Модуль 11. Геометрія прямої і площини - Uuooidata.org

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниОтже, площину в ПДСК можна задати лінійним рівнянням — її загальнимрівнянням.Теорема 11.1. У ПДСК у просторі будь-яке лінійне рівняння вигляду(11.7) задає площину.Доведімо, що лінійне рівняння вигляду (11.7), де не всі коефіцієнтиa, b,c дорівнюють нулеві, є рівнянням площини. Матриця системи, що складаєтьсяз рівняння (11.7), має ранг 1.Загальний розв’язок системи (11.7)x x 0 C1e 1 C2e2,де x 0 — частинний розв’язок рівняння (11.7), { e1, e2}— фундаментальна системарозв’язків відповідної однорідної системи. Отже, рівняння (11.7) задаєплощину P( M( x0); e1, e2).Висновок.Площина у ПДСК — це єдина поверхня 1-го порядку.11.2.4. Векторне рівняння площини. Площину можна однозначно задатиїї точкою M0( r 0)і нормальним вектором n :P( M0) n.Нехай M( r ) P (див. рис. 11.4). ТодіM0M r r0 n.З ортогональності векторів дістанемо векторне рівняння площини P :( r r0, n) 0 (11.8) ( r , n) ( r0, n) 0.Векторне рівняння (11.8) можна переписати ще так:( r , n) d 0,де d ( r0, n).У координатній формі це рівняння має вигляд:P : a( x x0) b( y y0) c( z z0) 0,(11.6)де a, b,c — координати вектора n ; x, y,z — координати точки M; x0, y0,z 0 —координати точки M 0.11.2.5. Окремі випадки загального рівняння площини. Координатніплощини мають відповідно рівняння:Oxy k : cz 0 z 0;Oxz j : by 0 y 0;Oyz i : ax 0 x 0.Зауважимо, що вектор a паралельний площині P( M0)коли він ортогональний до її нормального вектора. n тоді й лише тоді,a P a n.Приміром, площина паралельна векторові i , а отже, й осі Ox , тоді й лишетоді, коли її нормальний вектор n ( a; b; c)ортогональний до i :