1. uvod u digitalnu sliku - Laboratorija za digitalnu obradu signala
1. uvod u digitalnu sliku - Laboratorija za digitalnu obradu signala
1. uvod u digitalnu sliku - Laboratorija za digitalnu obradu signala
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5.4. Lagranžova interpolacija<br />
promjena učestanosti odabiranja<br />
J.L. Lagrange (1736-1813) razvio je metod <strong>za</strong> interpolaciju korištenjem polinoma. Kubna<br />
interpolaciona funkcija je polinom sljedećeg oblika:<br />
~<br />
3 2<br />
g ( x)<br />
= ax + bx + cx + d (5.4)<br />
Interpolacija podrazumijeva računanje odgovarajućih koeficijenata a, b, c i d <strong>za</strong>snovanih<br />
na poznavanju uređenih parova [xi, si]. Lagranž je opisao jednostavan i elegantan način<br />
računanja ovih koeficijenata.<br />
Linearna interpolacija je samo specijalan slučaj Lagranžove interpolacije prvog reda.<br />
Može se smatrati da je interpolacija korištenjem susjednog odmjerka interpolacija nultog reda.<br />
Postoji i interpolacija drugog reda (kvadratna), ali se ona rijetko koristi u obradi <strong>signala</strong>.<br />
U matematici, pod interpolacijom se smatra postupak koji smo već opisali. Međutim, isti<br />
termin se koristi i kad interpolaciona funkcija ima istu vrijednost kao i uzorak koji se<br />
aproksimira. Lagranžova funkcija predstavlja ovakvu mogućnost. Moglo bi se <strong>za</strong>ključiti da<br />
svaka interpolaciona funkcija <strong>za</strong>dovoljava ovaj kriterij. Međutim, kod obrade <strong>signala</strong> ovo nije<br />
obavezno. Čak štaviše, interpolacione funkcije koje se koriste u obradi audio i video <strong>signala</strong><br />
rijetko prolaze tačno kroz <strong>za</strong>date tačke. Kao posljedica korištenja matematičke terminologije<br />
dobijamo paradoksalnu situaciju da interpolaciona funkcija obično ne interpolira!<br />
U principu, kubna interpolacija može se uraditi i <strong>za</strong> bilo koji argument x, čak i <strong>za</strong><br />
vrijednosti van opsega u kojem se nalaze ulazni odmjerci. Pri tome bi se <strong>za</strong> argumente van<br />
intervala [x-1, x2] postupak nazivao ekstrapolacija. Kod obrade <strong>signala</strong>, argument x iz opsega<br />
između x0 i x1, da bi aproksimirali signal između odmjeraka s0 i s<strong>1.</strong> Da bi aproksimirali van<br />
ovog intervala, mijenjamo ulazne odmjerke [s-1, s0, s1, s2] adekvatno, tako <strong>za</strong> aproksimaciju<br />
između s1 i s2, pomijeramo ulazne odmjerke ulijevo <strong>za</strong> jedno mjesto.<br />
Kod uniformnog odmjeravanja (kao kod konvencionalnog videa), kada interpoliramo<br />
između odmjeraka s0 i s1, umjesto argumenta x može se uzeti fazni ofset, ili fazni pomjeraj (φ)<br />
pri kojoj se traži novi odmjerak. Fazni pomjeraj se računa u odnosu na prethodni argument <strong>za</strong><br />
koji znamo vrijednost funkcije i na osnovu kojeg računamo odmjerak koji interpoliramo. Ako<br />
se radi o uniformnom odmjeravanju, vremenski razmak između dva susjedna odmjerka je T i<br />
tada je vremenski pomjeraj odmjerka koji interpoliramo jednak φ·T. Teoretski, φ leži između<br />
0 i 1, dok se u praktično u hardveru realizuje kao binaran broj ili razlomak. Kod videa,<br />
jednodimenzionalni interpolator je obično FIR filtar čiji su koeficijenti (ci) funkcije faznog<br />
ofseta.<br />
vrijednost odmjerka<br />
47<br />
46<br />
45<br />
44<br />
43<br />
42<br />
41<br />
s-1<br />
s0<br />
~<br />
x-1 x0 x1 x2<br />
koordinata odmjerka<br />
Slika 5.3. Kubna interpolacija ili interpolacija trećeg reda<br />
U obradi <strong>signala</strong>, kubna ili interpolacija trećeg reda se često koristi. Primjer takve<br />
interpolacije je dat na Slici 5.3. Za linearnu interpolaciju potrebna su nam dva susjedna<br />
49<br />
s1<br />
s2
Change language