imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Bemærk at med disse definitioner, som er udvidede i forhold til de naive, der
kun omfatter positive tal, vil 0 være multiplum af hvad som helst, og hvad som
helst vil følgelig være divisor i 0. Men 0 er dog kun divisor i sig selv. Lad os
sammenfatte i
1. Sætning: Kriterium for delelighed.
a|b ⇔ bZ ⊆ aZ
Beviset er en øvelse ( Ø1). E2 Ø3
Hvis A ⊂ Z s˚a siger vi at a er en fælles divisor for A, hvis a er divisor i alle
elementer i A. Der vil oplagt(!) altid findes en største fælles divisor for en
ikke tom delmængde A og for den vil vi anvende benævnelserne A, sfdA,
gcdA, (største fælles divisor, greatest common divisor). Tilsvarende defineres
mindste fælles multiplum for en mængde A og denne skrives A. (Eller mfm
og lcm).
Hvis A = {a1, . . . , an} skriver vi ogs˚a a1 ⊓ . . . ⊓ an eller sfd(a1, . . . , an) og
analogt med mindste fælles multiplum. E4 Ø5
2. Sætning: Multiplikation af største fælles divisor
Hvis k > 0 da gælder at (ka) ⊓ (kb) = k(a ⊓ b)
Beviset er en øvelse ( Ø6).
2.3: Division med rest.
Vi m˚a inddrage den additive struktur
Hvis a|b kan vi udføre divisionen og definere kvotienten b
a . For denne kun
delvist definerede operation gælder mange af de sædvanlige regneregler. Det
g˚ar vi ikke i detaljer med. Lad os som et eksempel nævne at
a
b
+ c
d
ad + bc
= ,
bd
forst˚aet p˚a den m˚ade, at hvis begge sider er veldefinerede, da er de ens.
I de fleste situationer g˚ar divisionen imidlertid ikke op. For at klare dette
problem m˚a vi have den additive struktur (addition og subtraktion) med ind i
billedet. N˚ar vi vil vide om b g˚ar op i a foretager vi succesive subtraktioner af
6