Model af solfangeranlæg - VBN - Aalborg Universitet

Gp på figur 7.5 på modstående side, udledes af den matematiske model som en
sammenhæng mellem masseflowet i solfangerkredsen og temperaturen i solfangeren.
7.3 Linearisering af ligninger for solfangeranlæg
I dette afsnit bestemmes en overføringsfunktion, ved at linearisere ligningerne for sol-
fangersystemet og bestemme et udtryk for temperaturen i solfangeren som funktion
af masseflowet. Derfor vil lineariseringsteorien blive gennemgået inden den benyttes
på ligningerne for solfangersystemet. Efter at ligningerne er lineariserede, vil de blive
laplacetransformeret inden de opstilles som en sammenhæng mellem masseflowet,
som input, og temperaturen i solfanger, som output. Denne sammenhæng kan der-
efter reduceres til en overføringsfunktion for solfangersystemet.
Den dynamiske model lineariseres og der udvikles en såkaldt LTI-model, som er
en lineær tidsvariant model. Fysiske systemer opfører sig som regel ulineært, men
den lineære modelteori tager udgangspunkt i, at en funktion kan approksimeres til
en lineær funktion i et givet arbejdspunkt. LTI-modellen gør det dermed muligt at
benytte lineær stabilitetsanalyse og at udvikle en regulering, der virker i et defineret
arbejdspunkt.
Til at beregne approksimationen i et defineret arbejdspunkt benyttes en førsteordens
taylorudvikling, som fremgår af ligning 7.1.
f(x) ≈ f (x0) + df(x0)
dx
x=x0
(x − x0) (7.1)
Da der i den lineære model kun er behov for beregning af ændringer i systemet,
flyttes leddet f (x0), så formlen ændres som det fremgår af ligning 7.2.
f(x) − f(x0) ≈ df(x0)
dx
x=x0
(x − x0) =⇒ ∆f(x) ≈ df(x0)
dx
x=x0
∆x (7.2)
Ulineære modeller kan bestå af multivariable ligninger, hvilket medfører at
førsteordens taylorpolynomiet må udvides med flere variable. Et eksempel på den
udvidede taylorapproksimation med to variable fremgår af ligning 7.3.
∆f(x, y) ≈
δf(x, y)
δx
x=x0
∆x +
δf(x, y)
δy
y=y0
∆y (7.3)
Denne formel kan omskrives, så den tager form som vist på figur 7.4 på den følgende
side.
49