 0u uРис. <strong>11.</strong>3Вектори u та v творять базис на площин<strong>і</strong> P .Вектор a звуть паралельним площин<strong>і</strong> P( M0; u, v ), якщо вектори a, u,v —компланарн<strong>і</strong> (див. рис. <strong>11.</strong>3).Якщо точка Q належить площин<strong>і</strong> P( M0; u, v ) та p,q — некол<strong>і</strong>неарн<strong>і</strong> вектори,як<strong>і</strong> паралельн<strong>і</strong> площин<strong>і</strong> P , то площина P ( Q; p, q ) зливається з площиною P .Твердження <strong>11.</strong>2. Через 3 точки, що не лежать на одн<strong>і</strong>й прям<strong>і</strong>й, проходитьодна й лише одна площина.<strong>11.</strong>2.2 Параметричн<strong>і</strong> р<strong>і</strong>вняння <strong>площини</strong>. Нехай задано Декартову прямокутнусистему координат, площину P , що проходить через точку M0( r 0)<strong>і</strong>пару некол<strong>і</strong>неарних вектор<strong>і</strong>в u та v , як<strong>і</strong> паралельн<strong>і</strong> площин<strong>і</strong> P (рис. <strong>11.</strong>4).PnM 0 vz r 0ukMO ri j yxРис. <strong>11.</strong>4З означення <strong>площини</strong> випливає, що точкаavdenM( r ) M( x; y; z)належить площин<strong>і</strong> P( M0; u, v ) тод<strong>і</strong> й лише тод<strong>і</strong>, коли векториr r0 M0 M, u,v — компланарн<strong>і</strong>. Отже, знайдуться так<strong>і</strong> числа t 1 та t 2 , щоr r0 t1u t2v, t1 ,t2 r r0 t1u t2v , t1 , t2 .(<strong>11.</strong>4)Р<strong>і</strong>вняння (<strong>11.</strong>4) звуть векторним параметричним р<strong>і</strong>внянням <strong>площини</strong>. Кожн<strong>і</strong>йточц<strong>і</strong> <strong>площини</strong> в<strong>і</strong>дпов<strong>і</strong>дають певн<strong>і</strong> значення двох параметр<strong>і</strong>в t 1 та t 2 . Навпаки,як<strong>і</strong> б д<strong>і</strong>йсн<strong>і</strong> числа не п<strong>і</strong>дставити зам<strong>і</strong>сть параметр<strong>і</strong>в t 1 та t 2, р<strong>і</strong>вняння(<strong>11.</strong>4) визначає певний рад<strong>і</strong>ус-вектор точки на площин<strong>і</strong>.vMP
Change language