1. uvod u digitalnu sliku - Laboratorija za digitalnu obradu signala

promjena učestanosti odabiranja
odmjerka, i to jedan sa lijeve a jedan sa desne strane. Kod kubne interpolacije, obično
interpoliramo u centralni interval, korištenjem dva originalna odmjerka sa lijeve i dva sa
desne strane željenog odmjerka.
Kubna funkcija za interpolaciju u centralnom intervalu ima oblik:
~
g( x)
⋅ s
= c−
1(
x)
⋅ s−1
+ c0(
x)
⋅ s0
+ c1(
x)
⋅ s1
+ c2
( x)
2 (5.5)
Kako je x = x0
+ ϕ ⋅T
kubna funkcija za interpolaciju se može napisati i u obliku:
~
g( ϕ ) = c−1(
φ)
⋅ s−1
+ c0
( φ)
⋅ s0
+ c1(
φ)
⋅ s1
+ c2
( φ)
⋅ s2
(5.6)
Funkcija uzima četiri odmjerka [s-1, s0, s1, s2] koji okružuju interval od interesa, dok fazni
ofset φ ima vrijednost od 0 do 1. Koeficijenti (ci) su sada funkcija argumenta φ. Interpolator
formira težinsku sumu od četiri odmjerka, gdje su težine funkcije parametra φ i daje kao
rezultat procijenjenu vrijednost. U slučaju da su odmjerci u stvari vrijednost polinoma stepena
manjeg ili jednakog tri, Lagranžov interpolator daje tačnu vrijednost tog polinoma sa tačnošću
u okviru greške zaokruživanja.
Ukoliko vršimo interpolaciju vektora slike na koordinatama x i y, postoje dva pristupa u
rješavanju ovog problema. Jedan je da se primijeni jednodimenzionalni filtar duž jedne ose, a
zatim duž druge. Ovakav pristup tretira dvodimenzionalnu interpolaciju kao separabilan
postupak i kao vid separabilnog filtriranja. Iznenađujuće je i to što se ovakav postupak može
koristiti i za rotiranje slike. Drugi način je da se matrica 2×2 (sa četiri odmjerka) može
koristiti za linearnu interpolaciju u dvije dimenzije i to je bilinearna interpolacija.
Sofisticiraniji postupak je korištenje matrice 4×4 (sa 16 odmjeraka) kao osnovu za
interpolaciju trećeg reda u dve dimenzije i to je bikubna interpolacija. U matematici se to
može uporediti sa jednodimenzionalnom interpolacijom petnaestog stepena.
5.5. Lagranžova interpolacija kao filtriranje
Kada bi umjesto četiri koraka imali pet, relacija 5.6 bi imala identičan oblik kao relacija
koja opisuje Gausov filtar sa 5 koraka. Lagranžova interpolacija se može posmatrati kao
specijalan slučaj FIR filtriranja, a sva dalja analiza se može raditi kao da je riječ o filtriranju.
Filtri su obično simetrični. Interpolacija daje odmjerke tačno na sredini između ulaznih
odmjeraka, kao što je D/A konvertor sa dvostrukim oversamplingom, koji je takođe
simetričan. Međutim treba naglasiti da većina interpolatora nije simetrična.
Postoji četiri osnovna razloga zašto polinominalna interpolacija generalno nije pogodna
za video signale:
� polinominalna interpolacija ima nejednako talasanje u nepropusnom opsegu
� nule u nepropusnom opsegu leže na fiksiranim pozicijama
� interpolaciona funkcija teži beskonačnosti van centralnog intervala
� signali dovedeni na ulaz interpolatora sadrže šum.
O svakom od ovih problema ćemo reći ponešto.
Svaki Lagranžov interpolator ima takav frekvencijski odziv da postoji talasanje u
nepropusnom opsegu, ono je čak i veoma izraženo. Ovo nije preporučljivo za bilo koju vrstu
obrade signala, pa ni za obradu videa.
Lagranžov interpolator ''interpolira'' originalne odmjerke što uzrokuje pojavu periodičnih
nula u frekvencijskom odzivu, i čije su frekvencije fiksne i određene redom interpolatora. Da
bi se pri projektovanju filtara moglo kontrolisati slabljenje u nepropusnom opsegu, trebalo bi
da se nule mogu podešavati proizvoljno. Ovo nije moguće kod Lagranžovog interpolatora.
50